微积分中不等式的证明技巧Word文档下载推荐.docx

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均单调,因此可积,且有

注意到

就有

.而

因此有

取

.

在区间

仿以上讨论,有

，

综上,有不等式

2、某些不等式的积分推广:

原理:

设函数

上可积.

为区间

的

等分分

法,

.若对任何

均有

即得

令

注意到函数

上可积,即得积分不等式

倘若函数

连续,还可由

例3、证明Schwarz不等式

（亦称为Cauchy–Буняковский不等式）:

上连续（其实只要可积就可）.则有不等式

证法一：

（由Cauchy不等式

Schwarz不等式.Cauchy不等式参阅

[1]上册P4Ex第10题:

设

为两组实数,则有

.）

等分分法.由Cauchy不等式,有

两端同乘以

有

、

上的可积性

以及函数

的连续性，就有积分不等式

证法二：

（用判别式法）对任何实数

，有

即

对任何实数

成立.

即上述关于

的二次不等式的解集为全体实数,于是就有

即

例4、

且

.证明不等式

取

.对函数

应用Schwarz不等式,即得所证.

例5、设函数

在区间[0,1]上可积.试证明有不等式

先用Jensen不等式法证明不等式:

对

有不等式

.（参阅上学期期末考试题第21题）

等分分法.由上述不等式,有

令

在区间[0,1]上的可积性以及函数

仿该例,可得到均值不等式、用Jensen不等式法证明的某些不等式的积分形式.例

如[1]P334—335Ex2，6，8.

二、面积函数的导数:

例6、求

例7、求

例8、求

例9、设

时函数

连续且

.求

.（

=

）

例10、设函数

.

解：

.两端求导,

例11、设

.试证明:

例12、设函数

上连续且

>

0.

试证明:

函数

内严格递增.

而

0,在

内

，又

连续，

，

在区间

0.因此

严格递增.

三、含有变限积分的未定型极限:

例13、求极限

.

（2）

四、定积分的计算:

例14、计算积分

例15、计算积分

时,

;

因此,

例16、利用积分

的值（参阅§

4例15或[1]P306E8）,计算积分

而

因此，

例17、

求

（2

）[4]P215E62

例18、设

是区间

上连续的偶函数.试证明:

是

上的奇函数.

证法一：

证法二：

注意到

五、利用定积分求和式极限:

参阅[3]P162—168.

原理:

例19、求极限

.[3]P163E13.与§

1例2连系.

例20、求极限

由函数

在区间[0,1]上可积,有

例21、求极限

[3]P167E19

因此,

例22、试证明:

对任何

<

是函数

在区间[0,1]

上相应于

等分分法

的小和

.由函数

在区间[0,1]上可积,有

↗

.又易见

↗↗.

对任何

即

习题：

P309—3102，3，8—11；

P249—26020—24，41—43，48—51，54，58，63，64，65，

95，96⑶，97，98⑴，101，106，112，113.