1、均单调, 因此可积,且有 , 注意到 , 就有 . 而因此有取. 在区间仿以上讨论, 有， 综上 , 有不等式2、某些不等式的积分推广:原理: 设函数上可积. 为区间的等分分法, . 若对任何, 均有, 即得令, 注意到函数上可积, 即得积分不等式倘若函数连续 , 还可由 例3、 证明 Schwarz 不等式 （ 亦称为 Cauchy不等式 ）:上连续 （ 其实只要可积就可 ）. 则有不等式证法一： （ 由Cauchy 不等式Schwarz 不等式 . Cauchy 不等式参阅1 上册P4 Ex 第10题 : 设为两组实数, 则有. ）等分分法. 由Cauchy 不等式 , 有两端同乘以, 有
2、、上的可积性以及函数的连续性，就有积分不等式证法二 ： （ 用判别式法 ） 对任何实数，有 , 即对任何实数成立.即上述关于的二次不等式的解集为全体实数, 于是就有即 例4、 且. 证明不等式 取. 对函数应用Schwarz 不等式, 即得所证 . 例5、 设函数在区间 0 , 1 上可积 . 试证明有不等式 先用Jensen不等式法证明不等式 : 对, 有不等式. （ 参阅上学期期末考试题第21题 ）等分分法. 由上述不等式 , 有 令在区间 0 , 1 上的可积性以及函数仿该例, 可得到均值不等式、用Jensen不等式法证明的某些不等式的积分形式 .例如1P334335 Ex 2，6，8.
3、二、 面积函数的导数 :例6、 求例7、 求例8、 求例9、 设时函数连续且. 求. （=）例10、 设函数 .解：. 两端求导, 例11、 设. 试证明 : 例12、 设函数上连续且0. 试证明: 函数内严格递增., 而0 , 在内，又连续 ， ， 在区间0 . 因此严格递增. 三、含有变限积分的未定型极限: 例13、 求极限. （ 2 ）四、 定积分的计算 : 例 14、 计算积分 例15、 计算积分时, ;因此, 例16、 利用积分的值 （ 参阅4例15 或1P306 E8 ）, 计算积分而 因此， 例17、 , 求 （ 2 ） 4P215 E62 例18、 设是区间上连续的偶函数 .
4、试证明 : 是上的奇函数 .证法 一：证法 二： 注意到五、利用定积分求和式极限 : 参阅3P162 168 . 原理: 例19、 求极限. 3 P163 E13 . 与1例2连系.例20、 求极限由函数在区间 0 , 1 上可积 , 有 例21、 求极限 3P167 E19 ,因此 , 例22、 试证明: 对任何 是函数在区间 0 , 1 上相应于等分分法的小和. 由函数在区间 0 , 1 上可积, 有. 又易见. 对任何, 即 习题： P309310 2，3，811； P249260 2024，4143，4851，54，58，63，64，65， 95，96，97，98，101，106，112，113.
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