匹配理论及其应用.docx

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匹配理论及其应用

3匹配理论的应用8

3.1相关算法介绍8

3.1.1匈牙利算法8

6结束语23

参考文献24

致谢25

匹配理论及其应用

Xxxxxx系本xxxxx班xxxxxx

指导教师：

xxxxxxx

摘要：

本文将从匹配理论的基础知识及其基本应用着手，通过对大学生就业现状进行分析，将大学生的应聘问题转化为图论中的最优匹配问题，从而根据匹配理论的相关知识来解决最优匹配问题。

利用匹配理论的知识达到解决大学生就业问题的目的。

关键词：

图论，匹配理论，大学生。

Matchingtheoryanditsapplication

Lixxxxxxx

Classxxxx，MathematicsDepartment

Tutor：

xxxxxxxxxxxx

Abstract:

Thispaperwilladoptthebasicknowledgeandbasicapplicationofmatchingtheory,whichtranslatethejobrecruitmentofcollegestudentsintotheoptimalgraphmatchingproblemofgraphtheorythroughtheanalysisoftheemploymentstatus,sothattoresloveoptimalmatchingproblemaccordingtotherelevantknowledgeofmatchingtheory.Therefore,usethematchingtheorytoresolvetheemploymentproblemofcollegegraduates.

Keywords:

graphtheory,matchingtheory,collegestudents.

1引言

目前，大学生就业难已经成为中国一个十分突出的问题。

中国经济增长保持了良好的态势，能够持续不断地提供就业岗位。

大学生是就业群体中能力和素质较高的群体，应是中国就业群体中最具有竞争力的，应不会出现大面积的就业困难。

然而现实并非如此。

“毕业即失业”已经成为普遍现象。

匹配是图论的一个重要内容。

匹配理论很好的描述了市场中双向选择的情形，解释了一个市场能稳定存在的根源，并为我们对各种市场进行设计建立合理的市场机制提供了可行的选择。

因而利用匹配理论的知识对大学生就业市场的研究具有重大的意义。

2匹配理论

2.1图的概念

我们所讨论的图与人们通常所熟悉的图，例如圆、椭圆，函数图形等是很不相同的。

所谓图是指有序三元组，其中非空称为顶点集，称为边集，而是到中元素有序对或无序对簇的函数，称为关联函数。

中元素称为顶点，中的元素称为边，刻画了边与顶点之间的关联联系。

若中元素全是有序对，则称为有向图，记为.若中的元素全是无序对，则称为无向图，记为.

图论中大多数定义和概念是根据图的图形表示提出来的。

例如边与它的两端点称为关联的；与同一条边相关联的两端点或者与同一个顶点相关联的两条边称为相邻的。

两端点相同的边称为环。

若无环图的顶点集可以划分为两个非空子集和使得中任何两顶点之间无边相连并且中任何两顶点之间也无边相连，则称该图为二分图，称为二部划分。

从上面的讨论中可以看到，图的本质内容是顶点和边之间的关联联系，至于顶点和边是否用平面上的几何点和线段来表示，则完全是不必要的，换句话说，图的概念可以抽象化。

定义设和是图的顶点子集，使,且的每一条边的每一个端点在中，另一个端点在中，则称为二分图（。

记作：

.

如果中的顶点与中的每个顶点都相联，则成为完全二分图。

若

，（符号表示集合中元素的个数），则完全二分图记作.

图的顶点集分成两个子集和的分划，称为的二分划。

2.2匹配的相关定义

定义1设是无环非空图，是的非空子集，若中任何两条边在中均不相邻，则称为的匹配。

例如，在图2.2.1所示图中，粗边所示的边集是该图的一个匹配。

中与中边关联的顶点称为饱和点。

反之，称为非饱和点。

设.

若中每点都是饱和点，则称饱和.若饱和，则称为的完备匹配。

若对的任何匹配均有，则称为的最大匹配。

显然，每个完备匹配都是最大匹配。

如图2.2.1中粗边表示的匹配分别是该图的最大匹配和完备匹配。

（图2.2.1）

定义2可增广道路

设是图的一个匹配，是的一条路，且在中，的边和的边交替出现，则称是的一条交错路。

若交错路的两个端点为非饱和点，则称为可增广路。

例如，图2.2.2所示图中，虚线所示为匹配，则是一条交错路，而是一条可增广路。

（图2.2.2）

定理2.2.1的一个匹配是最大匹配的充要条件是不包含—增广道路。

证明设是的一个匹配，并设包含一条—增广道路，设,

显然，,且是的一个匹配，因为，所以不是最大匹配。

反之，假设不是最大匹配，且令是的一个最大匹配，那么.（2.2.1）

设是由导出的的子图，那么的每个顶点在中具有的度数不是1就是2.因为它最多只能和一条的边以及的边关联。

因此，的每个分支或是一条边在和中交错的偶回路，或是一条边在和中交错的道路。

由式（2.2.1），包含的的边多于的边，因而必定有的一条道路开始于的边且终止于的边。

故在中被所饱和的的起点和终点在图中就是—不饱和的，于是是的一条—增广道路。

2.3匹配定理

本节介绍，，，关于匹配理论的四个基本定理。

需要用到符号，定义=，其中与是集合，称为与的对称差，因为=，有时把写成.

定理1（,1957）是图中的一个最大匹配当且仅当中无的可增广轨。

证明若中无的可增广轨，但不是的最大匹配，即中另有一匹配，的边数比的边数多，考虑的子图[].由于与是匹配,中的边两两无公共端点，亦然，所以中顶的次数不是1就是2.于是的连通片必为其边在与中交替出现的圈，不然就是边在与中交替出现的轨；又与的边数不同，，由的定义，中来自的边比来自的边多。

于是的某个连通片必为以中的边为起止边的轨，是的可增广轨，与假设中无可增广轨矛盾，至此证得是的最大匹配。

反之，若是的最大匹配，显然中无可增广轨，不然还可以改造成边数更多的匹配，与是最大匹配相违。

证毕。

定理2（,1935）设是二分图，顶集的二分图划分为与，即,中无邻顶对，中亦然；存在把中顶皆许配的充要条件是任意，皆有，其中是中每个顶的邻顶组成的所谓的邻集。

证明若任意的，皆有，但中无把中顶皆许配的匹配，如图2.3.1所示。

设是的一个最大匹配，当然也不能把中的顶皆许配。

设是一个未被许配的中顶，令是被的交错轨与连通的集合。

由定理1，是中的唯一的未被许配的顶，不然中有可增广轨，与是最大匹配相违。

令，于是,且，与假设任意，皆与相违，至此证出充分性。

（图2.3.1）

必要性的证明设有把中顶皆许配的匹配，任意的，则的顶亦皆被许配，与中顶相配的顶的个数是，又与中顶相配的顶皆在的邻集中，故，证毕。

定理2就是图论中著名的婚配定理。

1935年，有人向提出如下问题：

城中每位小伙子都结识位姑娘，每位姑娘都结识位小伙子，。

问这些未婚青年是否皆可与自己的意中人结婚？

把上述问题化成下面的图论模型：

令小伙子集合为，姑娘集合为，仅当甲小伙子与乙姑娘结识时，在甲与乙两顶之间连一边，构成一个次正则二分图，次正则二分图中存在完备匹配吗？

由定理2推导出下面推论，从而肯定地回答了上述“与意中人结婚”的问题。

推论次正则二分图有完备匹配，。

证明设与是次正则二分图的顶划分,中无邻顶对，中亦然，

则，.从而.，显然

.因为与中的顶无关联的每条边有一个端点在中，于是得；由定理2知中有把中顶皆许配的的匹配，又，所以中有完备匹配。

证毕。

定理3（,1931）若是二分图，则其最大的匹配的边数为.

证明设是二分图的最大匹配，与是二分图的顶划分。

若把中的一切顶皆许配，则，这时显然是的一个最小覆盖,因为覆盖住中的边至少用个顶。

故这种情况下，成立.若未把中顶皆许配，设是中未被许配的顶组成的集合，见图2.3.2.令是有的交错轨与中顶连通的顶之集合，即，则.取.由图2.3.2中“黑顶”们组成，则是的一个覆盖集。

事实上，如果不是的覆盖集，则至少存在一条边，的一端在中，另一端在中，即的每两个端点皆“白顶”，此与矛盾。

又，而中任一匹配，皆有，，即，故是的最小覆盖，至此证明出最大匹配中边的条数等于.证毕。

（图2.3.2）

定理4（,1947）图有完备匹配当且仅当任意的：

，，其中是中奇数个顶的连通片的个数。

证明设任意，，而中无完备匹配，令是有如下性质的图：

（ⅰ）是的生成子图；（ⅱ）是无完备匹配而边数最多的单图，于是是的生成子图，因而：

.令，则，即，从而的顶数是偶数。

令是中次顶的集合。

由之定义，，若，则中有完备匹配，这不可能。

所以是的真子集。

下面证明是不相交的完全图之并。

反证之，若的某个连通片不是完全图，则在该连通片中，存在顶，使得，而.又，所以存在，使得，由于是没有完备匹配的个顶的边数最多的图，故任意，中有完备匹配。

令与分别是与中的完备匹配。

又令为，在中的导出图，则的每顶皆两次，是一些无公共边的偶图之并。

这是由于其上与的边交替出现。

如下图所示，其中粗实线是的边，虚线是的边。

（1）与在的不同连通片内，若在的圈上，如图（a）所示，那么在上的边与不在上的边构成的完备匹配，与之定义矛盾。

图（a）

（2）与在的同一个圈上，如图（b）所示这时在上部分上的与以及不在部分的边构成的一个完备匹配，矛盾。

图（b）

由

（1）与

（2）知是不相交的完全图之并。

由于，中奇数个顶的连通片至多个，但中有了完备匹配。

这个匹配把的每个奇数项的连通片的一个顶许配给的一个顶，与的连通片的其余的顶与中或本连通片中其余的顶相配，注意的每个连通片皆完全图，如图c所示。

而这与中无完备匹配矛盾，证毕。

（图c）

3匹配理论的应用

3.1相关算法介绍

3.1.1匈牙利算法

在匹配的应用问题中，常常需要给出定图的最大匹配。

本节给出一个有效算法，它是由匈牙利数学家埃德蒙兹（1931年）首先提出来的，故通常称为“匈牙利算法”。

匈牙利算法的基本思想较简单。

设是具有二部划分的二分图，从图的任意匹配开始。

若饱和，则是的最大匹配。

若不能饱和，则在中选择一个非饱和点。

若中存在以为起点的可增广路，则就是比更大的匹配，利用代替，并重复这个过程，若中不存在以为起点的可增广路，则令是根在的交错子图的顶点集，并令.再由定理1可知，且中不存在以为起点的可增广路，此时称为检验过的非饱和点，对中其它未检验过的非饱和点重复这个过程，直到中的所有的非饱和点全部检验过为止。

当整个过程结束时，由于中不存在可增广路，从而为的最大匹配。

匈牙利算法：

设是具有二部划分的二分图。

连通的二分图，在中任取初始匹配；

（1）若把中顶皆许配，止，即的最大匹配；否则取中未被许配的顶，令；

（2）若，止，中无完备匹配；否则取；

（3）若被许配，设，，，转（3）；否则可取增广轨，令，转

（2）。

显然算法是根据定理2.3.1设计出来的，通过可增广轨把一个小匹配逐次增广而得最大匹配乃至完备匹配（如果存在的话）。

如图3.1.1中初始匹配为，取未被许配的顶，取，未被许配的顶,未被许配。

得可增广轨.令

.

搜索可增广轨的具体过程如图3.1.2所示，它显示了图3.1.1中为根的外向交错树（树上从出发的轨皆的交错轨），即一个非匹配边一个匹配边交替出现的生长过程，最后得到了可增广轨，即图3.1.2右侧最高那一条轨。

（图3.1.1）

（图3.1.2）

3.1.2算法

求加权完全二分图中最大权完备匹配方法。

定理设是的可行标点符号。

若等子图有完备匹配是的最大权完备匹配。

（1）从任意可行顶点标号（例如平凡标号）开始，确定