时间内通过的路程s＝A。
[典型例题]
例1.弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点间做简谐运动，BC相距20cm，某时刻振子处于B点，经过0.5s，振子首次到达C点，求：
（1）振子的振幅；
（2）振子的周期和频率；
（3）振子在5s内通过的路程及位移大小。
[解析]
（1）振幅设为A，则有2A＝BC＝20cm
所以A＝10cm
（2）从B点首次到达C点的时间为周期的一半，
因此T＝2t＝1s
再根据周期和频率的关系可得f＝
＝1Hz
（3）振子一个周期通过的路程为4A＝40cm，则振子在5s内通过的路程为
s＝
·4A＝5×40cm＝200cm
5s的时间为5个周期，振子又回到原点，位移大小为零。
[答案]
（1）10cm
（2）1s 1Hz （3）200cm 0
[点评] 求振动物体在一段时间内通过路程时的3个注意
（1）振动物体在一个周期内通过的路程一定为四倍振幅，则在n个周期内通过的路程必为n·4A。
（2）振动物体在半个周期内通过的路程一定为两倍振幅。
（3）振动物体在
内通过的路程可能等于一倍振幅，还可能大于或小于一倍振幅，只有当初始时刻在平衡位置或最大位移处时，
内通过的路程才等于一倍振幅。
[即时巩固]
1．一个质点做简谐运动，振幅是4cm，频率为2.5Hz，该质点从平衡位置起向正方向运动，经2.5s，质点的位移和路程分别是（ ）
A．4cm、24cm B．－4cm、100cm
C．0、100cmD．4cm、100cm
解析：
选D 由f＝
得T＝
＝0.4s，Δt＝2.5s＝6
T，每个周期质点通过的路程为4×4cm＝16cm，故质点的总路程s＝6
×16cm＝100cm，质点初始时刻从平衡位置向位移正方向运动，经过6
周期运动到正向最大位移处，即位移x＝4cm，D正确。
1.简谐运动两种描述方法的比较
（1）简谐运动图象即x t图象是直观表示质点振动情况的一种手段，直观表示了质点的位移x随时间t变化的规律。
（2）x＝Asin（ωt＋φ）是用函数表达式的形式反映质点的振动情况。
（3）两者对同一个简谐运动的描述应该是一致的。
应掌握两个方面：
一是根据振动方程作出振动图象，二是根据振动图象读出振幅、周期、初相，进而写出位移的函数表达式。
2．由简谐运动图象可获取的两种特性
（1）对称性
①速率的对称性：
系统在关于平衡位置对称的两位置具有相等的速率；
②加速度的对称性：
系统在关于平衡位置对称的两位置具有等大反向的加速度和回复力；
③时间的对称性：
系统通过关于平衡位置对称的两段位移的时间相等，正向通过振动过程中任意两点A、B的时间与逆向通过的时间相等。
（2）周期性
做简谐运动的物体经过一个周期或几个周期后，能回复到原来的状态，因此在处理实际问题时，要注意到多解的可能性。
[典型例题]
例2.有一弹簧振子在水平方向上的B、C之间做简谐运动，已知B、C间的距离为20cm，振子在2s内完成了10次全振动。
若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时（t＝0），经过
周期振子有负向最大位移。
（1）求振子的振幅和周期；
（2）画出该振子的位移—时间图象；
（3）写出振子的振动方程。
[解析]
（1）弹簧振子在B、C之间做简谐运动，故振幅A＝10cm
振子在2s内完成了10次全振动，振子的周期
T＝
＝0.2s
（2）振子从平衡位置开始计时，故t＝0时刻，位移是零，经
周期振子的位移为负向最大，故其位移—时间图象如图所示。
（3）由函数图象可知振子的位移与时间函数关系式为
x＝10sin（10πt＋π）cm
[答案]
（1）10cm 0.2s
（2）见解析图
（3）x＝10sin（10πt＋π）cm
[点评]
（1）为了写出简谐运动的表达式x＝Asin（ωt＋φ），首先要明确表达式中各物理量的意义，找到各物理量对应的数值，根据ω＝
＝2πf确定三个描述振动快慢的物理量间的关系，有时还需要画出其振动图象来解决问题。
（2）在给定振动图象条件下，可由图象直接读出振幅A、初相φ0及周期T，从而写出位移与时间的关系式x＝Asin（ωt＋φ0）。
初相即t＝0时由sinφ0的值来判定φ0的取值。
[即时巩固]
2．物体A做简谐运动的振动位移为xA＝3cos
m，物体B做简谐运动的振动位移为xB＝5cos
m。
比较A、B的运动（ ）
A．振幅是矢量，A的振幅是6m，B的振幅是10m
B．周期是标量，A、B周期相等为100s
C．A振动的频率fA等于B振动的频率fB
D．A振动的频率fA大于B振动的频率fB
解析：
选C 振幅是标量，A、B的振动范围分别是6m、10m，但振幅分别是3m、5m，A错误；周期是标量，A、B的周期T＝
＝
s≈6.28×10－2s，B错误；因为TA＝TB，故fA＝fB，C正确，D错误。
1．[多选]下列关于简谐运动的振幅、周期和频率的说法哪些是正确的（ ）
A．振幅是矢量，方向从平衡位置指向最大位移处
B．周期和频率的乘积是一个常数
C．振幅增加，周期必然增加，而频率减小
D．做简谐运动的物体，其频率固定，与振幅无关
解析：
选BD 振幅A是标量，A错误；周期与频率互为倒数，即Tf＝1，B正确；简谐运动的周期与振幅没有关系，周期的长短、频率的大小由系统本身决定，C错误，D正确。
2.如图所示，弹簧振子以O为平衡位置在BC间做简谐运动，则（ ）
A．从B→O→C为一次全振动
B．从O→B→O→C为一次全振动
C．从C→O→B→O→C为一次全振动
D．从D→C→O→B→O为一次全振动
解析：
选C 由全振动的概念可知C→O→B→O→C为一次全振动，C正确，A、B、D错误。
3．[多选]（2016·温州高二检测）一个弹簧振子的振幅是A，若在Δt的时间内物体运动的路程是s，则下列关系中可能正确的是（包括一定正确的）（ ）
A．Δt＝2T，s＝8A B．Δt＝
，s＝2A
C．Δt＝
，s＝2AD．Δt＝
，s>A
解析：
选ABD 简谐运动物体在一个周期内的路程为4A，在半个周期内的路程为2A，在
周期内的路程可能等于A，可能大于A也可能小于A，但不可能是2A，C错误，A、B、D正确。
4．[多选]某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝Asin
t，则质点（ ）
A．第1s末与第3s末的位移相同
B．第1s末与第3s末的速度相同
C．3s末至5s末的位移方向都相同
D．3s末至5s末的速度方向都相同
解析：
选AD 由表达式x＝Asin
t知，ω＝
，简谐运动的周期T＝
＝8s。
表达式对应的振动图象如图所示。
质点在第1s末的位移x1＝Asin
×1＝
A，质点在第3s末的位移x3＝Asin
×3＝
A，A正确；由前面计算可知t＝1s和t＝3s质点连续通过同一位置，故两时刻质点速度大小相等，但方向相反，B错误；由x t图象可知，3～4s内质点的位移为正值，4～5s内质点的位移为负值，C错误；同样由x t图象可知，在3～5s内，质点一直向负方向运动，D正确。
5．如图所示，A、B为两弹簧振子的振动图象，求它们的相位差。
解析：
由图象可知这两个振动的周期相同，均为0.4s，因此有确定的相位差。
而相位差为初相之差。
t＝0时，xA＝AsinφA，xA＝0，φA＝0
t＝0时，xB＝AsinφB，xB＝－A，φB＝－
π
φA－φB＝
π
答案：
π
[基础练]
一、选择题
1．关于简谐运动的频率，下列说法中正确的是（ ）
A．频率越高，振动质点运动的速度越大
B．频率越高，单位时间内速度的方向变化的次数越多
C．频率是50Hz时，1s内振动物体速度方向改变25次
D．弹簧振子的振动频率与物体通过平衡位置时的速度大小有关
解析：
选B 质点的频率与其
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