高考冲刺高考数学总复习专题检测十八 概率与统计随机变量及其分布列文档格式.docx
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0.62×
(1-0.6),投中3次的概率为P(k=3)=0.63,所以通过测试的概率为P(k=2)+P(k=3)=C
(1-0.6)+0.63=0.648.
3.(2017·
武汉调研)小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游,每人只去一个景点,设事件A=“4个人去的景点不相同”,事件B=“小赵独自去一个景点”,则P(A|B)=( )
A.
B.
C.
D.
选A 小赵独自去一个景点共有4×
3×
3=108种可能性,4个人去的景点不同的可能性有A
=4×
2×
1=24种,∴P(A|B)=
=
.
4.(2017·
惠州三调)齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马,田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马,现从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛,则田忌获胜的概率为( )
选A 设田忌的上、中、下三个等次的马分别为A,B,C,齐王的上、中、下三个等次的马分别为a,b,c,从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛的所有可能结果有Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,Ca,Cb,Cc,共9种,田忌获胜有Ab,Ac,Bc,共3种,所以田忌获胜的概率为
.
5.(2017·
西安八校联考)在平面区域{(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤4}内随机投入一点P,则点P的坐标(x,y)满足y≤x2的概率为( )
B.
D.
选B 不等式组
表示的平面区域的面积为2×
4=8,不等式组
表示的平面区域的面积为
x2dx=
,因此所求的概率P=
6.甲、乙两人进行围棋比赛,约定先连胜2局者直接赢得比赛,若赛完5局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为
,乙获胜的概率为
,各局比赛结果相互独立.记X为比赛决出胜负时的总局数,则X的数学期望是( )
B.
D.
选C 用Ak表示“第k局甲获胜”,Bk表示“第k局乙获胜”,
则P(Ak)=
,P(Bk)=
,k=1,2,3,4,5.
X的所有可能取值为2,3,4,5,且P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2)=
,
P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3)=P(B1)P(A2)·
P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)=
P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4)=P(A1)·
P(B2)P(A3)P(A4)+P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)=
P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=
故X的分布列为:
X
2
3
4
5
E(X)=2×
+3×
+4×
+5×
二、填空题
7.(2017·
江苏高考)记函数f(x)=
的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率是________.
由6+x-x2≥0,解得-2≤x≤3,则D=[-2,3],则所求概率P=
答案:
8.某车间共有6名工人,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数,日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.从该车间6名工人中,任取2人,则至少有1名优秀工人的概率为________.
由茎叶图可知6名工人加工零件数分别为17,19,20,21,25,30,平均值为
(17+19+20+21+25+30)=22,则优秀工人有2名,从该车间6名工人中,任取2人共有C
=15种取法,其中至少有1名优秀工人的共有C
C
+C
=9种取法,由概率公式可得P=
9.某商场在儿童节举行回馈顾客活动,凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动,具体规则如下:
每人最多可射击3次,一旦击中,则可获奖且不再继续射击,否则一直射满3次为止.设甲每次击中的概率为p(p≠0),射击次数为η,若η的均值E(η)>
,则p的取值范围是________.
由已知得P(η=1)=p,P(η=2)=(1-p)p,P(η=3)=(1-p)2,
则E(η)=p+2(1-p)p+3(1-p)2=p2-3p+3>
解得p>
或p<
又p∈(0,1),所以p∈
三、解答题
10.某市教育局为了解高三学生体育达标情况,对全市高三学生进行了体能测试,经分析,全市高三学生的体能测试成绩X服从正态分布N(80,σ2)(满分为100分).已知P(X≤75)=0.3,P(X≥95)=0.1,现从该市高三学生中随机抽取3位同学.
(1)求抽到的3位同学在该次体能测试中的成绩在区间[80,85),[85,95),[95,100]内各有1位的概率;
(2)记抽到的3位同学在该次体能测试中的成绩在区间(75,85)内的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ).
解:
(1)由题意知,P(80≤X<
85)=0.5-P(X≤75)=0.2,P(85≤X<
95)=0.3-0.1=0.2,
所以所求概率P=A
0.2×
0.1=0.024.
(2)P(75<
X<
85)=1-2P(X≤75)=0.4,
所以ξ服从二项分布B(3,0.4),
P(ξ=0)=0.63=0.216,
P(ξ=1)=C
0.4×
0.62=0.432,
P(ξ=2)=C
0.42×
0.6=0.288,
P(ξ=3)=0.43=0.064,
所以随机变量ξ的分布列为:
1
0.216
0.432
0.288
0.064
数学期望E(ξ)=3×
0.4=1.2.
11.(2018届高三·
云南11校跨区调研)为了解一种植物果实的情况,随机抽取一批该植物果实样本测量重量(单位:
克),按照[27.5,32.5),[32.5,37.5),[37.5,42.5),[42.5,47.5),[47.5,52.5]分为5组,其频率分布直方图如图所示.
(1)求图中a的值;
(2)估计这种植物果实重量的平均数
和方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(3)已知这种植物果实重量不低于32.5克的即为优质果实,用样本估计总体.若从这种植物果实中随机抽取3个,其中优质果实的个数为X,求X的分布列和数学期望E(X).
(1)组距d=5,由5×
(0.02+0.04+0.075+a+0.015)=1,得a=0.05.
(2)各组中点值和相应的频率依次为
中点值
30
35
40
45
50
频率
0.2
0.375
0.25
0.075
=30×
0.1+35×
0.2+40×
0.375+45×
0.25+50×
0.075=40,
s2=(-10)2×
0.1+(-5)2×
0.2+02×
0.375+52×
0.25+102×
0.075=28.75.
(3)由已知,这种植物果实的优质率p=0.9,且X服从二项分布B(3,0.9),
P(X=0)=0.13=0.001,
P(X=1)=C
0.9×
0.12=0.027,
P(X=2)=C
0.92×
0.1=0.243,
P(X=3)=0.93=0.729,
所以X的分布列为:
0.001
0.027
0.243
0.729
故数学期望E(X)=np=2.7.
12.班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析,决定从本班24名女同学,18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析.
(1)如果按照性别比例分层抽样,可以得到多少个不同的样本?
(写出算式即可,不必计算出结果)
(2)如果随机抽取的7名同学的数学、物理成绩(单位:
分)对应如下表:
学生序号i
6
数学成绩xi
60
65
70
75
85
87
90
物理成绩yi
77
80
86
93
①若规定85分以上(包括85分)为优秀,从这7名同学中抽取3名同学,记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为ξ,求ξ的分布列和数学期望;
②根据上表数据,求物理成绩y关于数学成绩x的线性回归方程(系数精确到0.01),若班上某位同学的数学成绩为96分,预测该同学的物理成绩为多少分?
附:
线性回归方程
x+
,其中
-
(xi-
)2
)(yi-
)
76
83
812
526
(1)依据分层抽样的方法,24名女同学中应抽取的人数为
24=4,18名男同学中应抽取的人数为
18=3,
故不同的样本的个数为C
(2)①∵7名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为3,
∴ξ的取值为0,1,2,3.
∴P(ξ=0)=
,P(ξ=1)=
P(ξ=2)=
,P(ξ=3)=
∴ξ的分布列为:
∴E(ξ)=0×
+1×
+2×
②∵
≈0.65,
=83-0.65×
76=33.60.
∴线性回归方程为
=0.65x+33.60.
当x=96时,
=0.65×
96+33.60=96.
∴可预测该同学的物理成绩为96分.
B卷——大题增分专练
1.(2018届高三·
湖南十校联考)为响应国家“精准扶贫,产业扶贫”的战略,进一步优化能源消费结构,某市决定在地处山区的A县推进光伏发电项目.在该县山区居民中随机抽取50户,统计其年用电量得到以下统计表.以样本的频率作为概率.
用电量(单位:
度)
(0,200]
(200,400]
(400,600]
(600,800]
(800,1000]
户数
15
10
(1)在该县山区居民中随机抽取10户,记其中年用电量不超过600度的户数为X,求X的数学期望;
(2)已知该县某山区自然村有居民300户.若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组,该机组所发电量除保证该村正常用电外,剩余电量国家电网以0.8元/度的价格进行收购.经测算每千瓦装机容量的发电机组年平均发电1000