第四章 第3节Word文档下载推荐.docx
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奇偶性
奇函数
偶函数
递增区间
[2kπ－π，2kπ]
递减区间
[2kπ，2kπ＋π]
无
对称中心
（kπ，0）
对称轴方程
x＝kπ＋
x＝kπ
[常用结论与微点提醒]
1.对称与周期
（1）正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是
个周期.
（2）正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.
2.要注意求函数y＝Asin（ωx＋φ）的单调区间时A和ω的符号，尽量化成ω＞0时情况，避免出现增减区间的混淆.
诊断自测
1.思考辨析（在括号内打“√”或“×
”）
（1）余弦函数y＝cosx的对称轴是y轴.（ ）
（2）正切函数y＝tanx在定义域内是增函数.（ ）
（3）已知y＝ksinx＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.（ ）
（4）y＝sin|x|是偶函数.（ ）
解析
（1）余弦函数y＝cosx的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条.
（2）正切函数y＝tanx在每一个区间
（k∈Z）上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.
（3）当k>
0时，ymax＝k＋1；
当k<
0时，ymax＝－k＋1.
答案
（1）×
（2）×
（3）×
（4）√
2.（2017·
全国Ⅱ卷）函数f（x）＝sin
的最小正周期为（ ）
A.4πB.2πC.πD.
解析 由题意T＝
＝π.
答案 C
3.（2017·
全国Ⅲ卷）函数f（x）＝
sin
＋cos
的最大值为（ ）
A.
B.1
C.
D.
解析 cos
＝cos
＝sin
，则f（x）＝
＋sin
＝
，函数的最大值为
.
答案 A
4.（2018·
长春检测）若函数f（x）＝sin
（φ∈[0，2π]）是偶函数，则φ＝________.
解析 由已知f（x）＝sin
是偶函数，可得
＝kπ＋
（k∈Z），即φ＝3kπ＋
（k∈Z），又φ∈[0，2π]，所以φ＝
答案
5.（必修4P47B2改编）函数y＝－tan
的单调递减区间为________.
解析 因为y＝tanx的单调递增区间为
（k∈Z），
所以由－
＋kπ＜2x－
＜
＋kπ（k∈Z），
得
＋
＜x＜
所以y＝－tan
的单调递减区间为
（k∈Z）.
（k∈Z）
考点一 三角函数的定义域
【例1】
（1）函数y＝
的定义域为________.
（2）函数y＝lg（sinx）＋
解析
（1）要使函数有意义，必须有
即
故函数的定义域为
（2）函数有意义，则
解得
所以2kπ<
x≤
＋2kπ（k∈Z），
所以函数的定义域为
答案
（1）
（2）
规律方法 1.三角函数定义域的求法
（1）以正切函数为例，应用正切函数y＝tanx的定义域求函数y＝Atan（ωx＋φ）的定义域.
（2）转化为求解简单的三角不等式求复杂函数的定义域.
2.简单三角不等式的解法
（1）利用三角函数线求解.
（2）利用三角函数的图象求解.
【训练1】
（1）函数f（x）＝－2tan
的定义域是（ ）
B.
D.
（2）（一题多解）函数y＝
解析
（1）由正切函数的定义域，得2x＋
≠kπ＋
（k∈Z），即x≠
（k∈Z），故选D.
（2）法一
要使函数有意义，必须使sinx－cosx≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所示.
在[0，2π]内，满足sinx＝cosx的x为
，
，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为
法二 利用三角函数线，
画出满足条件的终边范围（如图阴影部分所示）.
所以定义域为
法三 sinx－cosx＝
≥0，将x－
视为一个整体，由正弦函数y＝
sinx的图象和性质可知2kπ≤x－
≤π＋2kπ（k∈Z），
解得2kπ＋
≤x≤2kπ＋
答案
（1）D
（2）
考点二 三角函数的值域（最值）
【例2】
（1）函数y＝sinx－cos
的值域为________.
（2）（2017·
全国Ⅱ卷）函数f（x）＝sin2x＋
cosx－
的最大值是________.
（3）函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域为________.
解析
（1）∵y＝sinx－cos
＝sinx－
cosx＋
sinx＝
sinx－
cosx＝
∴函数y＝sinx－cos
的值域为[－
].
（2）f（x）＝sin2x＋
f（x）＝1－cos2x＋
令cosx＝t且t∈[0，1]，
则y＝－t2＋
t＋
＝－
＋1，
则当t＝
时，f（x）取最大值1.
（3）设t＝sinx－cosx，
则t2＝sin2x＋cos2x－2sinxcosx，
sinxcosx＝
，且－
≤t≤
∴y＝－
＋t＋
（t－1）2＋1.
当t＝1时，ymax＝1；
当t＝－
时，ymin＝－
－
∴函数的值域为
答案
（1）[－
]
（2）1 （3）
规律方法 求解三角函数的值域（最值）常见到以下几种类型：
（1）形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin（ωx＋φ）＋c的形式，再求值域（最值）；
（2）形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域（最值）；
（3）形如y＝asinxcosx＋b（sinx±
cosx）＋c的三角函数，可先设t＝sinx±
cosx，化为关于t的二次函数求值域（最值）.
【训练2】
（1）函数y＝－2sinx－1，x∈
的值域是（ ）
A.[－3，1]B.[－2，1]C.（－3，1]D.（－2，1]
（2）（2016·
全国Ⅱ卷）函数f（x）＝cos2x＋6cos
A.4B.5C.6D.7
解析
（1）由y＝sinx在
上，－1≤sinx<
，所以函数y＝－2sinx－1，x∈
的值域是（－2，1].
（2）由f（x）＝cos2x＋6cos
＝1－2sin2x＋6sinx＝－2
，所以当sinx＝1时函数的最大值为5，故选B.
答案
（1）D
（2）B
考点三 三角函数的性质（多维探究）
命题角度1 三角函数的奇偶性与周期性
【例3－1】
（1）（2017·
山东卷）函数y＝
sin2x＋cos2x的最小正周期为（ ）
B.
C.πD.2π
（2）（2018·
武汉调研）设函数f（x）＝sin
cos
的图象关于y轴对称，则θ＝（ ）
A.－
B.
C.－
解析
（1）∵y＝2
＝2sin
∴T＝
（2）f（x）＝sin
2sin
，由题意可得f（0）＝2sin
＝±
2，即sin
1，∴θ－
＋kπ（k∈Z），∴θ＝
＋kπ（k∈Z），∵|θ|<
，∴k＝－1时，θ＝
答案
（1）C
（2）A
规律方法 1.若f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A，ω≠0），则
（1）f（x）为偶函数的充要条件是φ＝
＋kπ（k∈Z）；
（2）f（x）为奇函数的充要条件是φ＝kπ（k∈Z）.
2.函数y＝Asin（ωx＋φ）与y＝Acos（ωx＋φ）的最小正周期T＝
，y＝Atan（ωx＋φ）的最小正周期T＝
命题角度2 三角函数的单调性
【例3－2】
（1）函数f（x）＝sin
（2）（一题多解）若函数f（x）＝sinωx（ω>
0）在
上单调递增，在区间
上单调递减，则ω＝________.
解析
（1）由已知可得函数为y＝－sin
，欲求函数的单调递减区间，只需求y＝sin
的单调递增区间.
由2kπ－
≤2x－
≤2kπ＋
，k∈Z，
得kπ－
≤x≤kπ＋
，k∈Z.
故所求函数的单调递减区间为
（2）法一 由于函数f（x）＝sinωx（ω>
0）的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，
为函数f（x）的
周期，故
，解得ω＝
法二 由题意，得f（x）max＝f
ω＝1.
由已知并结合正弦函数图象可知，
ω＝
（k∈Z）
（2）
规律方法 1.求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y＝Asin（ωx＋φ）形式，再求y＝Asin（ωx＋φ）的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.
2.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.
命题角度3 三角函数的对称轴或对称中心
【例3－3】
（1）（2018·
石家庄检测）若
是函数f（x）＝sinωx＋cosωx图象的一个对称中心，则ω的一个取值是（ ）
A.2B.4C.6D.8
全国Ⅰ卷）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）
，x＝－
为f（x）的零点，x＝
为y＝f（x）图象的对称轴，且f（x）在
上单调，则ω的最大值为（ ）
A.11B.9C.7D.5
解析
（1）因为f（x）＝sinωx＋cosωx＝
，由题意，知f
＝0，所以
＝kπ（k∈Z），即ω＝8k－2（k∈Z），当k＝1时，ω＝6.
（2）因为x＝－
为f（x）的图象的对称轴，所以
，即
T＝
·
，所以ω＝2k＋1（k∈N*）.
又因为f（x）在
上单调，所以
≤
，即ω≤12.
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