专题11 函数概念及三要素学生版Word格式文档下载.docx

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3．分段函数

若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．

分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．

【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始

考向一函数、映射的判断

【例1】

（1）若函数y＝f（x）的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f（x）的图象可能是（　　）

（2）集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不表示从A到B的函数的是（　　）

A．f：

x→y＝

xB．f：

x

C．f：

xD．f：

【数学套路】

1.是否为函数关系的判断

（1）两个非空数集，即函数的定义域和值域是否为空，函数的定义域和值域不能为空

（2）看是否满足一个x只能对应的y,或者多个x对应一个y，即为函数。

注意：

函数为特殊的映射

2.映射

（1）两个非空集合。

【举一反三】

1．下列从集合

到集合

的对应关系中，其中

是

的函数的是

A．

，对应关系

其中

B．

C．

对应关系

D．

2．下图中，能表示函数

的图象的是（）

B．

C．

D．

考向二函数定义域求法

类型一：

已知解析式求定义域

【例2-1】

（1）函数

的定义域是。

（2）函数

【套路总结】

一．已知函数解析式求定义域，一般遵循下面原则，列出不等式组解不等式。

1.分式：

分母不为0

2.根式：

开偶次方根，被开方数大于等于0

3.对数：

对数的真数大于0，底数大于0且不等于1

4.指数：

指数的底数大于0且不等于1

5.

6.正切：

7.无以上情况定义域为R

二．求函数定义域的注意点

1.不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化．

2.当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．

（3）定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．

1．函数

的定义域为。

2．函数

3．函数

的定义域为_____________.

类型二求无解析式的定义域

【例2】

（1）若函数f（x）的定义域是[－1,3]，则函数f（2x－1）的定义域是________

（2）已知函数f（2x+1）的定义域为（﹣2，0），则f（x）的定义域为（　　）

（3）已知函数

的定义域为

，则函数

的定义域为______

（4）函数

未知解析式函数的定义域求解：

一般遵循对应法则不变，括号内同范围

1.若y＝f（x）的定义域为（a，b），则解不等式a<

g（x）<

b即可求出y＝f（g（x））的定义域；

2.若y＝f（g（x））的定义域为（a，b），则求出g（x）在（a，b）上的值域即得f（x）的定义域．

的定义域是

的定义域为_________．

2．已知函数

，函数

，则

的定义域为_________

3.若函数

的定义域为________．

4.已知函数

的定义域是__________．

类型三利用定义域求参数

【例3】

（1）若函数

，则实数

的取值范围是（）

或

（2）已知函数

（其中

，且

）在区间

上单调递增，则函数

的定义域为（）

1.若函数

的定义域为R，则实数

的取值范围是_______.

2.若函数f（x）＝

的定义域为{x|1≤x≤2}，则a＋b的值为________．

考向三函数的解析式求法

（1）已知f

＝x2＋

，求f（x）的解析式．

（2）已知f

＝lgx，求f（x）的解析式．

（3）已知f（x）是二次函数，且f（0）＝0，f（x＋1）＝f（x）＋x＋1，求f（x）．

（4）已知函数f（x）的定义域为（0，＋∞），且f（x）＝2f

－1，求f（x）．

（5）.已知f（x）是（0，＋∞）上的增函数，若f[f（x）－lnx]＝1，则f（x）。

（6）．若函数f（x）的图像如图所示，则f（x）的解析式可能是（）

函数解析式的求法

1.待定系数法：

若已知函数的类型，可用待定系数法；

2.换元法：

已知复合函数f（g（x））的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；

3.配凑法：

由已知条件f（g（x））＝F（x），可将F（x）改写成关于g（x）的表达式，然后以x替代g（x），便得f（x）的解析式．

4.方程组法．已知f（x）满足某个等式，这个等式除f（x）是未知量外，还有其他未知量，如f，f（－x）等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f（x）．

1.设二次函数y＝f（x）的最大值为13，且f（3）＝f（－1）＝5，求f（x）的解析式；

2．已知f

＝

3．已知函数f（x）满足f

＋2f

＝3x，则f（－2）＝________.

4．已知f（x）是二次函数且f（0）＝2，f（x＋1）－f（x）＝x－1，则f（x）＝________.

考向四函数值域的求法

【例4】求下列函数的值域

（1）f（x）＝log2（3x＋1）

（2）f（x）＝

，x∈[－3，－1]（3）y＝2x＋

；

（4）y＝x＋4＋

.（5）y＝

（6）y＝

，x∈

求函数值域，应根据解析式的结构特点，选择适当的方法，而常用的方法有：

（1）观察法；

（2）配方法；

（3）换元法；

（4）分离常数法；

（5）单调性法；

（6）数形结合法．

1.求下列函数的值域：

（1）y＝3x2－x＋2，x∈[1,3]；

（2）y＝

（3）y＝x＋4

（4）y＝

.

考向五相等函数

【例4】判断下列各组中的两个函数是同一函数的是（　　）

①y1＝

，y2＝x－5；

②f（x）＝x，g（x）＝

③f（x）＝x，g（x）＝

④f1（x）＝（

）2，f2（x）＝2x－5.

A．①②B．②③C．③D．③④

判断两个函数是否为相等函数，从函数的三要素判断，三要素中由两个要素相同即函数相等。

一般判断函数的定义域、化简后的解析式是否相同。

1．下列各组函数中，表示同一函数的是

A．

B．

C．

D．

2．下列函数为同一函数的是

与

3．下列各组函数中，表示同一函数的是（）

B．

D．

（

）与

（

）

4．下列各组函数中，表示同一函数的是（）

考向六分段函数

【例6】

（1）设函数f（x）＝

则f（－2）＋f（log212）＝

（2）已知函数f（x）＝

且f（a）＝－3，则f[f（14－a）]＝________.

（3）已知函数f（x）＝

若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是。

一．分段函数的求值问题的解题思路

1.求函数值：

当出现f（f（a））的形式时，应从内到外依次求值．

2.求自变量的值：

先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．

二．分段函数与方程、不等式问题的求解思路

依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．

1.已知f（x）＝

且f（0）＝2，f（－1）＝3，则f（f（－3））＝________.

2.已知函数f（x）＝

则f（2＋log32）的值为________．

3.已知实数a≠0，函数f（x）＝

若f（1－a）＝f（1＋a），则a的值为________．

4.已知函数f（x）＝

则f 

的值是________．

【运用套路】---纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行

1．给定的下列四个式子中，能确定y是x的函数的是。

①x2－y2＝1；

②|x－1|＋

＝0；

③

④y＝

2．下列对应法则f中，能构成从A到B的函数的有。

①A={0，2}，B={0，1}，f：

x→y=

②A={–2，0，2}，B={4}，f：

x→y=x2；

③A=R，B={y|y>

0}，f：

④A=R，B=R，f：

x→y=2x+1．

A．1个B．2个C．3个D．4个

4．函数

的定义域是．

5．已知函数

，

6．若y=f（x）的定义域为（0，2]，则函数g（x）=

7．函数

则函数

的定义域。

8．已知函数

的取值范围是。

9．函数

的定义域为__________．

10．记函数

的定义域为D．若在区间[－5，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率为__________．

11.已知f（x）是一次函数，且f[f（x）]＝x＋2，则f（x）＝

12．若

对于任意实数

恒有

.

13．下列哪组中的两个函数是同一函数。

与y=x+1

D．y=x与

14．已知函数

满足

的解析式为__________.

15.函数y＝2x－

的值域是________．

16函数f（x）＝

17.函数y＝

18.函数f（x）＝

的值域为________．

19．已知

那么

等于。

20．已知函数

，若

21．已知函数

，则实数a的值是。

22．设函数

的取值范围是__________.

23．已知函数

__________