湖北省武汉市质检一武汉市届高三第一次质量检测数学理试题含答案.docx

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湖北省武汉市质检一武汉市届高三第一次质量检测数学理试题含答案

湖北省武汉市2020届高三第一次质量检测

理科数学

注意事项：

1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写到答题卡和试卷规定的位置上。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3.必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：

本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|2x＞4}，B＝{x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则（∁UA）∩B＝（　　）

A．（1，2）B．（1，2]C．（1，3）D．（﹣∞，2]

2．（5分）已知复数z满足（1i）z＝1+i，则复平面内与复数z对应的点在（　　）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

3．（5分）已知函数f（x）＝sin4x﹣cos4x，则下列说法正确的是（　　）

A．f（x）的最小正周期为2π

B．f（x）的最大值为2

C．f（x）的图象关于y轴对称

D．f（x）在区间[，]上单调递减

4．（5分）已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，其前n项和为Sn，且b7＝a7，则S13＝（　　）

A．26B．52C．78D．104

5．（5分）已知直线m，n和平面α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

6．（5分）如图所示为某三棱锥的三视图，则该三棱锥外接球的表面积为（　　）

A．B．24πC．16πD．8π

7．（5分）已知函数f（x），若f（a）≥1，则a的取值范围是（　　）

A．[1，2）B．[1，+∞）

C．[2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）

8．（5分）已知实数x，y满足，则的取值范围为（　　）

A．B．

C．D．

9．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（　　）

A．1007B．3025C．2017D．3024

10．（5分）已知△ABC的内角A，AB＝6，AC＝4，O为△ABC所在平面上一点，且满足OA＝OB＝OC，设mn，则m+n的值为（　　）

A．B．1C．D．2

11．（5分）抛物线C：

y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F且倾斜角为60°的直线为l，M（﹣3，0），若抛物线C上存在一点N，使M，N关于直线l对称，则p＝（　　）

A．2B．3C．4D．5

12．（5分）在四面体ABCD中，AD⊥平面ABC，AB＝AC，BC＝2，若四面体ABCD的外接球的表面积为，则四面体ABCD的体积为（　　）

A．24B．12C．8D．4

二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13．（5分）（1﹣x）10的展开式中，x3的系数等于　　．

14．（5分）若向量，夹角为，且，，则与的夹角为　　．

15．（5分）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF＝2AF，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是　　．

16．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn．满足a1＝2，3Sn＝（n+m）an，（m∈R），且anbn＝n，若存在n∈N*，使得λ+Tn≥T2n成立，则实数λ的最小值为　　．

三、解答题：

共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：

共60分。

17．（12分）△ABC内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知c＝acosB+bsinA．

（Ⅰ）求A

（Ⅱ）若a＝2，求△ABC面积的最大值．

18．（12分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，FO⊥平面ABCD，四边形OAEF为平行四边形．

（1）求证：

平面DEF⊥平面BDF；

（2）若AB＝FO＝2，BD＝2，点H在线段BF上，且BF＝3HF，求平面ACH与平面DEF所成角的正弦值．

19．（12分）已知椭圆C：

的离心率为，且经过点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设F是椭圆C的右焦点，M为椭圆上一点，以M为圆心，MF为半径作圆M．问点M的横坐标在什么范围内取值时，圆M与y轴有两个交点？

（3）设圆M与y轴交于D、E两点，求弦长DE的最大值．

20．（12分）大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备．某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人参与学习先修课程，这两年学习先修课程的学生都参加了高校的自主招生考试（满分100分），结果如表所示：

分数a

95≤a≤100

85≤a＜95

75≤a＜85

60≤a＜75

a＜60

人数

25

50

100

50

25

参加自主招生获得通过的概率

0.9

0.8

0.6

0.4

0.3

（Ⅰ）这两年学校共培养出优等生150人，根据如图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？

优等生

非优等生

总计

学习大学先修课程

250

没有学习大学先修课程

总计

150

（Ⅱ）已知今年全校有150名学生报名学习大学先修课程，并都参加了高校的自主招生考试，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率

（i）在今年参与大学先修课程学习的学生中任取一人，求他获得高校自主招生通过的概率；

（ii）某班有4名学生参加了大学先修课程的学习，设获得高校自主招生通过的人数为X，求X的分布列，试估计今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数．

参考数据：

P（K2≥k0）

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

k0

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

参考公式：

K2，其中n＝a+b+c+d

21．（12分）已知函数f（x）．

（Ⅰ）当a＝b＝1时，求函数f（x）的极值；

（Ⅱ）若f

（1）＝1，且方程f（x）＝1在区间（0，1）内有解，求实数a的取值范围．

（二）选考题：

共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求曲线C的极坐标方程；

（2）在曲线C上取两点M，N与原点O构成△MON，且满足∠MON，求△MON面积的最大值．

23．已知函数f（x）＝﹣x2+2x﹣3．

（1）求f（x）在区间[2a﹣1，2]上的最小值g（a）；

（2）求g（a）的最大值．

参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）

1．【分析】求出集合A＝{x|2x＞4}＝{x|x＞2}，B＝{x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}＝{x|1＜x＜3}，从而∁UA＝{x|x≤2}，由此能求出（∁UA）∩B．

【解答】解：

∵全集U＝R，集合A＝{x|2x＞4}＝{x|x＞2}，

B＝{x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}＝{x|1＜x＜3}，

∴∁UA＝{x|x≤2}，

∴（∁UA）∩B＝{x|1＜x≤2}＝（1，2]．

故选：

B．

【点评】本题考查补集、并集的求法，考查集合运算等基础知识，考查理解能力、运算求解能力，是基础题．

2．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．

【解答】解：

由（1i）z＝1+i，得z，

∴复平面内与复数z对应的点的坐标为（），在第四象限角．

故选：

D．

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．

3．【分析】先利用同角平方关系及二倍角余弦个公式对已知函数进行化简可得f（x）＝﹣cos2x，结合余弦函数的性质对选项进行判断即可．

【解答】解：

∵f（x）＝sin4x﹣cos4x＝sin2x﹣cos2x＝﹣cos2x，

∴函数的最小正周期T＝π，

∵f（﹣x）＝﹣cos（﹣2x）＝﹣cos2x＝f（x），

∴f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，

∵f（x）＝cos2x在[，]上单调递减，故f（x）＝﹣cos2x在[，]上单调递增．

故选：

C．

【点评】本题主要考查了同角平方关系及二倍角公式，余弦函数的性质等知识的综合应用．

4．【分析】由等比数列的中项性质可得a7＝4，再由等差数列的求和公式和中项性质，可得所求和．

【解答】解：

等比数列{an}中，a3a11＝4a7，

可得a72＝4a7，解得a7＝4，

数列{bn}是等差数列中b7＝a7＝4，

则S1313（b1+b13）＝13b7＝13×4＝52．

故选：

B．

【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．

5．【分析】根据线面平行的判定与性质定理可得：

直线m，n和平面α，n⊂α，则“m∥n”与“m∥α”相互推不出．即可判断出关系．

【解答】解：

直线m，n和平面α，n⊂α，则“m∥n”与“m∥α”相互推不出．

∴“m∥n”是“m∥α”的既不充分也不必要条件．

故选：

D．

【点评】本题考查了线面平行的判定与性质定理、简易逻辑判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

6．【分析】由已知中的三视图可得，该几何体的外接球，相当于一个棱长为2，3，4的长方体的外接球，进而可得答案．

【解答】解：

由已知中的三视图可得，该几何体的外接球，相当于一个棱长为1，1，2的长方体的外接球，

故外接球直径2R，

故该三棱锥的外接球的表面积S＝4πR2＝24π，

故选：

B．

【点评】本题考查的知识点是由三视图，求球的体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．

7．【分析】利用分段函数，列出不等式组转化求解a的范围即可；

【解答】解：

函数f（x），若f（a）≥1，

可得：

或，

解：

，可得：

1≤a＜2；

解得a≥2．

综上a≥1．

故选：

B．

【点评】本题考查分段函数的应用，不等式的解法，考查分类讨论思想的应用．

8．【分析】根据分式的几何意义，作出不等式组对应的平面区域，利用斜率的公式进行求解即可．

【解答】解：

1，

设k，

则k的几何意义是区域内的点到定点D（1，0）的斜率，

作出不等式组对应的平面区域如图，A（3，3），B（0，2），

由图象知，

AD的斜率：

，此时z，

BD的斜率：

2，此时z＝﹣3，

则的取值范围为：

．

故选：

B．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据分式的性质转化为直线斜率的关系是解决本题的关键．

9．【分析】模拟程序框