中考数学复习圆的综合专项易错题含答案Word格式.docx
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∵∠ABM+∠M=∠DOM+∠M，∴∠ABM=∠DOM．
∵∠OAC=∠BAM，OC=BM，∴△OAC≌△BAM，
∴AC=AM．
（2）如图2，过点D作DE∥AB，交OM于点E．
∵OB=OM，OD⊥BM，∴BD=DM．
∵DE∥AB，∴
，∴AE=EM．∵OM=
，∴AE=
，
∴
．（
）
（3）（i）当OA=OC时．∵
．在Rt△ODM中，
∵
．解得
，或
（舍）．
（ii）当AO=AC时，则∠AOC=∠ACO．∵∠ACO＞∠COB，∠COB=∠AOC，∴∠ACO＞∠AOC，∴此种情况不存在．
（ⅲ）当CO=CA时，则∠COA=∠CAO=α．∵∠CAO＞∠M，∠M=90°
﹣α，∴α＞90°
﹣α，∴α＞45°
，∴∠BOA=2α＞90°
．∵∠BOA≤90°
，∴此种情况不存在．
即：
当△OAC为等腰三角形时，x的值为
点睛：
本题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关性质，勾股定理，等腰三角形的性质，建立y关于x的函数关系式是解答本题的关键．
2．已知
的半径为5，弦AB的长度为m，点C是弦AB所对优弧上的一动点．
如图
，若
，则
的度数为______
；
求
的正切值；
若
为等腰三角形，求
面积．
【答案】
30；
的正切值为
或
【分析】
连接OA，OB，判断出
是等边三角形，即可得出结论；
先求出
，再用勾股定理求出
，进而求出
分三种情况，利用等腰三角形的性质和垂径定理以及勾股定理即可得出结论．
【详解】
如图1，连接OB，OA，
，
是等边三角形，
故答案为30；
如图2，连接AO并延长交
于D，连接BD，
为
的直径，
在
中，
，根据勾股定理得，
Ⅰ、当
时，如图3，连接CO并延长交AB于E，
为AB的垂直平分线，
Ⅱ、当
时，如图4，
连接OA交BC于F，
是BC的垂直平分线，
过点O作
于G，
Ⅲ、当
时，如图5，由对称性知，
【点睛】
圆的综合题，主要圆的性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
3．如图，已知Rt△ABC中，C=90°
，O在AC上，以OC为半径作⊙O，切AB于D点，且BC=BD．
（1）求证：
AB为⊙O的切线；
（2）若BC=6，sinA=
，求⊙O的半径；
（3）在
（2）的条件下，P点在⊙O上为一动点，求BP的最大值与最小值.
（1）连OD，证明略；
（2）半径为3；
（3）最大值3
+3，3
-3.
（1）连接OD，OB，证明△ODB≌△OCB即可.
（2）由sinA=
且BC=6可知，AB=10且cosA=
，然后求出OD的长度即可.
（3）由三角形的三边关系，可知当连接OB交⊙O于点E、F，当点P分别于点E、F重合时，BP分别取最小值和最大值.
（1）如图：
连接OD、OB.
在△ODB和△OCB中：
OD=OC,OB=OB,BC=BD;
∴△ODB≌△OCB（SSS）.
∴∠ODB=∠C=90°
∴AB为⊙O的切线.
（2）如图：
∵sinA=
，∴
∵BC=6，∴AB=10,
∵BD=BC=6,
∴AD=AB-BD=4,
，∴cosA=
∴OA=5，∴OD=3，
即⊙O的半径为：
3.
（3）如图：
连接OB，交⊙O为点E、F，
由三角形的三边关系可知：
当P点与E点重合时，PB取最小值.
由
（2）可知：
OD=3，DB=6,
∴OB=
∴PB=OB-OE=
当P点与F点重合时，PB去最大值，
PB=OP+OB=3+
本题属于综合类型题，主要考查了圆的综合知识.关键是对三角函数值、勾股定理、全等三角形判定与性质的理解.
4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，BD＝BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E
（1）求证：
BE是⊙O的切线
（2）若EC＝1，CD＝3，求cos∠DBA
（1）证明见解析；
（2）∠DBA
（1）连接OB，OD，根据线段垂直平分线的判定，证得BF为线段AD的垂直平分线，再根据直径所对的圆周角为直角，得到∠ADC=90°
，证得四边形BEDF是矩形，即∠EBF=90°
，可得出结论.
（2）根据中点的性质求出OF的长，进而得到BF、DE、OB、OD的长，然后根据等角的三角函数求解即可.
证明：
（1）连接BO并延长交AD于F，连接OD
∵BD＝BA，OA＝OD
∴BF为线段AD的垂直平分线
∵AC为⊙O的直径
∴∠ADC＝90°
∵BE⊥DC
∴四边形BEDF为矩形
∴∠EBF＝90°
∴BE是⊙O的切线
（2）∵O、F分别为AC、AD的中点
∴OF＝
CD＝
∵BF＝DE＝1＋3＝4
∴OB＝OD＝
∴cos∠DBA＝cos∠DOF＝
此题主要考查了圆的切线的判定与性质，关键是添加合适的辅助线，利用垂径定理和圆周角定理进行解答，注意相等角的关系的转化.
5．在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x轴，y轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”．
（1）已知点A（2，0），B（0，2
），则以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为 ；
（2）若点C（1，2），点D在直线y=5上，以CD为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD表达式；
（3）⊙O的半径为
，点P的坐标为（3，m）．若在⊙O上存
在一点Q，使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形，求m的取值范围．
（1）60°
（2）y=x+1或y=﹣x+3；
（3）1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1
（1）根据定义建立以AB为边的“坐标菱形”，由勾股定理求边长AB=4，可得30度角，从而得最小内角为60°
（2）先确定直线CD与直线y=5的夹角是45°
，得D（4，5）或（﹣2，5），易得直线CD的表达式为：
y=x+1或y=﹣x+3；
（3）分两种情况：
①先作直线y=x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=x，如图3，根据等腰直角三角形的性质分别求P'
B=BD=1，PB=5，写出对应P的坐标；
②先作直线y=﹣x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=﹣x，如图4，同理可得结论．
（1）∵点A（2，0），B（0，2
），∴OA=2，OB=2
．在Rt△AOB中，由勾股定理得：
AB=
=4，∴∠ABO=30°
∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABC=2∠ABO=60°
∵AB∥CD，∴∠DCB=180°
﹣60°
=120°
，∴以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为60°
故答案为：
60°
（2）如图2．
∵以CD为边的“坐标菱形”为正方形，∴直线CD与直线y=5的夹角是45°
过点C作CE⊥DE于E，∴D（4，5）或（﹣2，5），∴直线CD的表达式为：
①先作直线y=x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=x，如图3．
∵⊙O的半径为
，且△OQ'
D是等腰直角三角形，∴OD=
OQ'
=2，∴P'
D=3﹣2=1．
∵△P'
DB是等腰直角三角形，∴P'
B=BD=1，∴P'
（0，1），同理可得：
OA=2，∴AB=3+2=5．
∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB=5，∴P（0，5），∴当1≤m≤5时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；
②先作直线y=﹣x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=﹣x，如图4．
∵⊙O的半径为
=2，∴BD=3﹣2=1．
（0，﹣1），同理可得：
∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB=5，∴P（0，﹣5），∴当﹣5≤m≤﹣1时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；
综上所述：
m的取值范围是1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1．
本题是一次函数和圆的综合题，考查了菱形的性质、正方形的性质、点P，Q的“坐标菱形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解，属于中考创新题目．
6．如图，AB，BC分别是⊙O的直径和弦，点D为
上一点，弦DE交⊙O于点E，交AB于点F，交BC于点G，过点C的切线交ED的延长线于H，且HC=HG，连接BH，交⊙O于点M，连接MD，ME．
求证：
（1）DE⊥AB；
（2）∠HMD=∠MHE+∠MEH．
（2）证明见解析.
（1）连接OC，根据等边对等角和切线的性质，证明∠BFG=∠OCH=90°
即可；
（2）连接BE，根据垂径定理和圆内接四边形的性质，得出∠HMD=∠BME，再根据三角形的外角的性质证明∠HMD=∠DEB=∠EMB即可．
（1）连接OC，
∵HC=HG，
∴∠HCG=∠HGC；
∵HC切⊙O于C点，
∴∠OCB+∠HCG=90°
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
∵∠HGC=∠BGF，
∴∠OBC+∠BGF=90°
∴∠BFG=90°
，即DE⊥AB；
（2）连接BE，
由
（1）知DE⊥AB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BED=∠BME；
∵四边形BMDE内接于⊙O，
∴∠HMD=∠BED，
∴∠HMD=∠BME；
∵∠BME是△HEM的外角，
∴∠BME=∠MHE+∠MEH，
∴∠HMD=∠MHE+∠MEH．
此题综合性较强，主要考查了切线的性质、三角形的内角和外角的性质、等腰三角形的性质、内接四边形的性质．
7．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，小圆直径AE的延长线
与大圆交于点B，点D在大圆上，BD与小圆相切于点F，AF的
延长线与大圆相交于点C，且CE⊥B
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