中考数学复习圆的综合专项易错题含答案Word格式.docx
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∵∠ABM+∠M=∠DOM+∠M,∴∠ABM=∠DOM.
∵∠OAC=∠BAM,OC=BM,∴△OAC≌△BAM,
∴AC=AM.
(2)如图2,过点D作DE∥AB,交OM于点E.
∵OB=OM,OD⊥BM,∴BD=DM.
∵DE∥AB,∴
,∴AE=EM.∵OM=
,∴AE=
,
∴
.(
)
(3)(i)当OA=OC时.∵
.在Rt△ODM中,
∵
.解得
,或
(舍).
(ii)当AO=AC时,则∠AOC=∠ACO.∵∠ACO>∠COB,∠COB=∠AOC,∴∠ACO>∠AOC,∴此种情况不存在.
(ⅲ)当CO=CA时,则∠COA=∠CAO=α.∵∠CAO>∠M,∠M=90°
﹣α,∴α>90°
﹣α,∴α>45°
,∴∠BOA=2α>90°
.∵∠BOA≤90°
,∴此种情况不存在.
即:
当△OAC为等腰三角形时,x的值为
点睛:
本题是圆的综合题,主要考查了相似三角形的判定和性质,圆的有关性质,勾股定理,等腰三角形的性质,建立y关于x的函数关系式是解答本题的关键.
2.已知
的半径为5,弦AB的长度为m,点C是弦AB所对优弧上的一动点.
如图
,若
,则
的度数为______
;
求
的正切值;
若
为等腰三角形,求
面积.
【答案】
30;
的正切值为
或
【分析】
连接OA,OB,判断出
是等边三角形,即可得出结论;
先求出
,再用勾股定理求出
,进而求出
分三种情况,利用等腰三角形的性质和垂径定理以及勾股定理即可得出结论.
【详解】
如图1,连接OB,OA,
,
是等边三角形,
故答案为30;
如图2,连接AO并延长交
于D,连接BD,
为
的直径,
在
中,
,根据勾股定理得,
Ⅰ、当
时,如图3,连接CO并延长交AB于E,
为AB的垂直平分线,
Ⅱ、当
时,如图4,
连接OA交BC于F,
是BC的垂直平分线,
过点O作
于G,
Ⅲ、当
时,如图5,由对称性知,
【点睛】
圆的综合题,主要圆的性质,圆周角定理,垂径定理,等腰三角形的性质,三角形的面积公式,用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键.
3.如图,已知Rt△ABC中,C=90°
,O在AC上,以OC为半径作⊙O,切AB于D点,且BC=BD.
(1)求证:
AB为⊙O的切线;
(2)若BC=6,sinA=
,求⊙O的半径;
(3)在
(2)的条件下,P点在⊙O上为一动点,求BP的最大值与最小值.
(1)连OD,证明略;
(2)半径为3;
(3)最大值3
+3,3
-3.
(1)连接OD,OB,证明△ODB≌△OCB即可.
(2)由sinA=
且BC=6可知,AB=10且cosA=
,然后求出OD的长度即可.
(3)由三角形的三边关系,可知当连接OB交⊙O于点E、F,当点P分别于点E、F重合时,BP分别取最小值和最大值.
(1)如图:
连接OD、OB.
在△ODB和△OCB中:
OD=OC,OB=OB,BC=BD;
∴△ODB≌△OCB(SSS).
∴∠ODB=∠C=90°
∴AB为⊙O的切线.
(2)如图:
∵sinA=
,∴
∵BC=6,∴AB=10,
∵BD=BC=6,
∴AD=AB-BD=4,
,∴cosA=
∴OA=5,∴OD=3,
即⊙O的半径为:
3.
(3)如图:
连接OB,交⊙O为点E、F,
由三角形的三边关系可知:
当P点与E点重合时,PB取最小值.
由
(2)可知:
OD=3,DB=6,
∴OB=
∴PB=OB-OE=
当P点与F点重合时,PB去最大值,
PB=OP+OB=3+
本题属于综合类型题,主要考查了圆的综合知识.关键是对三角函数值、勾股定理、全等三角形判定与性质的理解.
4.如图,⊙O是△ABC的外接圆,AC为直径,BD=BA,BE⊥DC交DC的延长线于点E
(1)求证:
BE是⊙O的切线
(2)若EC=1,CD=3,求cos∠DBA
(1)证明见解析;
(2)∠DBA
(1)连接OB,OD,根据线段垂直平分线的判定,证得BF为线段AD的垂直平分线,再根据直径所对的圆周角为直角,得到∠ADC=90°
,证得四边形BEDF是矩形,即∠EBF=90°
,可得出结论.
(2)根据中点的性质求出OF的长,进而得到BF、DE、OB、OD的长,然后根据等角的三角函数求解即可.
证明:
(1)连接BO并延长交AD于F,连接OD
∵BD=BA,OA=OD
∴BF为线段AD的垂直平分线
∵AC为⊙O的直径
∴∠ADC=90°
∵BE⊥DC
∴四边形BEDF为矩形
∴∠EBF=90°
∴BE是⊙O的切线
(2)∵O、F分别为AC、AD的中点
∴OF=
CD=
∵BF=DE=1+3=4
∴OB=OD=
∴cos∠DBA=cos∠DOF=
此题主要考查了圆的切线的判定与性质,关键是添加合适的辅助线,利用垂径定理和圆周角定理进行解答,注意相等角的关系的转化.
5.在平面直角坐标系xOy中,点M的坐标为(x1,y1),点N的坐标为(x2,y2),且x1≠x2,y1≠y2,以MN为边构造菱形,若该菱形的两条对角线分别平行于x轴,y轴,则称该菱形为边的“坐标菱形”.
(1)已知点A(2,0),B(0,2
),则以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为 ;
(2)若点C(1,2),点D在直线y=5上,以CD为边的“坐标菱形”为正方形,求直线CD表达式;
(3)⊙O的半径为
,点P的坐标为(3,m).若在⊙O上存
在一点Q,使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形,求m的取值范围.
(1)60°
(2)y=x+1或y=﹣x+3;
(3)1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1
(1)根据定义建立以AB为边的“坐标菱形”,由勾股定理求边长AB=4,可得30度角,从而得最小内角为60°
(2)先确定直线CD与直线y=5的夹角是45°
,得D(4,5)或(﹣2,5),易得直线CD的表达式为:
y=x+1或y=﹣x+3;
(3)分两种情况:
①先作直线y=x,再作圆的两条切线,且平行于直线y=x,如图3,根据等腰直角三角形的性质分别求P'
B=BD=1,PB=5,写出对应P的坐标;
②先作直线y=﹣x,再作圆的两条切线,且平行于直线y=﹣x,如图4,同理可得结论.
(1)∵点A(2,0),B(0,2
),∴OA=2,OB=2
.在Rt△AOB中,由勾股定理得:
AB=
=4,∴∠ABO=30°
∵四边形ABCD是菱形,∴∠ABC=2∠ABO=60°
∵AB∥CD,∴∠DCB=180°
﹣60°
=120°
,∴以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为60°
故答案为:
60°
(2)如图2.
∵以CD为边的“坐标菱形”为正方形,∴直线CD与直线y=5的夹角是45°
过点C作CE⊥DE于E,∴D(4,5)或(﹣2,5),∴直线CD的表达式为:
①先作直线y=x,再作圆的两条切线,且平行于直线y=x,如图3.
∵⊙O的半径为
,且△OQ'
D是等腰直角三角形,∴OD=
OQ'
=2,∴P'
D=3﹣2=1.
∵△P'
DB是等腰直角三角形,∴P'
B=BD=1,∴P'
(0,1),同理可得:
OA=2,∴AB=3+2=5.
∵△ABP是等腰直角三角形,∴PB=5,∴P(0,5),∴当1≤m≤5时,以QP为边的“坐标菱形”为正方形;
②先作直线y=﹣x,再作圆的两条切线,且平行于直线y=﹣x,如图4.
∵⊙O的半径为
=2,∴BD=3﹣2=1.
(0,﹣1),同理可得:
∵△ABP是等腰直角三角形,∴PB=5,∴P(0,﹣5),∴当﹣5≤m≤﹣1时,以QP为边的“坐标菱形”为正方形;
综上所述:
m的取值范围是1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1.
本题是一次函数和圆的综合题,考查了菱形的性质、正方形的性质、点P,Q的“坐标菱形”的定义等知识,解题的关键是理解题意,学会利用图象解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,注意一题多解,属于中考创新题目.
6.如图,AB,BC分别是⊙O的直径和弦,点D为
上一点,弦DE交⊙O于点E,交AB于点F,交BC于点G,过点C的切线交ED的延长线于H,且HC=HG,连接BH,交⊙O于点M,连接MD,ME.
求证:
(1)DE⊥AB;
(2)∠HMD=∠MHE+∠MEH.
(2)证明见解析.
(1)连接OC,根据等边对等角和切线的性质,证明∠BFG=∠OCH=90°
即可;
(2)连接BE,根据垂径定理和圆内接四边形的性质,得出∠HMD=∠BME,再根据三角形的外角的性质证明∠HMD=∠DEB=∠EMB即可.
(1)连接OC,
∵HC=HG,
∴∠HCG=∠HGC;
∵HC切⊙O于C点,
∴∠OCB+∠HCG=90°
∵OB=OC,
∴∠OCB=∠OBC,
∵∠HGC=∠BGF,
∴∠OBC+∠BGF=90°
∴∠BFG=90°
,即DE⊥AB;
(2)连接BE,
由
(1)知DE⊥AB,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠BED=∠BME;
∵四边形BMDE内接于⊙O,
∴∠HMD=∠BED,
∴∠HMD=∠BME;
∵∠BME是△HEM的外角,
∴∠BME=∠MHE+∠MEH,
∴∠HMD=∠MHE+∠MEH.
此题综合性较强,主要考查了切线的性质、三角形的内角和外角的性质、等腰三角形的性质、内接四边形的性质.
7.如图,在以点O为圆心的两个同心圆中,小圆直径AE的延长线
与大圆交于点B,点D在大圆上,BD与小圆相切于点F,AF的
延长线与大圆相交于点C,且CE⊥B