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借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象,有助于探索解决问题的思路,预测结果。
几何直观可以帮助学生直观地理解数学,在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。
(2011版课标),一、几何直观的含义直观:
直接的观察,通过对事物的直接接触而获得的感性认识;
几何:
在几何直观的语境下指图形;
几何直观:
就是借助图形而获得的对数学研究对象的感性认识。
二、几何直观的作用认知心理学认为,学习是人脑内部复杂的信息加工与组织过程。
在这个信息加工与组织过程中,思维的展开更倾向于依据直观形象的成分,而不是依据文字或符号叙述的定义定理。
视角:
由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角。
物体越小或距离越远,视角越小。
思维的展开更倾向于依据直观形象的成分,思维的展开更倾向于依据直观形象的成分,三角形的高,有些时候,教学如果不深入到直观层面,学习只能停留在死记硬背层面。
三、几何直观的表现形式1.实物直观(即实物图)2.替代物直观(已经具备一定的抽象性)3.图形直观,实物直观,实物直观,替代物直观小圆片、小三角形点子图小棒(单根、一捆、一箱)小方块(单个、条、面、体)计数器,替代物直观,替代物直观,图形直观线段图(直条图、示意图)面积模型图(乘法分配律、面积公式)统计图(三种)图形的变换(平移、旋转、轴对称)函数图(正反比例、看图找关系),四、几何直观的两种层次1.直观感知2.直观洞察(首次接触),直观洞察,例2:
观察发现:
平移、旋转能够由轴对称来实现。
进而猜想:
是不是所有的平移、旋转都能由轴对称来替代?
直观洞察,一般地,两次对折,当对称轴互相平行时,相当于一次平移;
当对称轴相交时,相当于一次旋转。
直观洞察(抽象性),直观感知(直观性),五、相关术语的辨析几何直观与数形结合几何直观与空间观念,1.几何直观与数形结合,数形结合主要指借助“形”的直观来理解抽象的“数”。
(分数、行程问题)“数缺形时少直觉,形少数时难入微。
”(华罗庚),“形少数时难入微”,用数表示变化规律:
1、3、5、7、9。
用算式表示变化规律:
1、1+3、1+3+5、1+3+5+7、1+3+5+7+9。
“形少数时难入微”,规律表示:
25=1+2+3+4+5+4+3+2+1,“形少数时难入微”,中心起点:
11红线上点数:
1+34红蓝线上点数:
1+3+59红蓝黄线上点数:
1+3+5+()()红蓝黄绿上线点数:
(),1.几何直观与数形结合,联系与区别联系1:
作用相同,旨在直观地理解数学;
联系2:
应用语境大致相同,很多语境下这两个词可以替换使用。
区别1:
数形结合是一种数学思想,几何直观更指向于课程意识。
区别2:
外延不同。
找不到不是几何直观的数形结合,却可以找到不是数形结合的几何直观。
无须用到“量”的分析,2.几何直观与空间观念,空间观念表现为对形体特征、位置关系、图形变换的想象与描述。
主要指根据物体特征抽象出几何图形,根据几何图形想象出所描述的实际物体;
想象出物体的方位和相互之间的位置关系;
描述图形的运动和变化;
依据语言的描述画出图形等。
2.几何直观与空间观念,联系与区别联系1:
二者有重叠的部分,如“根据几何图形想象出所描述的实际物体”等。
几何直观是建立空间观念的有效手段。
空间观念即使脱离了具体情境也能想象出图形的形状与位置关系,而几何直观更强调借助图形而进行。
空间观念更多局限在“图形与几何”内容领域,而发展学生的几何直观能力需要依托数学课程的每个领域。
六、深度解读几何直观1.在各领域学习中,都要重视几何直观能力的培养。
从更长远看,几何直观的作用不局限于数学。
2.对“图形”的理解可以宽泛些,既可以是有形可视的,也可以是无形想象的。
六、深度解读几何直观3.要看到图形的直观性,也要看到图形的抽象性。
4.几何直观是一种意识,也是一种能力,更是一种思维方式。
5.直观本身不是目的,而是手段。
七、几何直观在教学中的运用1.规划几何直观能力培养的脉络主线2.创新几何直观运用的教学设计,低年级:
实物图示意图线段图中年级:
开始有意识引导学生掌握画示意图和线段图的要点和技巧。
1.规划几何直观能力培养的脉络主线,2.创新几何直观运用的教学设计,
(1)巧用几何直观理解概念追问本质
(2)巧用几何直观洞悉规则追问源头(3)巧用几何直观明晰算理追问思想(4)巧用几何直观探寻思路还原本真,
(1)巧用几何直观理解概念追问本质,动态呈现,动态呈现,
(1)巧用几何直观理解概念追问本质,动态呈现,
(1)巧用几何直观理解概念追问本质,反面干扰,
(1)巧用几何直观理解概念追问本质,反面干扰,
(1)巧用几何直观理解概念,反面干扰,
(1)巧用几何直观理解概念追问本质,外延拓展,小红打一份材料用0.5小时,小丽打相同的材料用1/3小时,
(1)巧用几何直观理解概念追问本质,
(2)巧用几何直观洞悉规则追问源头,
(2)巧用几何直观洞悉规则追问源头,能被2、3、5整除的数,为什么2、5的倍数看个位?
为什么3的倍数要看各数位上的数字之和?
36,236,
(2)巧用几何直观洞悉规则追问源头,54,
(2)巧用几何直观洞悉规则追问源头,123,比例的基本性质?
乘法分配律?
(2)巧用几何直观洞悉规则追问源头,分数除法,为什么除以一个数,等于乘这个数的倒数?
(2)巧用几何直观明晰算理追问思想,例1:
小明2/3小时走2千米,每小时走几千米?
师追问:
假如不能整除的怎么办,如37/8?
怎么利用上节课的方法进行算式“变形运算”呢?
说明:
学生在上节课“分数除以整数”的学习中已经掌握如“4/534/51/3”、“ABA1/B(B0)”的计算方法。
结合学生的回答板书:
22/322321/2323/237/837831/7838/7,几何直观数的变形运算,例2:
课件动态演示“做花”的情境:
3/4张纸做了6朵花。
师:
你看懂了什么?
生1:
生2:
一张纸平均分成4份,其中的3份做6朵花,一张纸可以做几朵花?
出示题:
3/4张纸做了6朵花,一张纸可以做多少朵花?
(生列式)师:
63/4,怎么算?
生:
前面的分数除以整数,是乘一个数的倒数。
我想这个也是,我用“以此类推”的方法转化为乘法,64/3。
(很多学生点头赞同)师:
你们认为这个方法是正确的?
哦,那你们能不能想一些方法,证明这个结果是正确的?
静静地想一会儿,把所有能想到的方法都记录下来。
教师特意准备了划成6格的练习纸,方便学生记录不同的思路。
学生自主尝试,教师巡视搜集各种思路,整体投影呈现学生的方法:
师:
这些方法,哪些你也想到了,哪些你现在能看懂?
哪些算法之间有相似之处?
说给同桌听。
哪些算法大家看不懂,需要提出来讨论的?
(大部分学生表示第种和第种比较难理解。
)师:
有没有同学可以看懂呢?
明白了,根据学过的知识转化为我们学过的算式来解决。
那剩下的都能看懂吗?
哪些方法是相似的?
第和第种是相似的,一个分步,一个综合。
我觉得是一样的,因为第种是直接把3/4化成小数,思考方法一样,都是化成已经学过的来解决。
生3:
第种是我的,我还没写完整,我想在旁边写一句话,如果把一张纸平均分成4份,3/4张纸做6朵,那么每1/4张纸可以做2朵,所以整张纸可以做8朵。
太棒了!
看来这些方法的确有相似的地方,第种方法中的63就是第种方法中的61/3。
现在,我们可以证明,刚才尝试计算时得出的结果“8”确实是正确的。
那么,你能在这些方法中找到“64/3”吗?
第种方法中的“1/34”其实就是“4/3”。
第种方法中,6平均分成3份,就是61/34,也能找到“64/3”。
那么,第种也可以转化为61/34,也能找到“64/3”。
生4:
第种也是。
生5:
第种,除数化成1后,被除数的部分就是64/3。
看来,我们不仅验证了“8”这个结果是正确的,还证明了以此类推的计算方法“64/3”也是正确的。
比较两种教法1.几何直观的作用理解算理创设情境,引出算式2.“数的变形运算”成分(化归思想)仅在小结时出现作为全课重点,还原本真,(4)巧用几何直观探寻思路,(4)巧用几何直观探寻思路还原本真,例1:
小明前三次数学考试的平均成绩是分,第四次的成绩比四次平均成绩高分,小明第四次数学考试的成绩是多少分?
(分)(分),例2:
一个正方形的小果园,周长是20米。
如果每4平方米种一棵桃树,这个果园一共可以种多少棵桃树?
(4)巧用几何直观探寻思路还原本真,2045(米),5525(米2),2546(棵)1(米2),例3:
在一个长6分米、宽4分米、高5分米的长方体中,最多能放入()个棱长为2分米的小正方体。
A.12B.13C.14D.15多数学生:
654(222)15(个),(4)巧用几何直观探寻思路还原本真,还原本真,巧用示意图(不局限于教材的直观图),(4)巧用几何直观探寻思路还原本真,加强几何直观,是世界数学课程改革的方向。
研究几何直观教学的最终目的在于提升学生的数学素养。
几何直观作为小学数学教学的一种新视角,更为深远的意义在于形成几何直观的思维方式。
路漫漫其修远兮,吾将上下而求索!
ThenEnd,知识影响格局,格局决定命运!