初一数学奥林匹克竞赛题含答案.docx

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初一数学奥林匹克竞赛题含答案

初一数学奥林匹克竞赛题（含答案）

初一奥数题一

甲多开支100元，三年后负债600元．求每人每年收入多少？

S的末四位数字的和是多少？

4．一个人以3千米/小时的速度上坡，以6千米/小时的速度下坡，行程12千米共用了3小时20分钟，试求上坡与下坡的路程．

5．求和：

6．证明：

质数p除以30所得的余数一定不是合数．

8．若两个整数x，y使x2+xy+y2能被9整除，证明：

x和y能被3整除．

9．如图1－95所示．在四边形ABCD中，对角线AC，BD的中点为M，N，MN的延长线与AB边交于P点．求证：

△PCD的面积等于四边形ABCD的面积的一半．

解答：

　　所以　　　　x=5000（元）．

　　所以S的末四位数字的和为1＋9＋9＋5=24．

3．因为

　　　a-b≥0，即a≥b．即当b

≥a＞0或b≤a＜0时，等式成立．

4．设上坡路程为x千米，下坡路程为y千米．依题意则

有

由②有2x+y=20，　　　　　　　　　③

　　由①有y=12-x．将之代入③得2x+12-x=20．

　　所以　　　　x=8（千米），于是y=4（千米）．

　5．第n项为

　　所以

　　6．设p=30q＋r，0≤r＜30．因为p为质数，故r≠0，即0＜r＜30．假设r为合数，由于r＜30，所以r的最小质约数只可能为2，3，5．再由p=30q＋r知，当r的最小质约数为2，3，5时，p不是质数，矛盾．所以，r一定不是合数．

　　7．设

　　由①式得（2p-1）（2q-1）=mpq，即

（4-m）pq+1=2（p+q）．

　　可知m＜4．由①，m＞0，且为整数，所以m=1，2，3．下面分别研究p，q．

（1）若m=1时，有

　　解得p=1，q=1，与已知不符，舍去．

（2）若m=2时，有

　　因为2p-1=2q或2q-1=2p都是不可能的，故m=2时无解．

　　（3）若m=3时，有

　　解之得

　　故　　　　　　　　　　　　　　　　　p＋q=8．

　　8．因为x2+xy+y2=（x-y）2+3xy．由题设，9｜（x2+xy＋y2），所以3｜（x2＋xy＋y2），从而3｜（x-y）2．因为3是质数，故3｜（x-y）．进而9｜（x-y）2．由上式又可知，9｜3xy，故3｜xy．所以3｜x或3｜y．若3｜x，结合3（x-y），便得3｜y；若3｜y，同理可得，3｜x．

　　9．连结AN，CN，如图1－103所示．因为N是BD的中点，所以

　　上述两式相加

　　另一方面，

S△PCD=S△CND＋S△CNP＋S△DNP．

　　因此只需证明

S△AND＝S△CNP＋S△DNP．

　　由于M，N分别为AC，BD的中点，所以

S△CNP=S△CPM-S△CMN

　　=S△APM-S△AMN

　=S△ANP．

　　又S△DNP=S△BNP，所以

S△CNP＋S△DNP=S△ANP+S△BNP=S△ANB=S△AND．

初一奥数题二

1．已知3x2-x=1，求6x3+7x2-5x＋2000的值．

2．某商店出售的一种商品，每天卖出100件，每件可获利4元，现在他们采用提高售价、减少进货量的办法增加利润，根据经验，这种商品每涨价1元，每天就少卖出10件．试问将每件商品提价多少元，才能获得最大利润？

最大利润是多少元？

3．如图1－96所示．已知CB⊥AB，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA，∠1＋∠2=90°．求证：

DA⊥AB．

4．已知方程组

的解应为

一个学生解题时把c抄错了，因此得到的解为

求a2＋b2＋c2的值．

5．求方程｜xy｜-｜2x｜+｜y｜=4的整数解．

6．王平买了年利率7.11％的三年期和年利率为7.86％的五年期国库券共35000元，若三年期国库券到期后，把本息再连续存两个一年期的定期储蓄，五年后与五年期国库券的本息总和为47761元，问王平买三年期与五年期国库券各多少？

（一年期定期储蓄年利率为5.22％）

7．对k，m的哪些值，方程组至少有一组解？

8．求不定方程3x＋4y＋13z=57的整数解．

9．小王用5元钱买40个水果招待五位朋友．水果有苹果、梨子和杏子三种，每个的价格分别为20分、8分、3分．小王希望他和五位朋友都能分到苹果，并且各人得到的苹果数目互不相同，试问他能否实现自己的愿望？

解答：

1．原式=2x（3x2-x）+3（3x2-x）-2x+2000=2x×1＋3×1-2x+2000=2003．

2．原来每天可获利4×100元，若每件提价x元，则每件商品获利（4＋x）元，但每天卖出为（100-10x）件．如果设每天获利为y元，则

y＝（4＋x）（100-10x）=400＋100x-40x-10x2=-10（x2-6x＋9）＋90＋400=-10（x-3）2＋490．

所以当x=3时，y最大=490元，即每件提价3元，每天获利最大，为490元．

3．因为CE平分∠BCD，DE平分∠ADC及∠1＋∠2=90°（图1－104），所以

∠ADC＋∠BCD=180°，

　　所以　　AD∥BC．①　　又因为　AB⊥BC，②

　　由①，②AB⊥AD．

4．依题意有

　　所以　a2+b2+c2=34．

5．｜x｜｜y｜-2｜x｜+｜y｜=4，即｜x｜（｜y｜-2）+（｜y｜-2）=2，

　　所以（｜x｜+1）（｜y｜-2）=2．

　　因为｜x｜＋1＞0，且x，y都是整数，所以

　所以有

6．设王平买三年期和五年期国库券分别为x元和y元，则

　　因为　y=35000-x，

　　所以x（1＋0.0711×3）（1＋0.0522）2+（35000-x）（1+0.0786×5）=47761，

　　所以1.3433x＋48755-1.393x=47761，

　　所以0.0497x=994，

　　所以x=20000（元），y=35000-20000=15000（元）．

7．因为（k－1）x＝m-4，①

m为一切实数时，方程组有唯一解．当k=1，m=4时，①的解为一切实数，所以方程组有无穷多组解．

当k=1，m≠4时，①无解．

　　所以，k≠1，m为任何实数，或k=1，m=4时，方程组至少有一组解．

8．由题设方程得

z＝3m-y．

x=19-y-4（3m-y）-m=19+3y-13m．

原方程的通解为　　其中n，m取任意整数值．

9．设苹果、梨子、杏子分别买了x，y，z个，则

　　消去y，得12x-5z=180．它的解是x=90-5t，z=180-12t．

　　代入原方程，得y=-230＋17t．故x=90-5t，y=-230+17t，z=180-12t．

x=20，y=8，z=12．

因此，小王的愿望不能实现，因为按他的要求，苹果至少要有1＋2＋3+4＋5＋6=21＞20个．

初一奥数题三

1．解关于x的方程

2．解方程

其中a＋b＋c≠0．

3．求（8x3-6x2+4x-7）3（2x5-3）2的展开式中各项系数之和．

4．液态农药一桶，倒出8升后用水灌满，再倒出混合溶液4升，再用水灌满，这时农药的浓度为72％，求桶的容量．

5．满足[-1.77x]=-2x的自然数x共有几个？

这里[x]表示不超过x的最大整数，例如[-5.6]=-6，[3]=3．

6．设P是△ABC内一点．求：

P到△ABC三顶点的距离和与三角形周长之比的取值范围．

7．甲乙两人同时从东西两站相向步行，相会时，甲比乙多行24千米，甲经过9小时到东站，乙经过16小时到西站，求两站距离．

8．黑板上写着三个数，任意擦去其中一个，将它改写成其他两数的和减1，这样继续下去，最后得到19，1997，1999，问原来的三个数能否是2，2，2？

9．设有n个实数x1，x2，…，xn，其中每一个不是+1就是-1，且

求证：

n是4的倍数．

解答：

1．化简得6（a-1）x=3-6b+4ab，当a≠1时，

2．将原方程变形为

　　由此可解得x=a＋b+c．

3．当x=1时，（8-6+4-7）3（2-1）2=1．即所求展开式中各项系数之和为1．

依题意得

　　去分母、化简得7x2-300x+800=0，即7x-20）（x-40）=0，

　　5．若n为整数，有[n＋x]=n＋[x]，所以[-1.77x]=[-2x＋0.23x]=-2x+[0.23x]．

　　由已知[-1.77x]=-2x，所以-2x=-2x+[0.23x]，　　所以[0.23x]=0．

　　又因为x为自然数，所以0≤0.23x＜1，经试验，可知x可取1，2，3，4，共4个．

　　6．如图1－105所示．在△PBC中有BC＜PB＋PC，①

　　延长BP交AC于D．易证PB＋PC＜AB＋AC．②

　　由①，②BC＜PB＋PC＜AB+AC，③

　　同理AC＜PA＋PC＜AC＋BC，④

AB＜PA＋PB＜AC＋AB．⑤

　　③＋④＋⑤得AB＋BC＋CA＜2（PA＋PB＋PC）＜2（AB＋BC＋CA）．

所以

7．设甲步行速度为x千米/小时，乙步行速度为y千米/小时，则所求距离为（9x+16y）千

米．依题意得

由①得16y2=9x2，③

　　由②得16y=24＋9x，将之代入③得

　　即（24＋9x）2=（12x）2．解之得

　　于是

　　所以两站距离为9×8＋16×6=168（千米）．

　　8．答案是否定的．对于2，2，2，首先变为2，2，3，其中两个偶数，一个奇数．以后无论改变多少次，总是两个偶数，一个奇数（数值可以改变，但奇偶性不变），所以，不可能变为19，1997，1999这三个奇数．

　。

　　又因为

　　所以，k是偶数，从而n是4的倍数．

初一奥数题四

1．已知a，b，c，d都是正数，并且a＋d＜a，c＋d＜b．

求证：

ac＋bd＜ab．

2．已知甲种商品的原价是乙种商品原价的1.5倍．因市场变化，乙种商品提价的百分数是甲种商品降价的百分数的2倍．调价后，甲乙两种商品单价之和比原单价之和提高了2％，求乙种商品提价的百分数．

3．在锐角三角形ABC中，三个内角都是质数．求三角形的三个内角．

4．某工厂三年计划中，每年产量递增相同，若第三年比原计划多生产1000台，那么每年比上一年增长的百分数就相同，而且第三年的产量恰为原计划三年总产量的一半，求原计划每年各生产多少台？

　　　z=｜x+y｜+｜y+1｜+｜x-2y+4｜，

求z的最大值与最小值．

8．从1到500的自然数中，有多少个数出现1或5？

9．从19，20，21，…，98这80个数中，选取两个不同的数，使它们的和为偶数的选法有多少种？

解答：

　　1．由对称性，不妨设b≤a，则ac＋bd≤ac＋ad=a（c＋d）＜ab．

　　2．设乙种商品原单价为x元，则甲种商品的原单价为1.5x元．设甲商品降价y％，则乙商品提价2y％．依题意有1.5x（1-y％）+x（1＋2y％）=（1.5x＋x）（1＋2％），

　　化简得1.5-1.5y+1+2y=2.5×1.02．　　所以y=0.1=10％，

　　所以甲种商品降价10％，乙种商品提价20％．

　　3．因为∠A+∠B＋∠C=180