重庆市第一中学学年高三下学期高考适应性考试数学理试题 Word版含答案.docx
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重庆市第一中学学年高三下学期高考适应性考试数学理试题Word版含答案
2017-2018学年
数学试题卷（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知集合
，
，则
（）
A．
B．
C．
D．
2.在等比数列
中，
，
，则
（）
A．
B．
C．
D．
3.复数
（其中
为虚数单位），则下列说法中正确的是（）
A．在复平面内复数
对应的点在第一象限B．复数
的共轭复数
C．若复数
（
）为纯虚数，则
D．复数
的模
4.设双曲线
（
）的渐近线方程为
，则其离心率为（）
A．
B．
C．
D．
5.如果满足
，
，
的锐角
有且只有一个，那么实数
的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
或
6.已知
是
所在平面内一点，
，现将一粒黄豆随机撒在
内，则黄豆落在
内的概率是（）
A．
B．
C．
D．
7.一个四面体的三视图都是等腰直角三角形，如图所示，则这个几何体四个表面中最小的一个表面面积是（）
A．
B．
C．
D．
8.右边程序框图的算法思路源于数学著名《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“
”表示
除以
的余数），若输入的
，
分别为
，
，则输出的
（）
A．
B．
C．
D．
9.下面给出的中：
已知函数
，则
；
“
”是“直线
与直线
相互垂直”的必要不充分条件；
已知随机变量
服从正态分布
，且
，则
；
已知
，
，则这两圆恰有
条公切线．
其中真的个数是（）
A．
B．
C．
D．
10.已知抛物线
的焦点为
，点
，过点
且斜率为
的直线与
交于
，
两点，若
，则
（）
A．
B．
C．
D．
11.如图所示，在直三棱柱
中，
，
，
，点
是线段
的中点，则三棱锥
的外接球的体积是（）
A．
B．
C．
D．
12.已知常数
，定义在
上的函数
满足：
，
，其中
表示
的导函数．若对任意正数
，
都有
，则实数
的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.在
的展开式中，含
项的系数是．（用数字作答）
14.已知实数
，
满足
，则
的取值范围是．
15.如图，对大于等于
的自然数
的
次幂进行如下方式的“分裂”，如
的“分裂”中最大的数是
，
的“分裂”中最大的数是
，那么
的“分裂”中最大的数是．（写出算式即可）
16.已知平面向量
，
，
满足
，
，
，
，则
的最小值为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
已知函数
（
，
，
）的部分图象如图，
是图象的最高点，
为图象与
轴的交点，
为原点，且
，
，
．
（I）求函数
的解析式；
（II）将函数
图象向右平移
个单位后得到函数
的图象，当
时，求函数
的最大值．
18.（本小题满分12分）
如图所示的茎叶图，记录了甲、乙两名射击运动员训练的成绩（环数），射击次数各为
次．
（1）试比较甲、乙两名运动员射击水平的稳定性；
（2）每次都从甲、乙两组数据中随机各选取一个进行比对分析，共选取了
次（有放回选取）．设选取的两个数据中甲的数据大于乙的数据的次数为
，求
的数学期望．
19.（本小题满分12分）
如图所示的几何体中，
为三棱柱，且
平面
，四边形
为平行四边形，
，
．
（1）若
，求证：
平面
；
（2）若
，
，二面角
的余弦值为
，求三棱锥
的体积．
20.（本小题满分12分）
已知椭圆
的中心为坐标原点，右焦点为
，
、
分别是椭圆
的左、右顶点，
是椭圆
上异于
、
的动点，且
面积最大值为
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）是否存在一定点
（
），使得过定点
的直线
与曲线
相交于
、
两点，且
为定值？
若存在，求出定点和定值，若不存在，请说明理由．
21.（本小题满分12分）
已知函数
，曲线
在
处的切线方程为
．
（1）求实数
的值；
（2）设
（
为自然对数的底数），
表示
的导函数，求证：
对于
的图象上不同两点
，
，
，存在唯一的
，使直线
的斜率等于
．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.
22.（本小题满分10分）选修4-1：
几何证明选讲
如图，已知圆
是
的外接圆，
，
是
边上的高，
是圆
的直径．过点
作圆
的切线交
的延长线于点
．
（1）求证：
；
（2）若
，
，求
的长．
23.（本小题满分10分）选修4-4：
坐标系与参数方程
在直角坐标系
中，设倾斜角为
的直线
（
为参数）与曲线
（
为参数）相交于不同两点
，
．
（1）若
，求线段
中点
的坐标；
（2）若
，其中
，求直线
的斜率．
24.（本小题满分10分）选修4-5：
不等式选讲
设
．
（1）求不等式
的解集
；
（2）若存在实数
满足不等式
，求实数
的取值范围．
2016年重庆一中高2016届高考适应性考试
数学答案（理科）
一、选择题
BCCABDCCBDAC
二、填空题
13.
14.
15.
16.
提示：
12.解：
，令
，则
，令
，则
，故
，所以
在
减，原不等式即
．
三、解答题
17.解：
（I）由余弦定理得
，…………………2分
，得
点坐标为
．
，
，
…………………4分
．…………………10分
当
时，
，
当
，即
时
．…………12分
18.解：
（1）
，
，所以甲运动员的射击水平更稳定．
（2）当乙选取
环时，一定满足要求，此时的概率为
．
当乙选取
环时，甲只能从
环、
环中选取，此时的概率为
，
所以甲的成绩大于乙的成绩的概率为
，由已知，
，所以
．
19.（I）证明：
连接
交
于
，因为
，又
平面
，所以
，
所以
为正方形，所以
，…………………2分
在
中，
，
，由余弦定理得
，
所以
，所以
，所以
，又
．所以
平面
，
所以
，所以
平面
．…………………6分
（II）如图建立直角坐标系，则
，
，
，
，
对平面
，因为
，
所以法向量
，
平面
的法向量为
，…………………8分
由
得
，…………………10分
所以
，此时，
，
，
所以
…………………12分
20.解：
（1）设椭圆的方程为
（
），由已知可得
，
因为
为椭圆右焦点，所以
，
由
可得
，
，
所以椭圆
的方程为
．…………………4分
（2）过点
取两条分别垂直于
轴和
轴的弦
、
，则
，
，
，由
得
，所以若
存在，必为
，定值为
，…………………6分
下证
满足题意．设过点
的直线方程为
，代入椭圆
的方程中得
，设
、
，
则
，
，…………………8分
，
，
综上定点为
，定值为
．…………………12分
21.解：
（1）由题意得，
，所以
，…………………2分
（2）
．
，
，
，即
，…………………6分
设
，则
是关于
的一次函数，
故要在区间
证明存在唯一性，只需证明
在
上满足
．下面证明之：
，
，
为了判断
，
的符号，可以分别将
，
看作自变量得到两个新函数
，
，讨论他们的最值：
，将
看作自变量求导得
，
是
的增函数，
，
；
同理：
，将
看作自变量求导得
，
是
的增函数，
，
；
，
函数
在
内有零点
…………………10分
又
，
，函数
在
是增函数，
函数
在
内有唯一零点
，从而成立．…………………12分
22.
（1）证明：
连接
，由题意知
为直角三角形．
因为
，
，
所以
，所以
，即
．
又
，所以
．
（2）解：
因为
是圆
的切线，所以
，
又
，
，所以
，
，因为
，
，所以
．所以
，得
，
在
中，由余项定理可得
，所以
，
又在
中，
，所以
．
23.解：
设直线
上的点
，
对应参数分别为
，
．将曲线
的参数方程化为普通方程
．
（1）当
时，设点
对应参数为
．直线
方程为
（
为参数）．
代入曲线
的普通方程
，得
，则
，
所以，点
的坐标为
．
（2）将
代入
，得
，
因为
，
，所以
．
得
．由于
，故
．
所以直线
的斜率为
．
24.解：
，
（1）
．
（2）
的最小值为
，则不等式
有解必须且只需
，
解得
，所以
的取值范围是
．
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