导数练习题及答案知识交流.docx

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导数练习题及答案知识交流

导数练习题及答案

一、选择题（每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）

1．已知某函数的导数为y′＝12（x－1），则这个函数可能是     （　　）

A．y＝ln1－x　　　　　　 B．y＝ln11－x

C．y＝ln（1－x）    D．y＝ln11－x

2．（2009•江西）设函数f（x）＝g（x）＋x2，曲线y＝g（x）在点（1，g

（1））处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处切线的斜率为        （　　）

A．4　　　　 B．－14　　　　 C．2　　　　 D．－12

3．（2009•辽宁）曲线y＝xx－2在点（1，－1）处的切线方程为     （　　）

A．y＝x－2   B．y＝－3x＋2

C．y＝2x－3   D．y＝－2x＋1

4．曲线y＝ex在点（2，e2）处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为   （　　）

A.94e2   B．2e2   C．e2   D.e22

5．已知函数y＝f（x），y＝g（x）的导函数的图象如图，那么y＝f（x），y＝g（x）的图象可能是（　　）

6．设y＝8x2－lnx，则此函数在区间（0，14）和（12，1）内分别     （　　）

A．单调递增，单调递减

B．单调递增，单调递增

C．单调递减，单调递增

D．单调递减，单调递减

7．下列关于函数f（x）＝（2x－x2）ex的判断正确的是       （　　）

①f（x）＞0的解集是{x|0＜x＜2}；

②f（－2）是极小值，f

（2）是极大值；

③f（x）没有最小值，也没有最大值．

A．①③  B．①②③C．②    D．①②

8．已知f（x）＝－x3－x，x∈[m，n]，且f（m）•f（n）＜0，则方程f（x）＝0在区间[m，n]上（　　）

A．至少有三个实根    B．至少有两个实根C．有且只有一个实根   D．无实根

9．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋（a＋6）x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（　　）

A．－1＜a＜2     B．－3＜a＜6C．a＜－3或a＞6    D．a＜－1或a＞2

10．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，其高应为 （　　）

A.2033cm      B．100cmC．20cm      D.203cm

11．（2010•河南省实验中学）若函数f（x）＝（2－m）xx2＋m的图象如图所示，则m的范围为          （　　）

A．（－∞，－1）     B．（－1,2）C．（1,2）      D．（0,2）

12．定义在R上的函数f（x）满足f（4）＝1.f′（x）为f（x）的导函数，已知函数y＝f′（x）的图象如图所示．若两正数a，b满足f（2a＋b）＜1，则b＋2a＋2的取值范围是    （　　）

A．（13，12）B．（－∞，12）∪（3，＋∞）C．（12，3）D．（－∞，－3） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上。

）

13．（2009•武汉模拟）函数y＝xln（－x）－1的单调减区间是________．

14．已知函数f（x）＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝________.

15．（2009•南京一调）已知函数f（x）＝ax－x4，x∈[12，1]，A、B是其图象上不同的两点．若直线AB的斜率k总满足12≤k≤4，则实数a的值是________．

16．（2009•淮北模拟）已知函数f（x）的导数f′（x）＝a（x＋1）•（x－a），若f（x）在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是________．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

）

17．（本小题满分10分）设a为大于0的常数，函数f（x）＝x－ln（x＋a）．

（1）当a＝34，求函数f（x）的极大值和极小值；

（2）若使函数f（x）为增函数，求a的取值范围．

18．（本小题满分12分）已知函数y＝f（x）＝lnxx.

（1）求函数y＝f（x）的图象在x＝1e处的切线方程；

（2）求y＝f（x）的最大值；

（3）设实数a＞0，求函数F（x）＝af（x）在[a,2a]上的最小值．

19．（本小题满分12分）设a＞0，函数f（x）＝x－ax2＋1＋a.

（1）若f（x）在区间（0,1]上是增函数，求a的取值范围；

（2）求f（x）在区间（0,1]上的最大值．

20．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝1＋ln（x＋1）x.（x＞0）

（1）函数f（x）在区间（0，＋∞）上是增函数还是减函数？

证明你的结论；

（2）若当x＞0时，f（x）＞kx＋1恒成立，求正整数k的最大值．

21．（2009•天津）（本小题满分12分）已知函数f（x）＝（x2＋ax－2a2＋3a）ex（x∈R），其中a∈R.

（1）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线的斜率；

（2）当a≠23时，求函数f（x）的单调区间与极值．

命题意图：

本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法．

22．（2010•保定市高三摸底考试）（本小题满分12分）已知函数f（x）＝lnxx＋ax－1（a∈R）

（1）求函数f（x）的图象在点（1，f

（1））处的切线方程；

（2）若f（x）≤0在区间（0，e2]上恒成立，求实数a的取值范围．

答案：

一、1答案：

A

解析：

对选项求导．（ln1－x）′＝11－x（1－x）′＝11－x•12（1－x）－12•（－1）＝12（x－1）.

2答案：

A

解析：

f′（x）＝g′（x）＋2x.

∵y＝g（x）在点（1，g

（1））处的切线方程为y＝2x＋1，

∴g′

（1）＝2，∴f′

（1）＝g′

（1）＋2×1＝2＋2＝4，

∴y＝f（x）在点（1，f

（1））处切线斜率为4.

3答案：

D

解析：

y′＝（xx－2）′＝－2（x－2）2，

∴k＝y′|x＝1＝－2.

l：

y＋1＝－2（x－1），则y＝－2x＋1.

4答案：

D

解析：

∵y′＝ex，∴y＝ex在点（2，e2）的导数为e2.

∴y＝ex在点（2，e2）的切线方程为y＝e2x－e2.

y＝e2x－e2与x轴、y轴的交点分别为（1,0）和（0，－e2），∴S＝12×1×e2＝e22.

5答案：

D

解析：

由题意知函数f（x），g（x）都为增函数，当x＜x0时，由图象知f′（x）＞g′（x），即f（x）的增长速度大于g（x）的增长速度；当x＞x0时，f′（x）＜g′（x），g（x）的增长速度大于f（x）的增长速度，数形结合，

6答案：

C

解析：

y′＝16x－1x.

当x∈（0，14）时，y′＜0，y＝8x2－lnx为减函数；

当x∈（12，1）时，y′＞0，y＝8x2－lnx为增函数．

7答案：

D

解析：

由f（x）＞0⇒（2x－x2）ex＞0⇒2x－x2＞0⇒0＜x＜2，故①正确；

f′（x）＝ex（2－x2），由f′（x）＝0得x＝±2，

由f′（x）＜0得x＞2或x＜－2，

由f′（x）＞0得－2＜x＜2，

∴f（x）的单调减区间为（－∞，－2），（2，＋∞）．

单调增区间为（－2，2）．

∴f（x）的极大值为f

（2），极小值为f（－2），故②正确．

∵x＜－2时，f（x）＜0恒成立．

∴f（x）无最小值，但有最大值f

（2）．

∴③不正确．

8答案：

C

9答案：

C

解析：

由于f（x）＝x3＋ax2＋（a＋6）x＋1，有f′（x）＝3x2＋2ax＋（a＋6）．

若f（x）有极大值和极小值，

则Δ＝4a2－12（a＋6）＞0，

从而有a＞6或a＜－3

10答案：

A

解析：

设高为h，则半径为202－h2，

体积V＝13πr2h＝13π（202－h2）•h

＝－13πh3＋2023πh（0＜h＜20），

V′＝－πh2＋2023π.

令V′＝0，得h＝2033或h＝－2033（舍去），

即当h＝2033时，V为最大值．

11答案：

C

解析：

f′（x）＝（x2－m）（m－2）（x2＋m）2＝（x－m）（x＋m）（m－2）（x2＋m）2

由图知m－2＜0，且m＞0，故0＜m＜2，

又m＞1，∴m＞1，因此1＜m＜2

12答案：

C

解析：

由y＝f′（x）的图象知，当x＜0时，f′（x）＜0，函数f（x）是减函数；当x＞0时，f′（x）＞0，函数f（x）是增函数；两正数a，b满足f（2a＋b）＜1，f（4）＝1，点（a，b）的区域为图中的阴影部分（不包括边界），b＋2a＋2的意义为阴影部分的点与点A（－2，－2）连线的斜率，直线AB、AC的斜率分别为12、3，则b＋2a＋2的取值范围是（12，3）

二、13答案：

（－1e，0）

14答案：

32

解析：

令f′（x）＝3x2－12＝0，得x＝－2或x＝2，

列表得：

x －3 （－3，－2） －2 （－2,2） 2 （2,3） 3f′（x）  ＋ 0 － 0 ＋ f（x） 17 

极值24 

极值－8 

－1

可知M＝24，m＝－8，∴M－m＝32.

15答案：

92

解析：

f′（x）＝a－4x3，x∈[12，1]，由题意得12≤a－4x3≤4，即4x3＋12≤a≤4x3＋4在x∈[12，1]上恒成立，求得92≤a≤92，则实数a的值是92.

16答案：

（－1,0）

解析：

结合二次函数图象知，当a＞0或a＜－1时，在x＝a处取得极小值，

当－1＜a＜0时，在x＝a处取得极大值，故a∈（－1,0）．

三、17解析：

（1）当a＝34时，f′（x）＝12x－1x＋34，

令f′（x）＝0，则x－2x＋34＝0，∴x＝94或14，

当x∈[0，14]时，f′（x）>0，当x∈（14，94），f′（x）<0，

当x∈（94，＋∞）时，f′（x）>0，

∴f（x）极大值＝f（14）＝12，f（x）极小值＝f（94）＝32－ln3.

（2）f′（x）＝12x－1x＋a，若f（x）为增函数，则当x∈[0，＋∞）时，f′（x）≥0恒成立，

∴12x≥1x＋a，即x＋a≥2x，

即a≥2x－x＝－（x－1）2＋1恒成立，

∴a≥1.

18解析：

（1）∵f（x）定义域为（0，＋∞），∴f′（x）＝1－lnxx2

∵f（1e）＝－e，又∵k＝f′（1e）＝2e2，

∴函数y＝f（x）的在x＝1e处的切线方程为：

y＋e＝2e2（x－1e），即y＝2e2x－3e.

（2）令f′（x）＝0得x＝e.

∵当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，e）上为增函数，

当x∈（e，＋∞）时，f′（x）＜0，则在（e，＋∞）上为减函数，

∴fmax（x）＝f（e）＝1e.

（3）∵a＞0，由

（2）知：

F（x）在（0，e）上单调递增，在（e，＋∞）上单调递减．

∴F（x）在[a,2a]上的最小值f（x）min＝min{F（a），F（2a）}，

∵F（a）－F（2a）＝12lna2，

∴当0＜a≤2时，F（a）－F（2a）≤0，fmin（x）＝F（a）＝lna.

当a＞2时，F（a）－F（2a）＞0，f（x）min＝f（2a）＝12ln2a.

19解析：

（1）对函数f（x）求导数，得f′（x）＝1－axx2＋1.

要使f（x）在区间（0,1]上是增函数，又要f′（x）＝1－axx2＋1≥0在（0,1]上恒成立，

即a≤x2＋1x＝1＋1x2在（0,1]上恒成立．

因为1＋1x2在（0,1]上单调递减，

所以1＋1x2在（0,1]上的最小值是2.

注意