六年级数学专题复习二.docx
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六年级数学专题复习二
六年级数学专题复习二：
应用能力训练
一、总体概述：
知识要点
1、一般应用题常见的解题方法
（1）综合法：
从条件出发，运用学过的基本数量关系推出其中两个数量关系可以解决的问题，然后把所推的数量作为新的已知条件，与其他的已知条件搭配，再得出可以解决的问题，这样逐步推导，直到求出问题中所需要求的结果。
（2）分析法：
从问题入手，逐步分析其所含的每一个相关的数量，使之分解成可依次解答的几个简单应用题。
（3）综合分析法：
将分析法、综合法结合起来交替使用。
当已知条件中有明显计算过程时就用综合法顺推，遇到困难时再转向原题所提出的问题用分析法帮忙，逆推几步，顺推和逆推联系上了，问题便解决了。
2、典型应用题常见的解题方法
（1）对应法：
解答这一类应用题时要通过观察、比较题目中的已知条件研究对应数量的变化，找准数量之间的对应关系，寻找答案。
（2）还原法：
就是从结果把变化的情况一步一步倒着推，通过一次次计算和推理，把结果还原到开始状态，用还原法解答的题往往借助于图示法或列表法。
（3）假设法：
就是先假设某事件的一种或几种情况，然后找出假设与实际的差距，再根据数量间的关系进行调整，是假设与实际相符。
（4）转换法：
是一种间接解决问题的方法，它是指把待解决或未解决的问题进行变形（如利用不变量转化单位“1”；利用代数法转化分率句；将分率句转化成比；利用设数法转化单位“1”等），使之简单化、熟悉化、具体化，从而转变成已解决或较容易解决的问题的方法。
（5）列方程：
部分应用题传统的算术方法思考、解答比较困难，而列方程解应用题，用字母表示未知数，将未知数直接参与计算，思考时就比较方便。
（6）代换法：
有些题目给出两个或两个以上的未知量，并且这些未知量之间具有相等的关系，我们可以根据所提供的信息，用一个未知量代替其他的未知量，从而找到解决问题的方法。
（7）图表法：
有些应用题的数量关系比较复杂，可以画图把数量之间的关系变得简洁明了，借助直观的图或表进行分析、判断、推理，用图形或表格来表示复杂的数量关系，从而很快的找出解题的方法。
二、分类解析：
1、行程问题
知识要点
路程、时间、速度是行程问题的三个基本量，它们之间的关系如下：
路程=速度×时间速度=路程÷时间时间=路程÷速度
在具体的相遇与追及问题中，关系式可描述为：
相遇的路程=速度和×相遇时间
追及的路程=速度差×追及时间
相遇路程就是在相同的时间（相遇时间）内两者走过的总路程；追及路程就是在相同的时间（追及时间）内一方比另一方多走的路程。
在流水问题中，顺水速度=船速+水流速度逆水速度=船速—水流速度
典例解析及同步练习
典例1从A到B是1千米的下坡路，从B到C是3千米的平路，从C到D是2.5千米的上坡路，小张和小王步行，下坡路速度都是每小时6千米，平路速度都是每小时4千米，上坡路速度都是每小时2千米。
小张和小王分别从A、D同时出发相向而行，经过多长时间两人相遇？
解析：
小张从A到B需要1÷6×60=10（分钟）；小王从D到C也是下坡，需要2.5÷6×60=25（分钟）；当小王到达C点时，小张已在平路上走了25－10=15（分钟），走了4×15÷60=1（千米），因此在B与C之间平路上剩下3－1=2（千米），由小张和小王共同相向而行，直到相遇，所需时间是2÷（4+4）×60=15（分钟）。
从出发到相遇时间是25+15=40（分钟）。
解：
1÷6×60=10（分钟）
2.5÷6×60－10=15（分钟）
3－4×15÷60=2（千米）
2÷（4＋4）×60+25=40（分钟）
答：
经过40分钟两人相遇。
典例二甲、乙两地相距300千米，一辆客车由甲地开到乙地需要15小时，一辆货车由乙地开到甲地需10小时，这两辆车由甲、乙两地分别同时开出相向而行，经过多少小时相遇？
根据相向行程问题的数量关系列式为：
300÷（300÷15＋300÷10）
根据工程问题的数量关系，列式为：
1÷（
）
典例三两人同时分别从两地出发相向而行，经过1
小时，两人共行全程的30%，再经过多少小时两人就能相遇？
此题从叙述方式看，是一道比较典型的相向行程问题，但认真分析数量关系，就可以清楚地分析出这是一道归一问题。
1
小时——行了全程的30%
？
小时——行完全程的（1－30%）
（1－30%）÷（30%÷1
）
或1
×［（1－30%）÷30%］
1
÷［30%÷（1－30%）］
举一反三训练1
1、炼钢厂六月份前10天平均每天炼钢378吨，后20天平均每天炼钢360吨，这个月平均每天炼钢多少吨？
2、修一条长450米的路，已经修了3天，修了150米，照这样计算，剩下的路还需要多少天修完？
3、小明和小华在一个圆形跑道上，从同一地点同时向相反的方向走，跑道全长400米，小华每分钟走60米，小明每分钟走40米，经过多少分钟两人第二次相遇？
4、新华机械厂，去年第一、二季度的平均产量是843台，第三季度生产了981台，全年每个季度的平均产量是978台，第四季度生产机器多少台？
5、张师傅原定10天生产4000个零件，由于改进技术，到预定日期的前一天，已经比预定的完成的数量多生产了50个，他实际平均每天生产多少个零件？
6、一艘轮船用同样的速度航行，第一天行了384海里，第二天行了304海里，共用了21.5小时。
两天各行了多少小时？
7、一本书原计划印270页，每页排24行每行排30个字，为了节约用纸，改为每页排30行，每行排36个字，这本书实际印了多少页？
8、师徒2人要生产840个机器零件，开始4小时共生产了280个，照这样计算要完成剩下的零件还需要多少小时？
（用四种不同的方法解答）
典例四甲、乙、丙三辆车先后从A地开往B地，乙比丙晚出发5分钟，出发后45分钟追上丙；甲比乙晚出发15分钟，出发后1小时追上丙。
甲出发后几小时追上乙？
解析：
本题只给出时间，而行程问题需知道路程、速度与时间三个量中的两个量。
这里可设丙的速度为“1”。
则乙追丙的追及路程为1×5=5，甲追丙的追及路程为1×（5+15）=20.从而乙与丙的速度差为5÷45=
，甲与丙的速度差为20÷60=
，于是甲的速度为1+
，乙的速度为1+
，甲追乙的追及路程为（1+
）×15=
，这样一来，就可以得出答案了。
解：
设丙的速度为“1”，有解析可以得到：
÷［（1+
）－（1+
）］=75（分钟）=1
（小时）
答：
甲出发后1
小时追上乙。
举一反三训练2
1、甲、乙两人由A地到B地，甲的速度是50米/分，乙的速度是45米/分，乙比甲早走4分钟，两人同时到达B地，A地到B地的距离是多少米？
2、甲、乙两车同时、同地出发向同一目的地，甲车每小时行40千米，乙车每小时行35千米，途中甲车停车3小时，结果甲车比乙车迟1小时到达目的地，两地之间的距离是多少？
3、猎狗发现在距它35米处有一只奔跑的兔子，立刻追上去，兔子7步的路程猎狗只需4步，猎狗跑3步的时间兔子却跑4步，猎狗至少跑多远才能追上兔子？
4、由甲、乙、丙三人，从王庄到李庄去，距离是3千米，步行速度每小时3千米，有两辆自行车，每辆自行车只能一人骑，速度为每小时15千米，三人同时出发同时到达，最短需要多少小时？
典例五一艘轮船顺流航行105千米，在逆流航行60千米，共用12小时；若顺流航行60千米，在逆流航行132千米，共用15小时。
如果先顺流航行120千米，在逆流航行120千米回到始点，共需多长时间？
解析：
这是流水问题，关键是求出船速与水速，或求出顺水速度与逆水速度。
这里采用比较的方法，题设可化成等价的两个条件：
顺流航行35千米，逆流航行20千米用4小时；顺流航行20千米，逆流航行44千米用5小时。
比较可得，顺流航行35×5－20×4=95（千米）所用的时间等于逆流航行44×4－20×5=76（千米）所用的时间。
于是，顺水速度：
逆水速度=95：
76=5：
4，由此可得，顺水速度=（35＋20÷4×5）÷4=15（千米/时），逆水速度=（35÷5×4＋20）÷4=12（千米/时）。
解：
由解析所得出的条件可知往返120千米所需时间为：
120÷15＋120÷12=18（小时）
答：
共需18小时。
举一反三练习3
1、一艘轮船在一条河里顺流而下200千米要用10小时，逆流而上行120千米也要用10小时，这艘轮船在静水中航行280千米要用多长时间？
2、一只小船顺流每小时行7.8千米，逆流每小时行4.2千米，现在甲、乙两只同样的小船，同时同地反向而行，经过1小时同时返回出发点，那么，在1小时内，甲、乙两船同方向行驶多长时间？
3、甲河是乙河的支流，甲河水流速度为3千米/时，乙河水流速度为2千米/时，一艘船沿乙河逆流行驶6小时，行驶84千米到达甲河，在甲河还要顺流航行133千米，这艘船一共航行多少小时？
4、甲、乙两个码头相距130千米，汽船从乙码头逆流行驶6.5小时到达甲码头，又知汽船在静水中每小时行驶23千米。
汽船从甲码头顺流开回乙码头需要几小时？
5一支运货小船队，第一次顺流航行48千米，逆流航行8千米，共用10小时；第二次用同样的时间，顺流航行了24千米，逆流航行了14千米。
求这支小船队在静水中速度和水流速度。
典例六一列火车车身长200米，用15秒开过每小时行4千米的同方向行走的步行人甲，而用12秒开过骑自行车的人乙，那么乙每小时行多少千米?
［注：
开过是指火车头从甲（或乙）的身旁开过到火车尾离开甲（乙）］
解析：
由于火车用15秒时间开过同向行走的步行人甲，用12秒时间开过骑自行车的人乙，所以乙的骑行方向与火车的前进方向相反，因为由常识知道，骑车的速度比步行的速度快。
因此，本题中给出火车尾与甲的追及问题以及火车尾与乙的相遇问题。
再利用追及与相遇问题的基本关系式不难解决。
解：
火车追甲的路程=火车车身长+甲在追击时间内走的路程，即200+4000×
=
（米），那么火车的速度为：
÷15=
（米/秒）。
火车尾与乙的相遇路程为200米，从而火车与乙的速度和为：
200÷12=
（米/秒），那么乙的速度为
－
=
（米/秒），而
米/秒=8千米/时
答：
乙每小时行8千米。
举一反三训练4：
1、一列长150米的火车以18米/秒的速度穿越一条300米的隧道。
火车穿越隧道（进入隧道直至完全离开）要多长时间？
2、快慢两列火车的车身长分别是150米和200米，它们相向行驶在两条平行的轨道上。
若坐在慢车上的人看见快车驶过窗口的时间是6秒，则坐在快车上的人看见慢车驶过窗口的时间是多少秒？
3、某列火车通过360米的第一个隧道，用了24秒，接着通过长216米的第二个隧道，用了16秒。
这列火车与另一列长75米时速为86.4千米的火车相向而行，错车而过交叉的时间是多少？
2、和差、和倍、差倍问题
知识要点
1、已知两数和及它们的差，求这两个数各是多少的应用题，叫做和差应用题，简称和差问题。
和差问题的解题规律是：
小数加上两数差就是大数，两数和加上两数差便是大数的2倍；大数减去两数差是小数，两数和减去两数差是小数的2倍。
因此，用两数和加上两数差，再除以2，就可求出其中的大数；用两数和减去两数差，再除以2，就可以求出其中的小数。
最终我们可以用公式表示为：
（两数和+两数差）÷2=大数；（两数和—两数差）÷2=小数。
2、已知两个数的和与两个数的倍数关系，求两个数各是多少的应用题，我们通常把它叫做和倍问题。
它是一类典型的应用题。
向解答和差应用题一样，要想顺利的解答和倍问题，最好的办法就是根据题目中所给的条件和问题，画出线段图，是数量关系一目了然，从而找出解题规律，正确迅速的列式解答。
和倍问题中的关系如下：
两数和÷（倍数+1）=小数；小数×倍数=两数和—小数=大数。
3、已知大小两个数的差，还知道大数是小数的几倍，求大小两个数各是多少的应用题，我们通常把它叫做差倍问题。
差倍问题也是一种典型的应用题。
那么，如何解决差倍问题呢？
和解答和倍问题类似的，我们仍可以用画线段图的方法来帮助分析、思考，它具有形象、直观等特点。
我们可以通过分析数量关系，发现条件和问题之间的内在联系，找出解题规律，正确列式解答。
常用的数量关系式有：
两数差÷（倍数—1）=小数；小数×倍数=小数+差=大数。
典例解析及同步训练
典例1有1元和5元人民币共17张，合计49元，两种面值的人民币各有多少张？
解析：
该题求两种面值的人民币各有多少张，已知总张数17张，但两种人民币张数相差多少难以确定，怎么办？
再分析题意，有知两种面值的人民币的总钱数及各自的票面值，但两种人民币相差的钱数也难以确定，这又怎么办？
我们可假设17张人民币全是5元的，总钱数则为5×17=85（元），比实际的49元多85—49=36（元），多大原因是把1元的人民币假设为5元的人民币，用数量关系式表示为：
每张5元币比1元币多的钱×1元币的张数=比实际多的钱。
根据这一关系式可以先求1元人民币的张数。
解：
（5×17－49）÷（5－1）=9（张）17－9=8（张）
答：
1元的人民币有9张，5元的有8张。
举一反三练习1
1、小张和小赵共有400元，如果小赵借给小张20元，两人的钱相等。
两人各有多少元？
2、甲、乙两车间共有工人450人。
甲车间为了支援乙车间，抽出124人加入乙车间，这时乙车间还比甲车间少26人。
甲、乙两车间原来各有多少工人？
3、实验农场为了种植试验的需要，把一块20公顷的坡地分成两小块，使它们的和恰是差的5倍。
这两块地各是几公顷？
4、小明用21.4元去买两种贺卡，甲卡每张1.5元，乙卡每张0.7元，钱恰好用完。
可是售货员把甲卡张数算作乙卡张数，把乙卡张数算作甲卡张数，要找给小明3.2元，小明买甲、乙卡各几张？
典例2某印刷厂第一季度印书690000册，二月份印的册数是一月份的2倍，三月份印的册数是一月份的3倍，一、二、三月份分别印书多少册？
解析：
我们可以从一月份印书册数为标准（1倍），则690000册是一月份的（1＋2＋3）倍。
解：
一月份印书：
690000÷（1＋2＋3）=115000（册）
二月份印书：
115000×2=230000（册）
三月份印书：
115000×3=345000（册）
答：
一、二、三月份分别印书115000册、230000册、345000册。
举一反三练习2
1、师徒两人共同工作3小时，一共生产了450个零件，已知师傅的工作效率是徒弟的2倍，师徒每小时各生产多少个零件？
2、糖果盒里一共有奶糖、水果糖和咖啡糖150颗，已知奶糖颗数是水果糖的2倍，而水果糖的颗数又是咖啡糖的3倍，奶糖、水果糖和咖啡糖各有多少颗？
3、学校科技小组共有组员30人，其中男生比女生的2倍少3人，科技小组中男生女生各有多少人？
4、甲、乙、丙三人共有306元钱，甲的钱比乙的2倍多8元，乙的钱比丙的3倍多6元，甲、乙、丙三人各有多少元钱？
典例3一个体育队，男队员人数的
与女队员人数的
相等，男队员比女队员多45人，男、女队员各多少人？
解析：
根据题意画出线段图，可以看出：
把女队员人数看作1份（标准数），那么女队员人数就是2份，男队员人数就是3份，进而可知，男队员人数比女队员多（3－2）份。
用图表示为：
解：
女队员：
45×2=90（人）男队员：
45×3=135（人）
答：
男、女队员分别有135人、90人。
举一反三练习3
1、暑假里，兄弟两人去钓鱼，哥哥比弟弟多钓了20条，哥哥钓的条数又正好是弟弟的3倍。
兄弟俩各钓了多少条鱼？
2、仓库有面粉和大米，已知大米比面粉多4500千克，大米比面粉的3倍还多700千克，大米和面粉各有多少千克？
3四年级图书角有大小两个书架，大书架上的书是小书架上的4倍。
如果从大书架上取出150本放到小书架上，这时，两个书架上书的本数相等。
大小书架原来各有多少本书？
4、甲、乙两堆鸭梨的质量相等，如果从甲堆拿走6千克，往乙堆放进14千克后，乙堆梨的质量是甲堆的3倍。
甲、乙两堆原来各有多少千克？
3、平均数问题
知识要点
平均数的意义：
把几个不相等的数移多补少，使它们完全相等，而这几个数的总和完全不变，求出的相等的数就是平均数。
平均数问题的基本数量关系是：
总数量÷总分数=平均数
总数量÷平均数=总分数
平均数×总分数=总数量
在实际问题中，要抓住“总数量”以及与之对应的“总分数”来解决问题。
典例解析及同步练习
典例1某零件厂有3个生产车间。
第一车间有8人，二月份共生产零件640个；第二车间有6人，二月份共生产零件500个；第三车间有8人，二月份共生产零件620个。
二月份平均每人生产零件多少个？
解析：
因为零件厂有3个车间，可知问题中的“平均”是指“三个车间”，是按三个车间的总人数来计算的，因此所需条件便是三个车间的生产总量和人数总和。
二者的商便是所要求的答案了。
解：
（640＋500＋620）÷（8＋6＋8）=80（个）
答：
二月份平均每人生产零件80个。
举一反三练习1
1、用五个同样的杯子装水，水面的高度分别是6厘米、5厘米、9厘米、8厘米和7厘米，这五个杯子水面的平均高度是多少厘米？
2、某电视机厂六月份前10天共生产电视机3300台，后20天共生产电视机6300台，这个月平均每天生产电视机多少台？
3、水果店在一星期前4天共卖出230千克水果，后三天平均每天卖出320千克，这个水果店这一星期平均每天卖出多少千克？
4、四年级一班第一小组在体侧时测得该组6个男生的平均体重为40千克，4个女生的平均体重是30千克，该组这10个同学的平均体重是多少千克？
典例2甲、乙两地相距20千米，某人步行从甲地到乙地用了4小时（顺风），返回时用了6小时（逆风）。
他往返两地的平均速度是多少？
解析：
求往返的平均速度，要用往返的路程除以往返的时间，往返的路程是20×2=40（千米），往返的时间是4＋6=10（小时）。
注意不要把式子列成：
20÷（4＋6）=2（千米/时）
解：
20×2÷（4＋6）=4（千米/时）
答：
他往返两地的平均速度是每小时4千米。
举一反三练习2
1、一架飞机往返于相距1620千米的甲乙两地。
飞出时，每小时飞行810千米，返航时每小时飞行540千米，这架飞机往返的平均速度是多少？
2、王大爷登山锻炼身体，上山时他每分钟走50米，18分钟到达山顶，下山时，他沿原路返回，每分钟走75米，求王大爷上下山的平均速度。
3、全班有50人，其中15人9岁，17人10岁，18人11岁，这个班的平均年龄是多少？
4、两组同学进行跳绳比赛，平均每人跳152下，甲组有6人，平均每人跳140下，乙组平均每人跳160下，乙组有多少人？
典例3有三个数，甲数和乙数的平均数是82，甲数和丙数的平均数是84，乙数和丙数的平均数是86，丙数是多少？
解析：
根据题意可以得出：
甲＋乙=82×2……
（1）甲＋丙=84×2……
（2）乙＋丙=86×2……（3）
把这三个算式相加就得到2个甲、乙和2个丙的总和，再用这个总和除以2，就可以求出甲、乙、丙这三个数的和，然后用三个数的和减去甲、乙两数的和就得到丙数。
解：
（82×2＋84×2＋86×2）÷2－82×2=88
答：
丙数是88.
举一反三练习3
1、小明参加了4次数学测试，平均成绩为86分，他想在下次数学测试后，将5次平均成绩提高到88分以上，小明第五次考试至少要考多少分？
2、小华在一次考试中，语文与数学共得196分，数学与英语共得198分，语文与英语共得194分，他三科的平均分是多少？
3、五个数写成一排，前三个数的平均值是22，后两个数的平均值是12，这五个数的平均值是多少？
4、如果四个人的平均年龄是18岁，四个人中没有小于14岁的，那么年龄最大的人最多多少岁？
典例4某次数学竞赛原定一等奖10人，二等奖20人，现在将一等奖中最后4人调整为二等奖，这样二等奖的学生的平均分提高了1分，得一等奖的学生的平均分提高了3分，那么原来一等奖的平均分比二等奖的多多少分？
解析：
根据题意可知，此题中平均分数的变化是由调整4人而引起的，因此要抓住4人进行分析。
调整后的4人一共添了3×6=18（分）；调整后的二等奖的20＋4=24（人）的平均分提高了1分，一共用了1×24=24（分），说明计算新的平均分时，所调整的4人共拿了24分平均分给得二等奖的每个人，这两部分一共代表18＋24=42（分），由此可以求出原来得一等奖的平均分比二等奖的平均分多几分。
解：
［3×（10－4）＋1×（20＋4）］÷4=10.5（分）
答：
原来一等奖的平均分比二等奖的多10.5分。
举一反三训练4
1、一个学习小组有12个同学，一次数学考试，李静请假。
其余11人的平均成绩是85分。
后来李静补考的成绩比12人的平均成绩还高了5.5分，李静考了多少分？
2、小静、小冬、小兰三人拿同样多的钱一起到商店买同样的笔记本，买回后，小静和小冬分别比小兰多拿了6本，这样小静和小冬都还要再给小兰12元，每本笔记本多少元？
3、有一堆苹果平均分给甲、乙两班学生，每人可分六个；如果只分给加甲班，每人平均分10个，如果只分给乙班，平均每人分多少个？
4、六年级一班有学生40人，一次测验中3人因病缺考，其余同学的平均分数82分。
后来这三人参加了补考，若每两个人的平均分再加上第三人的成绩，分别是191分、188分、193分。
这次测验全班的平均分是多少？
4、还原问题
知识要点
在数学问题中，经常遇到这样的问题：
一个数或者一种量，通过一步一步的变化最后得到结果，要我们求最初的数或量。
如果按照一般的解题方法来求解这种题就比较困难，但如果从结果出发，沿着它的变化规律，利用加法与减法，乘法与除法的互逆关系，一步一步地倒着往前排，直到求出最初的数和量。
这样思考问题的方法叫做还原法，这样的问题叫还原问题。
解答这类问题的关键在于“还原”。
“还原”的其本途径是：
从最后一个已知数开始，逐步逆推回去。
原题为加，倒退时为减；原题为减，倒推时为加；原题为乘，倒推时为除；原题为除，倒推时为乘。
此类应用题也可以根据原提的叙述顺序，列出等量关系式按列方程解应用题的方法进行解答。
典例解析及同步练习
典例1某商场周日出售液晶电视机。
上午售出总数的一半多10台，下午售出剩下的一半多15台，还剩40台。
商场这天原有液晶电视机多少台？
解析：
从“上午售出剩下的一半多15台”和“还剩下40台”向前倒退。
40台和下午多卖的15台合起来，即40＋15=55（台）（如图），正好是上午售后剩下的一半，那么55×2=110（台）就是上午售后剩下的台数，而110台和10台合起来，即110＋10=120（台），又正好是总数的一半，那么120×2=240（台），就是原来液晶电视机的台数。
解：
［（40＋15）×2＋10］×2=240（台）
答：
商场这天原有液晶电视机240台。
举一反三练习1
1、小明的爷爷说：
“把我的年龄加上25，除以4，再减去23，最后乘以25，恰好是半百。
”你知道小明的爷爷今年多少岁吗？
2、小军用自己零花钱的一半买了一本故事书，后来妈妈又给了他4元6角，他又拿出其中的一半多2角买了一本连环画，结果还剩5元6角，小军原来有多少元？
3、冬冬去银行取款，第一次取了存款的一半还多5元，第二次取了余下的一半少10元，这时存折上还剩125元，
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