六年级数学专题复习二.docx
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六年级数学专题复习二
六年级数学专题复习二:
应用能力训练
一、总体概述:
知识要点
1、一般应用题常见的解题方法
(1)综合法:
从条件出发,运用学过的基本数量关系推出其中两个数量关系可以解决的问题,然后把所推的数量作为新的已知条件,与其他的已知条件搭配,再得出可以解决的问题,这样逐步推导,直到求出问题中所需要求的结果。
(2)分析法:
从问题入手,逐步分析其所含的每一个相关的数量,使之分解成可依次解答的几个简单应用题。
(3)综合分析法:
将分析法、综合法结合起来交替使用。
当已知条件中有明显计算过程时就用综合法顺推,遇到困难时再转向原题所提出的问题用分析法帮忙,逆推几步,顺推和逆推联系上了,问题便解决了。
2、典型应用题常见的解题方法
(1)对应法:
解答这一类应用题时要通过观察、比较题目中的已知条件研究对应数量的变化,找准数量之间的对应关系,寻找答案。
(2)还原法:
就是从结果把变化的情况一步一步倒着推,通过一次次计算和推理,把结果还原到开始状态,用还原法解答的题往往借助于图示法或列表法。
(3)假设法:
就是先假设某事件的一种或几种情况,然后找出假设与实际的差距,再根据数量间的关系进行调整,是假设与实际相符。
(4)转换法:
是一种间接解决问题的方法,它是指把待解决或未解决的问题进行变形(如利用不变量转化单位“1”;利用代数法转化分率句;将分率句转化成比;利用设数法转化单位“1”等),使之简单化、熟悉化、具体化,从而转变成已解决或较容易解决的问题的方法。
(5)列方程:
部分应用题传统的算术方法思考、解答比较困难,而列方程解应用题,用字母表示未知数,将未知数直接参与计算,思考时就比较方便。
(6)代换法:
有些题目给出两个或两个以上的未知量,并且这些未知量之间具有相等的关系,我们可以根据所提供的信息,用一个未知量代替其他的未知量,从而找到解决问题的方法。
(7)图表法:
有些应用题的数量关系比较复杂,可以画图把数量之间的关系变得简洁明了,借助直观的图或表进行分析、判断、推理,用图形或表格来表示复杂的数量关系,从而很快的找出解题的方法。
二、分类解析:
1、行程问题
知识要点
路程、时间、速度是行程问题的三个基本量,它们之间的关系如下:
路程=速度×时间速度=路程÷时间时间=路程÷速度
在具体的相遇与追及问题中,关系式可描述为:
相遇的路程=速度和×相遇时间
追及的路程=速度差×追及时间
相遇路程就是在相同的时间(相遇时间)内两者走过的总路程;追及路程就是在相同的时间(追及时间)内一方比另一方多走的路程。
在流水问题中,顺水速度=船速+水流速度逆水速度=船速—水流速度
典例解析及同步练习
典例1从A到B是1千米的下坡路,从B到C是3千米的平路,从C到D是2.5千米的上坡路,小张和小王步行,下坡路速度都是每小时6千米,平路速度都是每小时4千米,上坡路速度都是每小时2千米。
小张和小王分别从A、D同时出发相向而行,经过多长时间两人相遇?
解析:
小张从A到B需要1÷6×60=10(分钟);小王从D到C也是下坡,需要2.5÷6×60=25(分钟);当小王到达C点时,小张已在平路上走了25-10=15(分钟),走了4×15÷60=1(千米),因此在B与C之间平路上剩下3-1=2(千米),由小张和小王共同相向而行,直到相遇,所需时间是2÷(4+4)×60=15(分钟)。
从出发到相遇时间是25+15=40(分钟)。
解:
1÷6×60=10(分钟)
2.5÷6×60-10=15(分钟)
3-4×15÷60=2(千米)
2÷(4+4)×60+25=40(分钟)
答:
经过40分钟两人相遇。
典例二甲、乙两地相距300千米,一辆客车由甲地开到乙地需要15小时,一辆货车由乙地开到甲地需10小时,这两辆车由甲、乙两地分别同时开出相向而行,经过多少小时相遇?
根据相向行程问题的数量关系列式为:
300÷(300÷15+300÷10)
根据工程问题的数量关系,列式为:
1÷(
)
典例三两人同时分别从两地出发相向而行,经过1
小时,两人共行全程的30%,再经过多少小时两人就能相遇?
此题从叙述方式看,是一道比较典型的相向行程问题,但认真分析数量关系,就可以清楚地分析出这是一道归一问题。
1
小时——行了全程的30%
?
小时——行完全程的(1-30%)
(1-30%)÷(30%÷1
)
或1
×[(1-30%)÷30%]
1
÷[30%÷(1-30%)]
举一反三训练1
1、炼钢厂六月份前10天平均每天炼钢378吨,后20天平均每天炼钢360吨,这个月平均每天炼钢多少吨?
2、修一条长450米的路,已经修了3天,修了150米,照这样计算,剩下的路还需要多少天修完?
3、小明和小华在一个圆形跑道上,从同一地点同时向相反的方向走,跑道全长400米,小华每分钟走60米,小明每分钟走40米,经过多少分钟两人第二次相遇?
4、新华机械厂,去年第一、二季度的平均产量是843台,第三季度生产了981台,全年每个季度的平均产量是978台,第四季度生产机器多少台?
5、张师傅原定10天生产4000个零件,由于改进技术,到预定日期的前一天,已经比预定的完成的数量多生产了50个,他实际平均每天生产多少个零件?
6、一艘轮船用同样的速度航行,第一天行了384海里,第二天行了304海里,共用了21.5小时。
两天各行了多少小时?
7、一本书原计划印270页,每页排24行每行排30个字,为了节约用纸,改为每页排30行,每行排36个字,这本书实际印了多少页?
8、师徒2人要生产840个机器零件,开始4小时共生产了280个,照这样计算要完成剩下的零件还需要多少小时?
(用四种不同的方法解答)
典例四甲、乙、丙三辆车先后从A地开往B地,乙比丙晚出发5分钟,出发后45分钟追上丙;甲比乙晚出发15分钟,出发后1小时追上丙。
甲出发后几小时追上乙?
解析:
本题只给出时间,而行程问题需知道路程、速度与时间三个量中的两个量。
这里可设丙的速度为“1”。
则乙追丙的追及路程为1×5=5,甲追丙的追及路程为1×(5+15)=20.从而乙与丙的速度差为5÷45=
,甲与丙的速度差为20÷60=
,于是甲的速度为1+
,乙的速度为1+
,甲追乙的追及路程为(1+
)×15=
,这样一来,就可以得出答案了。
解:
设丙的速度为“1”,有解析可以得到:
÷[(1+
)-(1+
)]=75(分钟)=1
(小时)
答:
甲出发后1
小时追上乙。
举一反三训练2
1、甲、乙两人由A地到B地,甲的速度是50米/分,乙的速度是45米/分,乙比甲早走4分钟,两人同时到达B地,A地到B地的距离是多少米?
2、甲、乙两车同时、同地出发向同一目的地,甲车每小时行40千米,乙车每小时行35千米,途中甲车停车3小时,结果甲车比乙车迟1小时到达目的地,两地之间的距离是多少?
3、猎狗发现在距它35米处有一只奔跑的兔子,立刻追上去,兔子7步的路程猎狗只需4步,猎狗跑3步的时间兔子却跑4步,猎狗至少跑多远才能追上兔子?
4、由甲、乙、丙三人,从王庄到李庄去,距离是3千米,步行速度每小时3千米,有两辆自行车,每辆自行车只能一人骑,速度为每小时15千米,三人同时出发同时到达,最短需要多少小时?
典例五一艘轮船顺流航行105千米,在逆流航行60千米,共用12小时;若顺流航行60千米,在逆流航行132千米,共用15小时。
如果先顺流航行120千米,在逆流航行120千米回到始点,共需多长时间?
解析:
这是流水问题,关键是求出船速与水速,或求出顺水速度与逆水速度。
这里采用比较的方法,题设可化成等价的两个条件:
顺流航行35千米,逆流航行20千米用4小时;顺流航行20千米,逆流航行44千米用5小时。
比较可得,顺流航行35×5-20×4=95(千米)所用的时间等于逆流航行44×4-20×5=76(千米)所用的时间。
于是,顺水速度:
逆水速度=95:
76=5:
4,由此可得,顺水速度=(35+20÷4×5)÷4=15(千米/时),逆水速度=(35÷5×4+20)÷4=12(千米/时)。
解:
由解析所得出的条件可知往返120千米所需时间为:
120÷15+120÷12=18(小时)
答:
共需18小时。
举一反三练习3
1、一艘轮船在一条河里顺流而下200千米要用10小时,逆流而上行120千米也要用10小时,这艘轮船在静水中航行280千米要用多长时间?
2、一只小船顺流每小时行7.8千米,逆流每小时行4.2千米,现在甲、乙两只同样的小船,同时同地反向而行,经过1小时同时返回出发点,那么,在1小时内,甲、乙两船同方向行驶多长时间?
3、甲河是乙河的支流,甲河水流速度为3千米/时,乙河水流速度为2千米/时,一艘船沿乙河逆流行驶6小时,行驶84千米到达甲河,在甲河还要顺流航行133千米,这艘船一共航行多少小时?
4、甲、乙两个码头相距130千米,汽船从乙码头逆流行驶6.5小时到达甲码头,又知汽船在静水中每小时行驶23千米。
汽船从甲码头顺流开回乙码头需要几小时?
5一支运货小船队,第一次顺流航行48千米,逆流航行8千米,共用10小时;第二次用同样的时间,顺流航行了24千米,逆流航行了14千米。
求这支小船队在静水中速度和水流速度。
典例六一列火车车身长200米,用15秒开过每小时行4千米的同方向行走的步行人甲,而用12秒开过骑自行车的人乙,那么乙每小时行多少千米?
[注:
开过是指火车头从甲(或乙)的身旁开过到火车尾离开甲(乙)]
解析:
由于火车用15秒时间开过同向行走的步行人甲,用12秒时间开过骑自行车的人乙,所以乙的骑行方向与火车的前进方向相反,因为由常识知道,骑车的速度比步行的速度快。
因此,本题中给出火车尾与甲的追及问题以及火车尾与乙的相遇问题。
再利用追及与相遇问题的基本关系式不难解决。
解:
火车追甲的路程=火车车身长+甲在追击时间内走的路程,即200+4000×
=
(米),那么火车的速度为:
÷15=
(米/秒)。
火车尾与乙的相遇路程为200米,从而火车与乙的速度和为:
200÷12=
(米/秒),那么乙的速度为
-
=
(米/秒),而
米/秒=8千米/时
答:
乙每小时行8千米。
举一反三训练4:
1、一列长150米的火车以18米/秒的速度穿越一条300米的隧道。
火车穿越隧道(进入隧道直至完全离开)要多长时间?
2、快慢两列火车的车身长分别是150米和200米,它们相向行驶在两条平行的轨道上。
若坐在慢车上的人看见快车驶过窗口的时间是6秒,则坐在快车上的人看见慢车驶过窗口的时间是多少秒?
3、某列火车通过360米的第一个隧道,用了24秒,接着通过长216米的第二个隧道,用了16秒。
这列火车与另一列长75米时速为86.4千米的火车相向而行,错车而过交叉的时间是多少?
2、和差、和倍、差倍问题
知识要点
1、已知两数和及它们的差,求这两个数各是多少的应用题,叫做和差应用题,简称和差问题。
和差问题的解题规律是:
小数加上两数差就是大数,两数和加上两数差便是大数的2倍;大数减去两数差是小数,两数和减去两数差是小数的2倍。
因此,用两数和加上两数差,再除以2,就可求出其中的大数;用两数和减去两数差,再除以2,就可以求出其中的小数。
最终我们可以用公式表示为:
(两数和+两数差)÷2=大数;(两数和—两数差)÷2=小数。
2、已知两个数的和与两个数的倍数关系,求两个数各是多少的应用题,我们通常把它叫做和倍问题。
它是一类典型的应用题。
向解答和差应用题一样,要想顺利的解答和倍问题,最好的办法就是根据题目中所给的条件和问题,画出线段图,是数量关系一目了然,从而找出解题规律,正确迅速的列式解答。
和倍问题中的关系如下:
两数和÷(倍数+1)=小数;小数×倍数=两数和—小数=大数。
3、已知大小两个数的差,还知道大数是小数的几倍,求大小两个数各是多少的应用题,我们通常把它叫做差倍问题。
差倍问题也是一种典型的应用题。
那么,如何解决差倍问题呢?
和解答和倍问题类似的,我们仍可以用画线段图的方法来帮助分析、思考,它具有形象、直观等特点。
我们可以通过分析数量关系,发现条件和问题之间的内在联系,找出解题规律,正确列式解答。
常用的数量关系式有:
两数差÷(倍数—1)=小数;小数×倍数=小数+差=大数。
典例解析及同步训练
典例1有1元和5元人民币共17张,合计49元,两种面值的人民币各有多少张?
解析:
该题求两种面值的人民币各有多少张,已知总张数17张,但两种人民币张数相差多少难以确定,怎么办?
再分析题意,有知两种面值的人民币的总钱数及各自的票面值,但两种人民币相差的钱数也难以确定,这又怎么办?
我们可假设17张人民币全是5元的,总钱数则为5×17=85(元),比实际的49元多85—49=36(元),多大原因是把1元的人民币假设为5元的人民币,用数量关系式表示为:
每张5元币比1元币多的钱×1元币的张数=比实际多的钱。
根据这一关系式可以先求1元人民币的张数。
解:
(5×17-49)÷(5-1)=9(张)17-9=8(张)
答:
1元的人民币有9张,5元的有8张。
举一反三练习1
1、小张和小赵共有400元,如果小赵借给小张20元,两人的钱相等。
两人各有多少元?
2、甲、乙两车间共有工人450人。
甲车间为了支援乙车间,抽出124人加入乙车间,这时乙车间还比甲车间少26人。
甲、乙两车间原来各有多少工人?
3、实验农场为了种植试验的需要,把一块20公顷的坡地分成两小块,使它们的和恰是差的5倍。
这两块地各是几公顷?
4、小明用21.4元去买两种贺卡,甲卡每张1.5元,乙卡每张0.7元,钱恰好用完。
可是售货员把甲卡张数算作乙卡张数,把乙卡张数算作甲卡张数,要找给小明3.2元,小明买甲、乙卡各几张?
典例2某印刷厂第一季度印书690000册,二月份印的册数是一月份的2倍,三月份印的册数是一月份的3倍,一、二、三月份分别印书多少册?
解析:
我们可以从一月份印书册数为标准(1倍),则690000册是一月份的(1+2+3)倍。
解:
一月份印书:
690000÷(1+2+3)=115000(册)
二月份印书:
115000×2=230000(册)
三月份印书:
115000×3=345000(册)
答:
一、二、三月份分别印书115000册、230000册、345000册。
举一反三练习2
1、师徒两人共同工作3小时,一共生产了450个零件,已知师傅的工作效率是徒弟的2倍,师徒每小时各生产多少个零件?
2、糖果盒里一共有奶糖、水果糖和咖啡糖150颗,已知奶糖颗数是水果糖的2倍,而水果糖的颗数又是咖啡糖的3倍,奶糖、水果糖和咖啡糖各有多少颗?
3、学校科技小组共有组员30人,其中男生比女生的2倍少3人,科技小组中男生女生各有多少人?
4、甲、乙、丙三人共有306元钱,甲的钱比乙的2倍多8元,乙的钱比丙的3倍多6元,甲、乙、丙三人各有多少元钱?
典例3一个体育队,男队员人数的
与女队员人数的
相等,男队员比女队员多45人,男、女队员各多少人?
解析:
根据题意画出线段图,可以看出:
把女队员人数看作1份(标准数),那么女队员人数就是2份,男队员人数就是3份,进而可知,男队员人数比女队员多(3-2)份。
用图表示为:
解:
女队员:
45×2=90(人)男队员:
45×3=135(人)
答:
男、女队员分别有135人、90人。
举一反三练习3
1、暑假里,兄弟两人去钓鱼,哥哥比弟弟多钓了20条,哥哥钓的条数又正好是弟弟的3倍。
兄弟俩各钓了多少条鱼?
2、仓库有面粉和大米,已知大米比面粉多4500千克,大米比面粉的3倍还多700千克,大米和面粉各有多少千克?
3四年级图书角有大小两个书架,大书架上的书是小书架上的4倍。
如果从大书架上取出150本放到小书架上,这时,两个书架上书的本数相等。
大小书架原来各有多少本书?
4、甲、乙两堆鸭梨的质量相等,如果从甲堆拿走6千克,往乙堆放进14千克后,乙堆梨的质量是甲堆的3倍。
甲、乙两堆原来各有多少千克?
3、平均数问题
知识要点
平均数的意义:
把几个不相等的数移多补少,使它们完全相等,而这几个数的总和完全不变,求出的相等的数就是平均数。
平均数问题的基本数量关系是:
总数量÷总分数=平均数
总数量÷平均数=总分数
平均数×总分数=总数量
在实际问题中,要抓住“总数量”以及与之对应的“总分数”来解决问题。
典例解析及同步练习
典例1某零件厂有3个生产车间。
第一车间有8人,二月份共生产零件640个;第二车间有6人,二月份共生产零件500个;第三车间有8人,二月份共生产零件620个。
二月份平均每人生产零件多少个?
解析:
因为零件厂有3个车间,可知问题中的“平均”是指“三个车间”,是按三个车间的总人数来计算的,因此所需条件便是三个车间的生产总量和人数总和。
二者的商便是所要求的答案了。
解:
(640+500+620)÷(8+6+8)=80(个)
答:
二月份平均每人生产零件80个。
举一反三练习1
1、用五个同样的杯子装水,水面的高度分别是6厘米、5厘米、9厘米、8厘米和7厘米,这五个杯子水面的平均高度是多少厘米?
2、某电视机厂六月份前10天共生产电视机3300台,后20天共生产电视机6300台,这个月平均每天生产电视机多少台?
3、水果店在一星期前4天共卖出230千克水果,后三天平均每天卖出320千克,这个水果店这一星期平均每天卖出多少千克?
4、四年级一班第一小组在体侧时测得该组6个男生的平均体重为40千克,4个女生的平均体重是30千克,该组这10个同学的平均体重是多少千克?
典例2甲、乙两地相距20千米,某人步行从甲地到乙地用了4小时(顺风),返回时用了6小时(逆风)。
他往返两地的平均速度是多少?
解析:
求往返的平均速度,要用往返的路程除以往返的时间,往返的路程是20×2=40(千米),往返的时间是4+6=10(小时)。
注意不要把式子列成:
20÷(4+6)=2(千米/时)
解:
20×2÷(4+6)=4(千米/时)
答:
他往返两地的平均速度是每小时4千米。
举一反三练习2
1、一架飞机往返于相距1620千米的甲乙两地。
飞出时,每小时飞行810千米,返航时每小时飞行540千米,这架飞机往返的平均速度是多少?
2、王大爷登山锻炼身体,上山时他每分钟走50米,18分钟到达山顶,下山时,他沿原路返回,每分钟走75米,求王大爷上下山的平均速度。
3、全班有50人,其中15人9岁,17人10岁,18人11岁,这个班的平均年龄是多少?
4、两组同学进行跳绳比赛,平均每人跳152下,甲组有6人,平均每人跳140下,乙组平均每人跳160下,乙组有多少人?
典例3有三个数,甲数和乙数的平均数是82,甲数和丙数的平均数是84,乙数和丙数的平均数是86,丙数是多少?
解析:
根据题意可以得出:
甲+乙=82×2……
(1)甲+丙=84×2……
(2)乙+丙=86×2……(3)
把这三个算式相加就得到2个甲、乙和2个丙的总和,再用这个总和除以2,就可以求出甲、乙、丙这三个数的和,然后用三个数的和减去甲、乙两数的和就得到丙数。
解:
(82×2+84×2+86×2)÷2-82×2=88
答:
丙数是88.
举一反三练习3
1、小明参加了4次数学测试,平均成绩为86分,他想在下次数学测试后,将5次平均成绩提高到88分以上,小明第五次考试至少要考多少分?
2、小华在一次考试中,语文与数学共得196分,数学与英语共得198分,语文与英语共得194分,他三科的平均分是多少?
3、五个数写成一排,前三个数的平均值是22,后两个数的平均值是12,这五个数的平均值是多少?
4、如果四个人的平均年龄是18岁,四个人中没有小于14岁的,那么年龄最大的人最多多少岁?
典例4某次数学竞赛原定一等奖10人,二等奖20人,现在将一等奖中最后4人调整为二等奖,这样二等奖的学生的平均分提高了1分,得一等奖的学生的平均分提高了3分,那么原来一等奖的平均分比二等奖的多多少分?
解析:
根据题意可知,此题中平均分数的变化是由调整4人而引起的,因此要抓住4人进行分析。
调整后的4人一共添了3×6=18(分);调整后的二等奖的20+4=24(人)的平均分提高了1分,一共用了1×24=24(分),说明计算新的平均分时,所调整的4人共拿了24分平均分给得二等奖的每个人,这两部分一共代表18+24=42(分),由此可以求出原来得一等奖的平均分比二等奖的平均分多几分。
解:
[3×(10-4)+1×(20+4)]÷4=10.5(分)
答:
原来一等奖的平均分比二等奖的多10.5分。
举一反三训练4
1、一个学习小组有12个同学,一次数学考试,李静请假。
其余11人的平均成绩是85分。
后来李静补考的成绩比12人的平均成绩还高了5.5分,李静考了多少分?
2、小静、小冬、小兰三人拿同样多的钱一起到商店买同样的笔记本,买回后,小静和小冬分别比小兰多拿了6本,这样小静和小冬都还要再给小兰12元,每本笔记本多少元?
3、有一堆苹果平均分给甲、乙两班学生,每人可分六个;如果只分给加甲班,每人平均分10个,如果只分给乙班,平均每人分多少个?
4、六年级一班有学生40人,一次测验中3人因病缺考,其余同学的平均分数82分。
后来这三人参加了补考,若每两个人的平均分再加上第三人的成绩,分别是191分、188分、193分。
这次测验全班的平均分是多少?
4、还原问题
知识要点
在数学问题中,经常遇到这样的问题:
一个数或者一种量,通过一步一步的变化最后得到结果,要我们求最初的数或量。
如果按照一般的解题方法来求解这种题就比较困难,但如果从结果出发,沿着它的变化规律,利用加法与减法,乘法与除法的互逆关系,一步一步地倒着往前排,直到求出最初的数和量。
这样思考问题的方法叫做还原法,这样的问题叫还原问题。
解答这类问题的关键在于“还原”。
“还原”的其本途径是:
从最后一个已知数开始,逐步逆推回去。
原题为加,倒退时为减;原题为减,倒推时为加;原题为乘,倒推时为除;原题为除,倒推时为乘。
此类应用题也可以根据原提的叙述顺序,列出等量关系式按列方程解应用题的方法进行解答。
典例解析及同步练习
典例1某商场周日出售液晶电视机。
上午售出总数的一半多10台,下午售出剩下的一半多15台,还剩40台。
商场这天原有液晶电视机多少台?
解析:
从“上午售出剩下的一半多15台”和“还剩下40台”向前倒退。
40台和下午多卖的15台合起来,即40+15=55(台)(如图),正好是上午售后剩下的一半,那么55×2=110(台)就是上午售后剩下的台数,而110台和10台合起来,即110+10=120(台),又正好是总数的一半,那么120×2=240(台),就是原来液晶电视机的台数。
解:
[(40+15)×2+10]×2=240(台)
答:
商场这天原有液晶电视机240台。
举一反三练习1
1、小明的爷爷说:
“把我的年龄加上25,除以4,再减去23,最后乘以25,恰好是半百。
”你知道小明的爷爷今年多少岁吗?
2、小军用自己零花钱的一半买了一本故事书,后来妈妈又给了他4元6角,他又拿出其中的一半多2角买了一本连环画,结果还剩5元6角,小军原来有多少元?
3、冬冬去银行取款,第一次取了存款的一半还多5元,第二次取了余下的一半少10元,这时存折上还剩125元,