华杯赛小高组专题下.docx
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华杯赛小高组专题下
第一讲等差数列
知
1、数列定义：
若干个数排成一列，像这样一串数，称为数列。
数列中的每一个数称为一项，其中第一个数称为首项（我们将a用1来表示），第二个数叫做第二项以此类推，最后一个数叫做这个数列的末项（我们将a用n来表示，）数列中数的个数称为项数，我们n将来用表示。
如2：
，4，6，8，，100
2、等差数列：
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列。
我们将这个差称为公差（我们用d来表示），即：
da2a1a3a2an2an1anan1
例如：
等差数列3：
、6、9⋯⋯9，6这是一个首项3为，末项为96，项数为32，公差为3的数列（。
省略号表示什么？
）
练习1：
试举出一个等差数列，并指出首项、末项、项数和公差。
3、计算等差数列的相关公式：
（1）通项公式：
第几项＝首项＋（项数1）－×公差即：
ana1（n1）d
（2）项数公式：
项数＝（末项－首项÷公）差＋1
即：
n（ana1）d1
（3）求和公式：
总和＝（首项＋末项×）项数÷2即：
a1a2a3ana1ann2
在等差数列中，如果已知首项、末项、公差。
求总和时，应先求出项数，然后再利用等差数列求和公式求和。
例1、计算2+4+6+⋯⋯+96+98+100。
练习：
1、计算1+2+3+4+5+6+7+8+9+1。
0
2、计算12+13+14+⋯⋯+29+30+31。
3
2）、995+996+997+998+999
、试用两种方法计算以下题目：
（1）、73+77+81+85+89+93
4、求出所有的两位数的和
例2、计算：
（1）100+95+90+⋯⋯+15+10+5。
练习：
1、计算：
1+2+3+4+5+⋯⋯+99+100+99+98+⋯⋯3+2+1。
2、有10只盒子，44只乒乓球，把这44只乒乓球放到盒子中，能不能使每个盒子中的球数都不相同（每个盒子中至少要放一个球）？
例3、小红读一本长篇小说，第一天读了30页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多4页，最后一天读了70页，刚好读完。
问：
这本小说共有多少页？
练习：
1、影剧院有座位若干排，第一排有25个座位，以后每排比前一排多3个座位，最后一排有94个座位。
问：
这个影剧院共有多少个座位？
2、有一堆木材堆在一起，一共25层，第一层有3根，第二层有4根，下面每一层比上一层多1根，这堆木材共有多少根？
3、时钟每逢几时就敲几下，每半点时钟敲1下。
问：
一昼夜该时钟总共敲了多少下？
华杯赛小高组
例5、计算（2+4+6+⋯⋯+18+20）—（1+3+5+⋯⋯+17+19）。
练习：
1、2013—2012+2011—2010+⋯⋯+3—2+1。
2、（1+3+5+⋯⋯+79）—（2+4+6+⋯⋯+78）。
3、100—98+96—94+92—90+⋯⋯+8—6+4—2。
巩固练习：
1、在12与60之间插入3个数，使这5个数成为一个等差数列
2、在6和38之间插入7个数，使他们成为等差数列，9求个这数的和是多少？
3、省工人体育馆的12区共有20排座位，呈梯形，第1排有10个座位，第2排有11个座位，第3排有12个座位⋯⋯这个体育馆的12区共有多少个座位？
第二讲求因数个数有的时候我们只需要知道某数的因数有多少而不需要找出这些因数具体是那些。
对一些数来说因数很少很容易就能一一列举出来，数一数有多少。
但是有些数因数比较多，一一列举的话比较麻烦，并且也不一定能够全都找出来。
在这种情况下，我们可以先分解质因数，在通过计算求出因数的个数。
一、求8和243的因数有多少个
首先分解质因数
8=2×2×2243=3×3×3×3×3
这样，把一个合数写成几个质数（也叫素数）相乘的形式，就叫做分解质因数。
3
几个相同的因数相乘，如2×2×2可以记作23，读作：
2的3次方。
3×3×3×3×35
记作35，读作：
3的5次方。
注：
任何一个大于0的数的0次方都等于1。
我们知道8的因数有4个：
1,2,4,8。
0123
可以写成1=2，2=2，4=2，8=2,8的因数个数刚好是3+1=4。
5
用同样的方法计算243的因数个数243=35，因数的个数为：
5+1=6个。
、求72的因数有多少
32
因为72=8×9=2×3,
所以72的因数有（3+1）×（2+1）=4×3=12个
练习：
1、144的全部因数有多少个？
4500共有多少个因数？
2、筐里共有96个苹果，如果不一次拿出，也不一个个地拿，要求每次拿出的个
数同样多，拿完时又正好不多不少。
共有多少种不同的拿法？
3、自然数9的因数有1、3、9三个，自然数16的因数有1、2、4、8、16五个，那么，9×16的因数共有多少个？
4、已知自然数A只有两个因数，那么5A有多少个因数？
5、有八个不同因数的自然数中，最小的一个数是多少？
6、自然数A的所有因数两两求和，又得到若干个自然数，在这些自然数中，最小的是4，最大的是900，那么数A是多少？
7、求不大于200的只有15个因数的所有自然数？
8、在所有含九个因数的自然数中，最小的一个是多少？
9、在100至300之间，只有三个因数的数是多少？
10、写出从360到630的自然数中有奇数个因数的数
11、恰好有6个因数的两位数共有多少个？
12、有一个小于2000的四位数，它恰有14个因数，其中有一个质数的末位数是
1，求此四位数？
13、求不大于100的只有八个因数的一切自然数的和是多少？
14、A、B两数都只含有质因数3和5，它们的最大公因数是75，已知A数有12个因数，B数有10个因数，那么，A、B两数的和等于多少？
15、在12345678987654321的所有因数中，除去它本身外，因数最大是多少？
16、写出三个小于20的自然数，它们的最大公因数是1，但两两均不互质，共可以写出几组？
17、144的全部因数之和是多少？
360的全部因数之和是多少？
18、右图中一共有多少个长方形（含正方形）？
所有长方形（含正方形）的面积和是多少？
（单位：
厘米）
第十五届华杯赛初赛试题）恰有20个因子的最小自然数是
（A）120（B）240（C）360（D）432
第三讲同余问题
知识概要：
1.同余的表达式和特殊符号
37和44同除以7，余数都是2，把除数7称作“模7”，37、44对于模7同余。
记作：
（mod7）“”读作同余。
一般地，两个整数a和b，除以大于1的自然数m所得的余数相同，就称a、b对于模m同余，记作：
2.同余的性质
（1）（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。
）
（2）若，那么（这称作同余的对称性）
（3）若，，则（这称为同余的传递性）
（4）若，，则（）（这称为同
余的可加性、可减性）
（称为同余的可乘性）
（5）若，则，n为正整数。
（6）如果，那么的差一定能被k整除同余问题解题口诀：
“差同减差，和同加和，余同取余”
1、差同减差：
用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的差相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，减去这个相同的差数。
例：
“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，因为4-1=5-2=6-3=3，所以取减3，表示为60n-3。
2、和同加和：
用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的和相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的和数。
例：
“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，因为4+3=5+2=6+1=7，所以取+7，表示为60n+7。
3、余同取余：
用一个数除以几个不同的数，得到的余数相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的余数。
例：
“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，因为余数都是1，所以取+1，表示为60n+1。
【例题一】
例1.用412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？
例2.除以19，余数是几？
例3.有一个1997位数，它的每个数位都是2，这个数除以13，商的
第100位是几？
最后余数是几？
练习】
1.求下列算式中的余数。
（1）
2）
2.6254与37的积除以7，余数是几？
3.如果某数除482，992，1094都余74，这个数是几？
【例题二】
例1.一个自然数除以3余2，除以5余3，除以7余1，这个自然数最小是几？
例2.在求51173526被7除的余数时，小明这样做：
所以余数是5
刘老师说，小明的算法不仅正确，而且巧妙迅速，你知道其中的道理吗？
例3.除以3的余数是几？
为什么？
【综合练习】
1.
（1）今天是星期日，再过天又是星期几？
2）求除以3所得的余数
2.某数除680，970和1521，余数相同，这个数最大是几？
3.有一列数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是7，从第三个数开始，每个数恰好是前两个数的和，那么，第1997个数被3除，余数是几？
4.若将一批货物共千克装入纸箱，每箱装10千克，最后余多少千克？
5.
（1）1309被一个质数除，余数是21，求这个质数；
2）1796被一个质数相除，余数是24，求这个质数
6.
（1）求2001×2000除以7的余数。
（2）求123×345+234×456除以11的余数。
7、
（1）两个自然数相除，商15，余3，被除数、除数、商、余数的和是853，求被除数。
2）两数相除商40余7，被除数、除数、余数和商的和是710，求被除数。
华杯赛小高组
8、
（1）有一个数除以3余1，除以4余2，问这个数除以12，余数是几？
（2）一个数除以5余1，除以6余3，除以7余4，这个数最小是几？
9、
（1）当2002和1781除以某一个自然数，余数分别是2和1，那么这个数最大是多少？
（2）有一个数用它去除100，余数是1，用它去除50，余数是6，求这个数。
（3）有一个整数，用它去除45，53，143得到的3个余数的和是20，这个数是多少？
10、写出除以8所得的商和余数（不为0）相同的所有的数。
11、
（1）3867×4253＝1644□35，1求□里的数。
2）4937×6845＝3379□765，求□里的数。
数的整除特征：
1能被2整除的数的特征：
个位数字是0、2、4、6、8的整数.
2能被5整除的数的特征：
个位是0或5。
3能被3（或9）整除的数的特征：
各个数位数字之和能被3（或9）整除。
4能被4（或25）整除的数的特征：
末两位数能被4（或25）整除。
5能被8（或125）整除的数的特征：
末三位数能被8（或125）整除。
6能被11整除的数的特征：
这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上
7能被7（11或13）整除的数的特征：
一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。
课后练习：
1、有一个数加上22的和被9除余3，这个数加上35的和被9被余几？
2、把几十个苹果平均分成若干份，每份9个余8个，每份8个余7个每份4个余3个。
这堆苹果共有多少个？
3、五年级两个班的学生一起排队出操，如果8人排一行，多出一个人；如果11
人排一行，同样多出一个人。
这两个班最小共有多少人？
4、求被4除余2，被6除余2，被9除余5的两位数。
5、小红收数学学习小组买奥数练习本的钱，她只记下四组各交的钱，第一组6.3元，第二组7.7元，第三组6.3元，第四组9.1元，又知道每本练习本价格都超过1角，求数学学习小组共有多少人？
竞赛题精选
1、若2836，4582，5164，6522四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为（）。
2、一个自然数除以3余2，除以5余2，除以7余5，除以9余5，除以11余4，则满足这些条件的最小自然数是（）。
3、某数除以11余8，除以13余10，除以17余12，那么这个数的最小可能值是（）。
4、在一道有余数的除法算式中，被除数、除数，商和余数的和是599，已知商
是15，余数是12，请问，题目中的除数是多少？
第四讲计数原理
加法原理：
完成一件工作共有N类方法。
在第一类方法中有m1种不同的方法，在第二类方法中有m2种不同的方法，⋯⋯，在第N类方法中有mn种不同的方法，那么完成这件工作共有N＝m1＋m2＋m3＋⋯＋mn种不同方法。
运用加法原理计数，关键在于合理分类，不重不漏。
要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同（即分类
不重）；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类（即分类不漏）。
合理分类也是运用加法原理解决问题的难点，不同的问题，分类的标准往往不同，需要积累一定的解题经验。
乘法原理：
完成一件工作共需N个步骤：
完成第一个步骤有m1种方法，完成第二个步骤有m2种方法，⋯，完成第N个步骤有mn种方法，那么，完成这件工作共有m1×m2×⋯×mn种方法。
运用乘法原理计数，关键在于合理分步。
完成这件工作的N个步骤，各个步骤之间是相互联系的，任何一步的一种方法都不能完成此工作，必须连续完成这N步才能完成此工作；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此工作的方法也不同。
例1、用1角、2角和5角的三种人民币（每种的张数没有限制）组成1元钱，
有多少种方法？
例2、各数位的数字之和是24的三位数共有多少个？
练习
（1）一把钥匙只能开一把锁，现在有10把钥匙和10把锁全部都搞乱了，最多要试验多少次才能全部配好锁和相应的钥匙？
（2）某人到食堂去买饭菜，食堂里有4种荤菜，3种蔬菜，2种汤。
他要各买一样，共有多少种不同的买法？
例3、用数字0，3，8，9能组成多少个数字不重复的三位数？
练习
右图中共有16个方格，要把A、B、C、D四个不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出现一个棋子，问共有多少种不同的放法？
例5、如下图，一只小甲虫要从A点出发沿着线段爬到B点，要求任何点和线段不可重复经过，问这只甲虫有多少种不同的走法？
练习
（1）从5幅国画，3幅油画，2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室，问有几种不同的选法？
2）如下图，要从A点沿线段走到B点，要求每一步都是向右、向上或向斜上方，问有多少种不同的走法？
（3）如下图，用红、绿、蓝、黄四种颜色涂编号为1，2，3，4的长方形，使任
何相邻的两个长方形的颜色都不同。
一共有多少种不同的涂法？
（4）有两个相同的正方体，每个正方体的6个面上分别标有数字1，2，3，4，
5，6。
将两个正方体放在桌面上，向上的一面数字之和为偶数的有多少种情形？
（5）某市电话号码从7位升至8位。
由于特殊需要，电信部门一直有这样的规定：
普通市内电话号码的首位数字不使用0，1，9。
升位前南京市普通电话号码的容量为多少门？
升位后，南京市内电话号码的容量增加了多少门？
第五讲抽屉原理
桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面至少放两个苹果。
这一现象就是我们所说的“抽屉原理”。
抽屉原理的一般含义为：
“如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n+1个元素放到n个集合中去，其中必定至少有一个集合里有两个元素。
”抽屉原理有时也被称为鸽巢原理。
课堂例练：
1、长江小区有367名儿童在2000年出生的，至少有两人在同一天过生日，这是因为把（）当作抽屉，有（）个，把（）当作元素，有（）个。
2、盒子里有红、白两种颜色的贺卡若干张，现在有4个小朋友每人从盒子里任取两张，则必须有两个小朋友取出两张颜色完全相同的贺卡，其中抽屉数为（）个，元素（）个。
3、现在37个苹果，至少有（）个篮子，才能保证每个篮子的苹果数不超过11个
）人同一天过生
4、太平小学有369名小朋友，在这些小朋友中，至少有（日，至少有（）个小朋友不单独过生日。
5、一个盒子里有10个红球、8个蓝球、6个绿球、4个白球，如果闭上眼睛，从盒子中摸球，每次只许摸一个球，至少要摸出（）个，才能保证摸出的这几个球中至少有两个颜色相同。
6、纸盒里大小完全相同的小球若干，其中红球20个，蓝球15个，绿球2个，
白球8个，一次至少取（）个能保证有4个相同颜色的。
7、红星小学四年级
（1）班有54个同学，至少有几人在同一星期内过生日？
8、参加数学竞赛的有210名同学，能否保证有18名或18名以上的同学在一个月出生，为什么？
9、盒子里放着红色、黄色、蓝色、白色、黑色五种手套各6只，如果闭上眼睛，让你在盒子中拿手套，至少拿多少只能可以保证拿到一副颜色相同的手套？
10、在1米长的线段上任意点六个点，请证明，这六个点中至少有两个点的距离不大于20厘米。
11、口袋中有16个白球，4个黄球，6个黑球。
请你闭上眼睛从口袋中摸球，至少取出多少个球，才能保证取出的球有黄球？
12、袋子里有红、黄、黑、白袜子各10双，要想闭上眼睛摸出颜色相同的4双袜子，至少要摸出几双袜子，才能保证达到目的？
13、公交集团有51辆客车，各种座位数不同，最少的有18座，最多的有60座，那么在这些客车中，至少有几辆的座位数是相同的？
14、某袋内装有70只球，其中20只是红球，20只是绿球20只是黄球，其余是黑球和白球，为确保取出的球中至少包含有10只同颜色的球，问：
最少必须从袋中取出几只球？
15、从1、2、3、⋯⋯、2004这些自然数中，最多可以取出多少个数，使得每两个数的差不等于4？
课后作业：
1、一个正方体，给它的每个面涂上蓝色，黄色、红色，则至少有两个面颜色相同，其中把（）当成抽屉，有（）个，把（）当作元素，有（）个。
2、有31个小朋友同在9月份出生，至少有（）个小朋友同一天出生。
3、61人当中，至少有（）个人属相相同。
4、彩笔盒中有60支彩色铅笔，每15支是同一颜色，为了保证一次取出3只颜色相同的彩笔，至少取出（）支。
5、期中考试，五年级一班的数学成绩最低分89分，最高分98分，32名同学的成绩从89分到98分，各分数均有，在这些同学中，至少有（）名同学的
数学成绩是相同的。
第六讲几何问题
一、容斥法
例1下图的两个正方形,边长分别为8厘米和4厘米,那么阴影部分的面积是平方厘米.
二、等量代换法
例2如图，已知三角形ABC的面积为56平方厘米，是平行四边形DEFC的2倍。
求阴影部分的面积。
三、转化法例3如图，四边形ABCD为长方形，BC=15厘米，CD=8厘米，三角形AFB的面积比三角形DEF的面积大30平方厘米，求DE的长
三、假设法
例3图中长方形的面积为35平方厘米，左边直角三角形的面积为5平方厘米，右上角三角形的面积为7平方厘米，那么中间三角形（阴影部分）的面积是
平方厘米。
四、参数法（比）
例4将图（a）中的三角形纸片沿着虚线折叠，折叠后对的图形面积（图b）与原三角形的面积比为2∶3，已知图（b）中三个画阴影的三角形面积之和为1，那么重叠部分的面积为。
练习
1、在ABC中,BD2DC,AEBE,已知ABC的面积是18平方厘米,则四边形AEDC的面积等于平方厘米.
2、下图是由9个等边三角形拼成的六边形，已知中间最小的等边三角形的边长是1，问：
这个六边形的周长是多少?
3、如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AC、BC的三等分点，且平行
4、右图中，AC=4AD，三角形CDE的面积是三角形ABC的一半。
问：
BE的长是BC
的几分之几?
5、下图是边长为4厘米的正方形,AE=5厘米、
第七讲最大公约数和最小公倍数
性质1：
如果a、b两数的最大公约数为d，则a=md,b=nd,并且（m,n）=1例如：
（24,54）=6,24=4×6,54=9×6，（4,9）=1。
性质2：
两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积。
a×b=[a,b]×（a,b）。
巩固练习
1.将72和120的乘积写成它们的最大公约数和最最小公倍数的乘积的形式。
2.现在有香蕉42千克，苹果112千克，桔子70千克，平均分给幼儿园的几个班，每班分到的这三种水果的数量分别相等，那么最多分给了多少个班？
每个班至少分到了三种水果各多少千克？
4、拖拉机前轮周长64厘米，后轮周长96厘米，拖拉机开动后，前轮至少转多少圈，才能使前、后轮同时着地的两点重新同时着地？
5、两个自然数的最大公约数是12，最小公倍数是72。
满足条件的自然数有哪几组？
6．已知两个自然数的和为42，它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为432，求这两个自然数。
7、五年一班去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每船坐6个，如果
减少一条船，正好每船坐9人，这个班有多少人？
84，求B。
8、已知A与B的最大公约数为6，最小公倍数为
10、有一队同学去野炊，吃饭时，他们两人一个饭碗，三个人一个菜碗，四个人
一个汤碗，一共用了91个碗。
参加野炊的至少有多少同学？
11、一块长方形地面，长120米，宽42米，要在它的四周和四角种树，每两棵之间的距离相等，最少要种树苗多少棵？
每相邻两棵之间的距离是多少米？
12、
（1）A、B两数的乘积是216，它们的最小公倍数是36。
A、B两数的最大公因数是多少？
（2）甲乙两数的最小公倍数是288，最大公因数是4，甲数是36，乙数是多少？
第八讲行程问题
在人们的生活中离不开“行”，“行”中有三个重要的量：
路程、速度、时间。
研究这三个量的典型应用题叫做行程问题。
这三个量之间的关系可以用下面的公式来表示：
路程=速度×时间
速度=路程÷时间
时间=路程÷速度相遇问题和追及
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