七年级数学竞赛辅导材料上.docx
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七年级数学竞赛辅导材料上
七年级数学竞赛辅导材料（上）
数的整除
（一）
一、内容提要：
如果整数A除以整数B（B≠0）所得的商A/B是整数，那么叫做A被B整除。
0能被所有非零的整数整除。
一些数的整除特征
除数
能被整除的数的特征
2或5
末位数能被2或5整除
4或25
末两位数能被4或25整除
8或125
末三位数能被8或125整除
3（或9）
各位上的数字和被3（或9）整除（如771能被3整除，54324能被9整除）
11
奇数位上的数字和与偶数位上的数字和相减，其差能被11整除（如143，1859，1287，908270等）
7，11，13
从右向左每三位为一段，奇数段的各数和与偶数段的各数和相减，其差能被7或11或13整除（如1001，22743，17567，21281等）
能被7整除的数的另一特征：
①抹去个位数；②减去原个位数的2倍；③其差能被7整除。
如：
1001，100－2＝98（能被7整除）；又如：
7007，700－14＝686，68－12＝56（能被7整除）
能被11整除的数的又一特征：
①抹去个位数；②减去原个位数；③其差能被11整除。
如：
1001，100－1＝99（能11整除）；又如：
10285 1028－5＝1023，102－3＝99（能11整除）。
二、例题：
例1已知两个三位数
和
的和仍是三位数
且能被9整除。
求x，y的值。
解：
x、y都是0到9的整数，∵
能被9整除，∴y=6，∵328＋
＝567，∴x=3。
例2己知五位数
能被12整除，求X。
解：
∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除，
当1＋2＋3＋4＋X能被3整除时，x=2，5，8；当末两位
能被4整除时，X＝0，4，8。
∴X＝8。
★例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数。
解：
五位数字都不相同的最小五位数是10234，但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行。
调整末两位数为30，41，52，63，均可，
∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。
三、练习题：
1分解质因数（写成质因数为底的幂的连乘积）：
①924 ②1859 ③1287 ④3276 ⑤10101 ⑥10296
2若四位数
能被3整除，那么a=_______________。
3若五位数
能被11整除，那么 X＝__________。
4当 m=_________时，
能被25整除。
5当n=__________时，
能被7整除。
6能被11整除的最小五位数是________，最大五位数是_________。
7能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最小四位数是_________。
88个数：
①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：
6________，8__________，9_________，11__________。
9从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个，能被3整除但不是5的倍数的共______个。
10由1，2，3，4，5这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被3整除的数共有几个？
为什么？
11己知五位数
能被15整除，试求A的值。
12求能被9整除且各位数字都不相同的最小五位数。
13在十进制中，各位数码是0或1，并能被225整除的最小正整数是＿＿＿＿（1989年全国初中联赛题）。
【数的整除
（一）】练习题参考答案：
序号
1①
1②
1③
1④
1⑤
答案
3×4×7×11
11×132
32×11×13
22×32×7×13
3×7×13×37
序号
1⑥
2
3
4
5
答案
23×32×11×13
0或3或6或9
0
2或7
3
序号
6
7
8
9
答案
10010，99990
9996，9992
6：
②/8：
⑥⑦/9：
②④/11：
⑦⑧
16，27
序号
10
11
12
13
答案
没有一个
、A＝5
10269
11111111100
初一（上）数学竞赛辅导资料
（2）
倍数 约数
一、内容提要：
1、两个整数A和B（B≠0），如果B能整除A（记作B｜A），那么A叫做B的倍数，B叫做A的约数。
例如3｜15，15是3的倍数，3是15的约数。
2、因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除。
0是任何非0整数的倍数，非0整数都是0的约数。
如0是7的倍数，7是0的约数。
3、整数A（A≠0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0、±A、±2A、……都是A的倍数，例如5的倍数有±5、±10、……。
4、整数A（A≠0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括±1和±A。
例如6的约数是±1，±2，±3，±6。
5、通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几个正整数有最小的公倍数和最大的公约数。
6、公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）。
7、在有余数的除法中，被除数＝除数×商数＋余数。
若用字母表示可记作：
A＝BQ＋R，当A，B，Q，R都是整数且B≠0时，A－R能被B整除。
例如23＝3×7＋2，则23－2能被3整除。
二、例题：
例1写出下列各正整数的正约数，并统计其个数，从中总结出规律加以应用：
2，22，23，24，3，32，33，34，2×3，22×3，22×32 。
解：
列表如下：
正整数
正约数
个数计
正整数
正约数
个数计
正整数
正约数
个数计
2
1、2
2
3
1、3
2
2×3
1、2、3、6
4
22
1、2、4
3
32
1、3、32
3
22×3
1、2、3、
4、6、12
6
23
1、2、4、8
4
33
1、3、
32、33
4
22×32
1、2、3、
4、6、9、
12、18、36
9
24
1、2、4、
8、16
5
34
1、3、32、
33、34
5
其规律是：
设A＝ambn （a、b是质数，m、n是正整数），那么合数A的正约数的个是（m+1）（n+1）
例如：
求360的正约数的个数。
解：
分解质因数：
360＝23×32×5，360的正约数的个数是（3＋1）×（2＋1）×（1＋1）＝24（个）
例2用分解质因数的方法求24，90最大公约数和最小公倍数。
解：
∵24＝23×3，90＝2×32×5
∴最大公约数是2×3，记作（24，90）＝6
最小公倍数是23×32×5＝360，记作[24，90]=360。
例3己知32，44除以正整数N有相同的余数2，求N。
解：
∵32－2，44－2都能被N整除，∴N是30，42的公约数。
∵（30，42）＝6，而6的正约数有1，2，3，6，经检验1和2不合题意，∴N＝6，3。
例4一个数被10余9，被9除余8，被8除余7，求适合条件的最小正整数。
分析：
依题意如果所求的数加上1，则能同时被10，9，8整除，所以所求的数是10，9，8的最小公倍数减去1。
解：
∵[10，9，8]=360，∴所以所求的数是359。
三、练习题：
1、12的正约数有_________，18的所有约数是_________________。
2、分解质因数300＝_________，300的正约数的个数是_________。
3、用分解质因数的方法求20和250的最大公约数与最小公倍数。
4、一个三位数能被7，9，11整除，这个三位数是_________。
5、能同时被3，5，11整除的最小四位数是_______；最大三位数是________。
6、己知14和23各除以正整数A有相同的余数2，则A＝________。
7、写出能被2整除，且有约数5，又是3的倍数的所有两位数。
答________。
8、一个长方形的房间长1.35丈，宽1.05丈要用同一规格的正方形瓷砖铺满，问正方形最大边长可以是几寸？
若用整数寸作为边长，有哪几种规格的正方形瓷砖适合？
9、一条长阶梯，如果每步跨2阶，那么最后剩1阶，如果每步跨3阶，那么最后剩2阶，如果每步跨4阶，那么最后剩3阶，如果每步跨5阶，那么最后剩4阶，如果每步跨6阶，那么最后剩5阶，只有每步跨7阶，才能正好走完不剩一阶，这阶梯最少有几阶？
【倍数、约数】练习题参考答案：
序号
倍数、约数参考答案
序号
倍数、约数参考答案
1
1、2、3、4、6、12；±1、±2、±3、±6、±9、±18
2
22×3×52； 18
3
2×5； 22×53
4
693
5
［3，5，11］＝165，1155；990
6
A＝3（即求14－2与23－2的公约数）
7
30、60、90
8
（135，105）＝15，正约数有1，3，5，15
9
119［2，3，4，5，6］＝60，60×2－1＝119
初一（上）数学竞赛辅导资料（3）
质数、合数
1
质数
合数
一、内容提要：
1、正整数的一种分类：
质数的定义：
如果一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（质数也称素数）。
合数的定义：
一个正整数除了能被1和它本身整除外，还能被其他的正整数整除，这样的正整数叫做合数。
2、根椐质数定义可知：
Ⅰ、质数只有1和本身两个正约数；Ⅱ、质数中只有一个偶数2，如果两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是2，如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是2。
3、任何合数都可以分解为几个质数的积。
能写成几个质数的积的正整数就是合数。
二、例题：
例1两个质数的和等于奇数a（a≥5）。
求这两个数。
解：
∵两个质数的和等于奇数，∴必有一个是2
所求的两个质数是2和a－2。
例2己知两个整数的积等于质数m，求这两个数。
解：
∵质数m只含两个正约数1和m，又∵（－1）（－m）=m
∴所求的两个整数是1和m或者－1和－m.。
例3己知三个质数a，b，c它们的积等于30，求适合条件的a，b，c的值。
解：
分解质因数：
30＝2×3×5
适合条件的值共有：
应注意上述六组值的书写排列顺序，本题如果改为4个质数a，b，c，d它们的积等于210，即abcd=2×3×5×7那么适合条件的a，b，c，d值共有24组，试把它写出来。
★★例4试写出4个连续正整数，使它们个个都是合数。
解：
（本题答案不是唯一的）
设N是不大于5的所有质数的积，即N＝2×3×5，那么N＋2，N＋3，N＋4，N＋5就是适合条件的四个合数，即32，33，34，35就是所求的一组数。
本题可推广到n个。
令N等于不大于n+1的所有质数的积，那么N＋2，N＋3，N＋4，……N＋（n+1）就是所求的合数。
三、练习题：
1、小于100的质数共___个，它们是__________________________________。
2、己知质数P与奇数Q的和是11，则P＝，Q＝。
3、己知两个素数的差是41，那么它们分别是。
4、如果两个自然数的积等于19，那么这两个数是。
如果两个整数的积等于73，那么它们是。
如果两个质数的积等于15，则它们是。
5、两个质数x和y，己知 xy=91，那么x=，y=，或x=，y=。
6、三个质数a，b，c它们的积等于1990，那么
7、能整除311＋513的最小质数是。
8、己知两个质数A和B适合等式A＋B＝99，AB＝M。
求M及
＋
的值
9、试写出6个连续正整数，使它们个个都是合数。
10、具备什么条件的最简正分数可化为有限小数？
11、求适合下列三个条件的最小整数：
1大于1 ②没有小于10的质因数 ③不是质数
12、某质数加上6或减去6都仍是质数，且这三个质数均在30到50之间，那么这个质数是。
13、一个质数加上10或14减去这个质数都仍是质数，这个质数是。
质数、合数练习参考答案：
1
25
2
2，9
3
43 、2
4
1、19；1、73或－1、－73；3、5
5
13、7或7、13
6
1900＝2×5×199 有6组
7
2
8
1949413/194
9
令N＝2×3×5×7＝210，则N＋2，N＋3，…
10
分母只含2和5的质因数
11
11×11
12
37
13
3
初一（上）数学竞赛辅导资料（4）
零的特性
一、内容提要
（一）、零既不是正数也不是负数，是介于正数和负数之间的唯一中性数。
零是自然数、是整数、是偶数。
1、零是表示具有相反意义的量的基准数。
例如：
海拔0米的地方表示它与基准的海平面一样高；收支平衡可记作结存0元。
2、零是判定正、负数的界限。
若a＞0，则a是正数；反过来也成立，若a是正数，则a＞0。
记作：
a>0
a是正数 读作a＞0等价于a是正数；
b<0
b是负数；
c≥0
c是非负数（即c不是负数，而是正数或0）；
d
0
d是非正数（即d不是正数，而是负数或0）；
e
0
e不是0
（即e不是0，而是负数或正数）。
3、在一切非负数中有一个最小值是0。
例如：
绝对值、平方数都是非负数，它们的最小值都是0。
记作：
|a|≥0，当a=0时，｜a｜的值最小，是0；
a2≥0，a2有最小值0（当a=0时）。
4、在一切非正数中有一个最大值是0。
例如 －|X|≤0，当X＝0时，－|X|值最大，是0（∵X≠0时都是负数）；
－（X－2）2
0，当X＝2时，－（X－2）2的值最大，是0。
（二）、零具有独特的运算性质：
1、乘方：
零的正整数次幂都是零。
2、除法：
零除以任何不等于零的数都得零；零不能作除数。
从而推出：
0没有倒数、分数的分母不能是0。
3、乘法：
零乘以任何数都得零。
即a×0＝0，
反过来：
如果 ab=0，那么a、b中至少有一个是0。
要使等式xy=0成立，必须且只需x=0或y=0。
4、加法：
互为相反数的两个数相加得零；反过来也成立。
即a、b互为相反数
a+b=0
5、减法：
两个数a和b的大小关系可以用它们的差的正负来判定。
若a－b=0，则a=b;； 若a－b＞0，则a＞b； 若a－b＜0，则a＜b。
反过来也成立，当
a=b时，a－b=0；当a>b时，a－b>0；当a（三）、在近似数中，当0作为有效数字时，它表示不同的精确度。
例如 近似数1.6米与1.60米不同，前者表示精确到0.1米（即1分米），误差不超过5厘米；后者表示精确到0.01米（即1厘米），误差不超过5毫米。
可用不等式表示其值范围如下：
1.55
近似数1.6<1.65 1.595≤近似数1.60<1.605
二、例题
例1两个数相除，什么情况下商是1？
是－1？
答：
两个数相等且不是0时，相除商是1；两数互为相反数且不是0时，相除商是－1。
例2绝对值小于3的数有几个？
它们的和是多少？
为什么？
答：
绝对值小于3的数有无数多个，它们的和是0。
因为绝对值小于3的数包括大于－3并且小于3的所有数，它们都以互为相反数成对出现，而互为相反数的两个数相加得零。
例3要使下列等式成立X、Y应取什么值？
为什么？
①X（Y－1）＝0， ② ｜X－3｜＋（Y＋2）2＝0
答：
①根据任何数乘以0都得0，可知当X＝0时，Y可取任何数；
当Y＝1时，X取任何数等式X（Y－1）＝0都是能成立。
②∵互为相反数相加得零，而｜X－3｜≥0，（Y＋2）2≥0
，
∴它们都必须是0，即X－3＝0且Y＋2＝0，
故当X＝3且Y＝－2时，等式｜X｜＋（Y＋2）2 ＝0成立。
三、练习题：
1、有理数a和b的大小如数轴所示：
···
b0a
比较下列左边各数与0的大小（用＞、＜、＝号连接）
2a0， －3b0，
0， －
0， －a20，－b30，
a+b0，a－b0， ab0， （－2b）30，
0，
0
2、a表示有理数，下列四个式子，正确个数是几个？
答：
＿＿个。
｜a|>a， a2>－a2， a>－a， a+1>a
3、x表示一切有理数，下面四句话中正确的共几句？
答：
＿＿句。
①（x－2）2有最小值0， ③ －｜x+3|有最大值0，
22－x2有最大值2， ④ 3＋｜x－1｜有最小3。
4、绝对值小于5的有理数有几个？
它们的积等于多少？
为什么？
5、要使下列等式成立，字母X、Y应取什么值？
①
＝0； ②X（X－3）＝0； ③｜X－1｜＋（Y＋3）2＝0。
6、下列说法正确吗？
为什么？
① a的倒数是
； ②方程（a－1）X＝3的解是X＝
；
3n表示一切自然数，2n－1表示所有的正奇数；
4如果a>b，那么m2a>m2b（a、b、m都是有理数）。
7、X取什么值时，下列代数式的值是正数？
① X（X－1）； ② X（X＋1）（X＋2）。
【零的特性】练习题参考答案：
序号
零的特性参考答案
序号
零的特性参考答案
2
一
3
4
4
无数多个，0
5
①x≠0②0或3③X=0且y＝5
6
都不正确，0没有倒数
7
①x>1或x<0②-20
初一（上）数学竞赛辅导资料（5）
an的个位数
一、内容提要:
1、整数a的正整数次幂an，它的个位数字与a的末位数的n次幂的个位数字相同。
例如20023与23的个位数字都是8。
2、末位数为0、1、5、6的任何正整数次幂的个位数字都是它们本身。
例如57的个位数是5，620的个位数是6。
3、末位数为2、3、7的正整数次幂的个位数字的规律见下表：
指 数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
……
底
数
2
2
4
8
6
2
4
8
6
2
4
……
3
3
9
7
1
3
9
7
1
3
9
……
7
7
9
3
1
7
9
3
1
7
9
……
其规律是：
2的正整数次幂的个位数是按2、4、8、6四个数字循环出现，即24k+1与21、24K＋2与22、24K＋3与23、24K＋4与24的个位数是相同的（K是正整数）。
3和7也有类似的性质。
4、末位数为4、8、9的正整数次幂的个位数，可仿照上述方法，也可以用4＝22，8＝23，9＝32转化为以2、3为底的幂。
5、综上所述，整数a的正整数次幂的个位数有如下的一般规律：
a4K＋m与am的个位数相同（k，m都是正整数）。
二、例题：
例1：
20032003的个位数是多少？
解：
20032003与32003的个位数是相同的，
∵2003＝4×500＋3，∴32003与33的个位数是相同的，都是7，
∴2003的个位数是7。
例2：
试说明632000＋1472002的和能被10整除的理由。
解：
∵2000＝4×500，2002＝4×500＋2
∴632000与34的个位数相同都是1，1472002与72的个位数相同都是9，
∴632000＋1472002的和个位数是0，
∴632000＋1472002的和能被10整除。
例3：
K取什么正整数值时，3k＋2k是5的倍数？
解：
列表观察个位数的规律：
K＝
1
2
3
4
……
3的个位数
3
9
7
1
……
2的个位数
2
4
8
6
……
3k＋2k的个位数
5
5
……
从表中可知，当K＝1，3时，3k＋2k的个位数是5，
∵am与a4n+m的个位数相同（m，n都是正整数，a是整数），
∴当K为任何奇数时，3k＋2k是5的倍数。
三、练习题：
1、在括号里填写各幂的个位数（K是正整数）。
220的个位数是；45的个位数是；330的个位数是；
87的个位数是；74K+1的个位数是；311＋79的个位数是；
216×314的个位数是；32k-1＋72k-1的个位数是；72k－32k的个位数是；
74k-1－64k-3的个位数是；7710×3315×2220×5525的个位数是；
2、目前知道的最大素数是2216091－1，它的个位数是。
3、说明如下两个数都能被10整除的理由。
①5353－3333；②19871989－19931991。
4、正整数m取什么值时，3m＋1是10的倍数？
5、设n是正整数，试说明2n＋7n+2能被5整除的理由。
6、若a4的个位数是5，那么整数a的个位数是；
若a4的个位数是1，那么整数a的个位数是；
若a4的个位数是6，那么整数a的个位数是；
若a2k-1的个位数是7，那么整数a的个位数是。
7、12+22+32+……+92的个位数是；12+22+32+……+192的个位数是；
12+22+32+……+292的个位数是。
8、a，b，c是三个连续正整数，a2=14884，c2=15376，那么b2是（ ）
A、15116，B、15129，C、15144，D、15321
an的个位数练习参考答案：
序号
参考答案
序号
参考答案
1
6，4，9，2，7，4，4，0，0，7，0要注意3，7为底的正奇数次幂的和为0，正偶数次幂的差为0
2
7
3
算出个位数的差为零
4
m=2＋4k（k为非负整数）
5
可用列表观察其规律
6
5；1，3或7，9；2，4，6，8；3，7
7
5；0；5
8
B
初一（上）数学竞赛辅导资料（6）
数学符号
一、内容提要：
数学符号是表达数学语言的特殊文字。
每一个符号都有确定的意义，即当我们把它规定为某种意义后，就不再表示其他意义。
数学符号一般可分为：
1、元素符号：
通常用小写字母表示数，用大写字母表示点，用⊙和△表示圆和三角形等。
2、关系符号：
如等号“=”、不等号“≠”、相似“∽”、全等“≌”、平行“∥”、垂直“⊥”等。
3、运算符号：
如加、减、乘、除、乘方、开方、绝对值等。
4、逻辑符号：
略。
5、约定符号和辅助符号：
例如我们约定正整数a和b中，如果a除以b的商的整数部分记作Z（
），而它的余数记作R（
），那么Z（
）＝3，R（
）＝1；又如设
表示不大于x的最大整数，那么
＝5，
＝－6，
＝0，
＝－3。
说明：
正确使用符号的关健是明确它所表示的意义（即定义）；对题设中临时约定的符号，一定要扣紧定义，由简到繁，由浅入深，由具体到抽象，逐步加深理解；在解题过程中为了简明表述，需要临时引用辅助符号时，必须先作出明确的定义，所用符号不要与常规符号混淆。
二、例题：
例1：
设[Z]表示不大于Z的最大整数，〈n〉为正整
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