五年级数学拔高之巧解余数和同余问题.docx

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五年级数学拔高之巧解余数和同余问题

第20讲巧解余数和同余问题

I余数

巧点睛——方法和技巧

（1）被除数=商×除数×余数。

（2）借助约数和倍数的知识。

上面两个性质是解题的关键。

巧指导——例题精讲

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一、借助“整除”来帮忙

【例1】一个两位数除310的余数是37，求这样的两位数。

分析与解根据带余除法和整除意义知，这个两位数一定是310－37=273的约数。

由273=3×7×13知，273的两位数的约数有13，3×7，3×13，7×13，即13，21，39，91。

其中只有39，91除310的余数是37，故所求的两位数是39或91。

答：

这样的两位数是39或91。

做一做1237除以一个两位数所得的余数是6，问：

这丙的两位数是多少？

【例2】一个两位数除以一个一位数，商仍是两位数，余数是8。

那么，被除数、除数、商及余数却是已知的。

可从“位数”角度思考。

分析与解题目中，只有余数8是一个具体的数，被除数、除数及商都是未知数，但它们的位数却是已知的。

可从“位数”角度思考。

因为除数要大于余数，余数是8，而大于8的一位数只有9，所以除数一定是9。

第二步判断商是多少？

最小的两位数是10，由于

9×10＋8=98，9×11＋9=107，

又由于被除数是两位数，所以被除数是98，商是10。

因此，被除数、除数、商及余数之和是

98＋9＋10＋8=125

做一做2两数相除，商是498，余数是3。

那么，被除数、除数、商及余数之和最小是多少？

【例3】两个数相除，商是22，余数是8，被除数、除数、商、余数之各是866。

求这两个数。

分析与解本题应根据带余除法来解。

因被除数=除数×商＋余数。

故被除数＋除数＋商＋余数=除数×商＋余数＋除数＋商＋余数

=除数×（商＋1）＋商＋余数×2

现在，商是22，余数是8，被除数＋除数＋商＋余数=866，

所以，866=除数×（22＋1）＋22＋8×2

于是有

除数=（866－22－8×2）÷（22＋1）=36

被除数=除数×商＋余数=36×22＋8=800。

答：

被除数为800，除数为36。

做一做3两数相除，商4余8，被除数、除数、商、余数之和等于415。

问：

被除数是多少？

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二、借助“周期”巧解题

【例4】伸出你的左手，从大拇指开始按右图所示的那样数数字：

1，2，3，…问：

数到2003时，你数在哪个手指上？

分析与解大拇指是1，食指是2，中指是3，无

名指是4，小指是5；然后往回数，无名指是6，中指

是7，食指是8，拇指是9；再往回数。

按照这个规律一

直数到2003的方法是不取的。

要从中以现规律，比如大拇指开始是1，此后每数过8个数就又回到大拇指。

因此，数在大拇指时的数一定是被8除余1的数，这就为我们找到了一条重要线索。

因为2001=8×250＋1，所以，按分析中找到的规律，可知数到2001时落在大拇指上，接下去数，2002在食指，2003在中指。

答：

数到2003时，2003这个数在中指处。

做一做4将全体非零自然数按下列方式排列，问：

数1000排在哪个字母的下面？

ABCDEFG

1234567

891011121314

15161718192021

22232425262728

29303132333435

36373839…

【例5】把

化为循环小数，问：

小数点后1999个数字是几？

这1999个数字的总和是几？

分析与解解决这个问题最容想到的方法就是列一个大除法算式，在小数点后试除1999次，但这种方法很繁琐，不可取。

实际上，用1除以7在小数点后多除几位，得

=0.142857142857142857…

观察便知其中数字出现的规律：

从小数点后第一位起，依次是1，4，2，8，5，7，然后不断地重复出现，即所谓的循环节，周期是6。

由于1999÷6=333…1，说明循环333次后，下一个数字是第1999年数字，而每个循环的下一个数（同时也就是每个循环的第一个数字）在本题中就是1，所以，所求的数字是1。

不难看出，这1999个数字是1，这1999个数字的总和是8992。

做一做5问：

化成小数后，小数点的右边第1991位上的数字是多少？

这1991个数字的和是多少？

【例6】某数除发11余8，除以13余10，除以17余12，那么这个数的最小值能是多少？

分析与解因为某数加3是11的倍数，也是13的倍数，所以[11，13]－3=140是满足除以11余8，除以13余10的最小自然数。

140再加上[11，13]=143的倍数，这些自然数是140，283，426，569，712，855，998，1141，…其中，998是除以17余12的最小自然数。

答：

这个数的最小值是998。

做一做6一个自然数除以3余2，除以5余4，除以7余5。

求这个自然数能取得的最小值。

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三、综合远用，发散思考

【例7】有一个自然数，用它分别去除63，90，130都有余数，三个余数的和为25，那么这三个余数中最小的数是多少？

分析与解由于涉及三个除式的余数之和，所以应从三个带余除式着手解决本题。

设这个自然数（除数）为m，用m去除63，90，130，商分别为q1，q2，q3，余数分别为r1，r2，r3，就有

63=mq1＋r1,90=mq2＋r2,130=mq3＋r3

因为r1＋r2＋r3=25，所以，r1，r2，r3中最大的一个一定大于25÷3=8.3，即最大的余数≥9，从而除数＞9。

把这三个式子加起来，得283=m（q1＋q2＋q3）＋r1＋r2＋r3

所以258=2×3×43，除数m大于9而小于63，因此m=43。

这时63=43×1＋20，90=43×2＋4，130=43×3＋1。

所以，63，90，130被43除的余数分别为20，4，1。

小结本题由于除数、商与余数都不知道，所以先用带余除式写出它们的关系，然后再根据条件来解。

在解的过程中先对除数的大小作了估计，得出除数必须大于9且小于63，这样就保证了答案是唯一的。

做一做7有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是多少？

巧练习——温故知新（二十）（I）

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1．填空：

（1）顺次写出除以4余2，除以5余3的三个数。

（2）被2，3，5除都余1，且不等于1的最小整数是。

（3）有一队民兵在操场上列队，只知道民兵人数在90至110之间，排成三列列余，排成五列不足2人，排成七列不足4个，则共有民兵有人。

（4）五

（1）班同学上体育课，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6行多5人，那么上体育课的同学最少有

名。

（5）一个教练数田径队的学生，每4个一数，最后剩下2人；每5个一数，最后剩下1人。

田径队女生比男生多，女生有15人，则男生有人。

（6）某会议有代表不到200人，分住房时，每5人一间多3人；吃饭时，每9人一桌少1人；开小组会时，每7个一组多6人，那么到会的代表有人。

（7）一个自然数除以19余9，除以23余7，那么这个自然数最小是。

（8）被4除余1，被5除余2，被6除余3的最小自然数是。

2.1～100中的哪个自然数被3和5除余1,且能被7整除?

3.一个自然数既能被3整除又能被5整除,同时它被7除的余数是4.试求这样的自然数中的最小数。

4．有一个数，除以3余数是2，除以4余数是1。

问：

这个数除以12余数是几？

5．一个自然数被5，6，7除时余数都是1，且在10000以内，问：

这样的数共有多少个？

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6．除107后，余数为2的两位数有哪些？

7．四们数8□98能同时被17和19整除，那么这个四位数所有质因数的和是多少？

8．有一串数1，2，4，7，11，16，22，29，…这串数的组成规律是第2个数比第1个数多1，第3个数比第2个数多2，第4个数比第32上数多3，以此类推。

那么这串数左起第1992个数除以5的余数是多少？

9．222…22除以13所得的余数是多少？

10．某自然数被247除余63，被248除也余63。

问：

这个自然数被26除的余数是多少？

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11．1，2，3，…，29，30这30个自然数中，最多能取出多少个数，使取出的这些数中，任意两个不同的数这种都不是7的倍数？

12．一个自然数被8除余1，所得的商被8除也余1，再把第二次所得的商被8除后余7，最后得到一个商是a[见短除式

（1）]；又知这个自然数被17除余4，所得的商被17除余15，最后得到一个商是a的2倍[见短除式

（2）]。

求这个自然数。

8所求自然数……余117所求自然数……余4

8第一次商……余117第一次商……余1

8第二次商……余7

13．在1995，1998，2000，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组，这样的数组共有组。

14．将12345678910111213…依次写到第1997个数字，组成一个1997位数，那么此数除发9的余数是。

巧总结

本节我的收获是：

不足之处有：

Ⅱ同余

巧点睛——方法和技巧

性质1：

如果整数a，b对于模n同余，地么它们的差（a－b）或（b－a）一定能被n整除。

性质2：

若a≡b（modn）,c≡d（modn）,则（a＋c）≡（b＋d）（modn）。

性质3：

若a≡b（modn）,c≡d（modn）,则a×c≡b×d（modn）。

性质4：

若a≡b（modn）,m为大于1的自然数，则am≡bm（modn）。

巧指导——例题精讲

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一、运用同余的性质解题

【例1】乘积17×354×409×672除以13的余数是多少？

分析与解17，354，409，672除以13的余数分别为4，3，6，9，由性质3知，所求余数等于（4×3×6×9）除以13的余数，等于11。

做一做1求723588＋5770和723588×5770除以11的余数。

二、转化成“整除”问题

【例2】73，216，227被某个数b除的余数相同，那么，108被这个数b除的余数是多少？

分析与解必须先求出除数b。

因为b除73，216，227的余数相同，由题意知，b除73，216，227的余数两两的差就为零。

因而，b就能（同时）整除这些差。

227－216=11，227－73=154=11×14，216－73=143=11×13

故b=11。

答：

108除以b（即11）的余数为8。

做一做2有一个大于1的整数，它除967，1000，2001得到相同的余数，那么这个整数是多少？

三、巧用“周期”解题

【例3】有一列数，第一个数是3，第二个数是10，从第三个数开始，每个数恰好是它前两个数的和。

问：

这列数的第1999个数被3所得的余数是多少？

分析与解由题意知，这列数为

3，10，13，23，36，59，95，154，249，403，652，…被3除后的余数依次为

0，1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，…

由观察知，这些余数是以“0，1，1，2，0，2，2，1，”（8个）为循环节的。

1998÷8=249……7

所以，第1999个数被3除余数是一循环节内的第七个数2，故所求的余数为2。

小结解中的余数列0，1，1，2，0，2，2，1，…可发根据余数的性质求得：

从第三个数起依次是它的前两个数之和除以3的余数，所以，只要知道前两个余数“1，1”，就可以依次得到其他的余数。

做一做3有一串数1，1，2，3，5，8，…从第三个数起，每个数都是它前两个数的和。

问：

在这串数的前1999个数中，有多少个是5的倍数？

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四、综合运用，发散思考

【例4】今天是星期二，问：

再过991999天是星期几？

分析与解99≡1（mod7），所以，991999≡11999（mod7）。

又11999≡1（mod7），所以，991999≡1（mod7）。

因今天若是星期二，则再过7天仍是星期一，

故由991999≡（mod7）得991999除以7的余数是1。

所以，再过991999天是星期三。

小结求大数的余数首先考虑用同余的性质化大为小。

本题先把底数在同余意义下变小，然后从小数入手，找出循环规律，求出结果。

做一做4今天是星期五，问：

再过365364天是星期几？

【例5】6张卡片分别标上1193，11258，1842，1866，1912，2494六个数。

甲取3张，乙取2张，丙取1张，结果现甲手中卡片上的数之和是乙手中卡片上的数之和的2倍，问：

丙手中卡片上的数是多少？

分析与解由甲手中卡片上的数之和是乙手中卡片上的数之和的2倍可知，甲、乙手中卡片上的数之和是3的倍数。

将6张卡片上的数分别除以3，余数依次为2，1，0，0，1，1。

又知甲、乙手中共有5张卡片，余数的后面5个数之和能被3整除，所以丙手中卡片上的数是1193。

答：

丙手中卡片上的数是1193。

做一做58个盒子，各盒内分别装有9，7，24，28，30，31，33，44块奶糖。

甲先取走了一盒，其余各盒被乙、丙、丁三人取走。

已知乙、丙取到的糖的块数相同，且为丁的2倍，问：

甲取走的盒子中有多少块奶糖？

【例6】求33335555＋55553333被7除的余数。

分析与解根据同余的性质可解。

因为3333除以7余1，所以，33335555≡11115555（mod7）；又因为5555除以7余4，所以，55553333≡44443333（mod7）。

又因为1的任何次方都是1，所以，33335555（mod7）。

44443333除以7的余数是按4，2，1循环出现的，3333÷3=1111，55553333≡43（mod7），43333≡1（mod7），即55553333≡1（mod7）。

所以求33335555＋55553333被7除的余数=1＋1=2。

答：

33335555＋55553333被7除的余数是2。

小结这道题巧用同余的性质收到了化繁为简的效果。

做一做6求1999232＋3231999被7除的余数。

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【例7】12＋22＋32＋…＋20012＋20022除以7的余数是多少？

分析与解因为12，22，32，42，…除以7的余数分别为1，4，2，2，4，1，0，1，4，2，2，4，1，0，…即7个数一循环，而1＋4＋2＋2＋4＋1＋0=14除以7余0，所以：

12＋22＋…＋72除以7余0；

82＋92＋…＋142除以7余0；

…

因为2002÷7=286，所以12＋22＋…＋20022除以7余0。

做一做711＋22＋33＋44＋55＋66＋77＋88＋99除以3的余数是几？

为什么？

巧练习——温故知新（二十）（Ⅱ）

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1．求乘积34×37×41×43除以13所得的余数。

2．21994被7除余几？

3．今天是星期五，再过365364天是星期几？

4．求6666…6除以7所得的余数。

5．19971994÷7的余数是多少？

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6．设N=199319941995，求N的个位数字。

7．有一列数1，2，4，7，11，16，22，29，…这列数的组成规律是第2个数比第1个数多1，第3个数比第2个数多2，第4个数比第3个数多3，以此类推。

那么这列数左起第1999个数除发5的余数是多少？

8．两个自然数都不被3整除，它们的和也不能被3整除且小于600。

如果这两个数的差为三位数□84，那么□内的数字应该是几？

9．某年的10月有五个星期六、四个星期日，问：

这一年的10月1日是星期几？

10．有一种挂历上印有月、日、星期，为节约起见，可将此挂历留作日后使用。

问：

公园1998年的挂历，最早可在哪一年再次使用（公元20000年是闰年）？

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11．99…99除以74的余数是几？

12．设A是一个有35位循环节的循环小数，A=0.a1a2a3a4…把A的所有奇数位划去，得到一个新无限小数：

A1=0.a2a4a6a8…如此继续下去。

问：

能否经过去若干次划去，仍得到原来的循环小数？

13．如图，将图中20长扑克牌分成10对，每对红心和黑桃各一张。

问：

你能分出几对这样的牌，两张牌上的数的乘积除以10的余数是1？

（将A看成1）

14．你能用写有数字的卡片2，3，4，5，6，7，8，9排成两个自然数，使得其中一个数是另一个数的2倍吗？

如果能，请排出一例；如果不能，请说明理由。

巧总结

本节我的收获是：

不足之处有：