段内码：
x-512Δ=123Δ，Δ7=32Δ，x处于段内第四个量化间隔，C5C6C7C8=0011；
即编码器输出码组为11100011，对应的量化电平为512Δ+3×32Δ=608Δ。
∴可能存在的量化误差为635Δ-608Δ=27Δ>Δk/2=32Δ/2=16Δ
∵量化误差一定不超过量化间隔Δk的一半，最大可能的量化误差为量化间隔的一半Δk/2=16Δ。
∴为了使编码造成的量化误差小于量化间隔Δk的一半，在解码时必须进行补偿，即必须加上该层量化间隔的一半。
∴译码器输出=512Δ+3×32Δ+32Δ/2=+624Δ；
实际上，量化误差=635Δ-624Δ=11Δ，而不应该是27Δ。
（2）该7位码对应的量化电平为+608Δ，采用除2取余法，可求出其对应的均匀量化11位码为：
C1C2C3C4C5C6C7C8C9C10C11=010********（不包括极性）。
7-13：
对10路带宽均为300~3400Hz的模拟信号进行PCM时分复用传输。
抽样速率为8kHz，抽样后进行8级量化，并编为自然二进制码，码元波形是宽度τ的矩形脉冲，且占空比为1。
试求传输此时分复用PCM信号所需的奈奎斯特基带带宽。
解：
∵抽样速率为fs=8kHz，∴抽样间隔Ts=1/fs=1/8000s，对10信号进行PCM时分复用传输，每路信号占用时间T=Ts/10=1/80000s。
抽样后进行8级量化，并编为自然二进制码，∴需要3位二进制编码，每位编码占用时间Tb=T/3=1/240000s。
∵码元波形是宽度τ的矩形脉冲，且占空比为1，
∴码元波形宽度τ=Tb=1/240000s，传输此时分复用PCM信号所需的奈奎斯特基带带宽B=1/2τ=120KHz。
7-14：
单路话音信号的最高频率为4kHz，抽样速率为8kHz，以PCM方式传输。
设传输信号的波形为矩形脉冲，其宽度为τ，且占空比为1：
（1）抽样后信号按8级量化，求PCM基带信号第一零点频宽；
（2）若抽样后信号按128级量化，PCM二进制基带信号第一零点频宽又为多少？
解：
（1）信息传输速率Rb=8k×㏒28=24kbit/s
第一零点频宽fs=1/=Rb=24kHz
或：
抽样间隔Ts=1/fs=1/8000s，8级量化PCM系统，需要3位二进制编码，每位编码占用时间Tb=Ts/3=1/24000s，∴PCM系统最小带宽B=24KHz。
（2）Rb=8k×㏒2128=56kbit/s
fs=56kHz
或：
抽样间隔Ts=1/fs=1/8000s，128级量化PCM系统，需要7位二进制编码，每位编码占用时间Tb=Ts/7=1/56000s，∴PCM系统最小带宽B=56KHz。
9-15：
若12路话音信号（每路信号的最高频率均为4kHz）进行抽样和时分复用，将所得的脉冲用PCM系统传输，重做上题。
解：
（1）Rb=12×8k×㏒28=288kbit/s
fs=1/=Rb=288kHz
（2）Rb=12×8k×㏒2128=672kbit/s
fs=672kHz
9-16：
已知话音信号的最高频率fm=3400Hz，今用PCM系统传输，要求信号量化信噪比So/Nq不低于30dB。
试求此PCM系统所需的奈奎斯特基带频宽。
解：
由题意知，10lg（So/Nq）=30dB，So/Nq=1000
∵PCM系统量化信噪比So/Nq=22N=1000，∴采用的二进制编码位数N≈5
PCM系统奈奎斯特基带频宽B=Nfm=5×3400Hz=17（kHz）
Rb=2B=2Nfm=2×17kHz=34（kHz）
第十一章P371-373
11-1，11-3，11-7，11-8，11-13
11-1：
设有8个码组：
000000、001110、010101、011011、100011、101101、110110、111000。
试求它们的最小码距。
解：
码距（汉明距离）是2个码组中对应位上数字不同的位数。
可以通过计算2个码组对应位模2的重量获得。
最小码距d0是码组集合中，所有码距的最小值。
∴最小码距dmin=3。
11-3：
已知两码组为（0000）、（1111）。
若该码集合用于检错，能检出几位错码？
若用于纠错，能纠正几位错码？
若同时用于检错与纠错，问各能纠、检几位借码？
解：
∵最小码距dmin=4。
∴有
用于检错时，由dmin≥e+1，得e=3，能检出3位错码；
用于纠错时，由dmin≥2t+1，得t=1，能纠正1位错码；
同时用于检错与纠错时，由dmin≥e+t+1，且e>t，得t=1，e=2，能同时检出2位错码，纠正1位错码。
11-7：
已知（7，3）码的生成矩阵为
G=
列出所有许用码组，并求监督矩阵。
解：
由（7，3）码知道许用码组A为：
A=[a6a5a4a3a2a1a0]=[a6a5a4]·G=[a6a5a4]=M·G
∵信息位k=3，∴存在8种信息码，可计算得到所有许用码组A：
信息位a6a5a4
监督位a3a2a1a0
信息位a6a5a4
监督位a3a2a1a0
000
0000
100
1110
001
1101
101
0011
010
0111
110
1001
011
1010
111
0100
∵生成矩阵G为典型阵，
∴由G=[IkQ]得到：
Q=P=QT=
监督矩阵H=[PIr]=
11-8：
已知（7，4）循环码的全部码组为
00000001000101
00010111001110
00101101010011
00111011011000
01001111100010
01011001101001
01100011110100
01110101111111
试写出该循环码的生成多项式g（x）和生成矩阵G（x），并将G（x）化成典型阵。
解：
n=7，k=4，除全“0”码组外，唯一的一个前k-1=3位全为“0”的码组是0001011，则生成多项式g（x）=x3+x+1（应该为最高幂次最小的码组）。
生成矩阵
G（x）==
G=
进行典型阵计算：
将第一行、第三行、第四行模2加后取代第一行，将第二行、第四行模2加后取代第二行，得典型生成矩阵G为
1000101
0100111
0010110
0001011
G=
或：
取码多项式A（x）=x7+1，则能够分解为
x7+1=（x+1）（x3+x2+1）（x3+x+1）
∴循环码的生成多项式g（x）为（n-k）=3次多项式，它不是唯一的，这样的因子有两个，即
g（x）=x3+x+1或
g（x）=x3+x2+1
选用不同的生成多项式g（x），则产生的循环码的码组也不同，可以验算生成多项式g（x）=x3+x2+1得到的循环码的码组与此题给出的码组不同。
取g（x）=x3+x+1，
则生成矩阵
G（x）==
1011000
0101100
0010110
0001011
1000101
0100111
0010110
0001011
G==
寻找（n,k）循环码生成多项式g（x）的原则有3条：
能整除xn+1，且最高次数为r=n-k，常数项为1。
但生成多项式必成对出现，任一循环码集合只能由一个生成多项式产生。
11-13：
证明：
x10+x8+x5+x4+x2+x+1为（15，5）循环码的生成多项式。
求出该码的生成矩阵，并写出消息码为m（x）=x4+x+1时的码多项式。
证明：
（1）令g（x）=x10+x8+x5+x4+x2+x+1，n=15，k=5，n-k=10，与g（x）的最高幂次相同，常数项为1。
又∵（x15+1）/g（x）=x5+x3+x+1，∴g（x）是x15+1的一个因子。
故满足（n,k）循环码生成多项式g（x）的3条原则，g（x）是（15，5）循环码的生成多项式。
解：
（2）（15，5）循环码的生成矩阵
G（x）=
=
∴G=
（3）消息码为m（x）=x4+x+1时的码多项式：
首先将G典型化，
G==（IkQ）=
∴T（x）=m（x）G（x）=M·G=x14+x11+x10+x8+x7+x6+x，故T（x）是m（x）的系统码。
或：
T（x）=xn-km（x）+r（x），r（x）是xn-km（x）/g（x）的余式。
∵x10（x4+x+1）/（x10+x8+x5+x4+x2+x+1）
=x4+x2+x+（x8+x7+x6+x）/（x10+x8+x5+x4+x2+x+1）
∴r（x）=x8+x7+x6+x，T（x）=x10m（x）+r（x）=x10（x4+x+1）+（x8+x7+x6+x）
=x14+x11+x10+x8+x7+x6+x
此方法采用代数多项式方法求解，无须知道生成矩阵G，且得到的码多项式为系统码。
第十三章P435-436
11-7，11-12
11-7：
设有图P11-2所示的基带信号，它经过一带限滤波器后会变为带限信号，试画出从带限基带信号中提取位同步信号的原理方框图和波形。
解：
提取位同步信号的原理框图如下：
全波
整流
带限
滤波
窄带
滤波
脉冲
形成
移相
直流电平
同步信号
基带信号
ABCDEF
各点波形如下图：
11-12：
设一个数字通信网采用水库法进行码速调整，已知数据速率为32Mb/s时，存储器的容量2n=200位，时钟的频率稳定度为︱Δf/f︱=10-10，试计算每隔多少时间需对同步系统进行校正一次？
解：
根据水库法公式：
n=TSf
n=100bit,S=Δf/f=10-10,f=32Mbit/s
T=n/Sf=31250s=8.680h（8h40m50s）
即每隔31250秒需对同步系统进行稳定校正一次。
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