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1引言2

2凸函数的定义及性质2

2.1凸函数的几种不同定义及其关联2

2.2凸函数的判定定理及证明4

2.3凸函数的性质5

3凸函数的应用6

3.1詹森不等式及应用6

3.2凸函数在微分学的应用8

3.3凸函数在积分学的应用9

结论11

参考文献11

凸函数的性质及应用

王波波，数学计算机科学学院

扌商要：

凸函数是高等数学中的一个基本内容，它在证明比较复杂的不等式方面有着重要的作用•在本文中，我们分析总结了凸函数的性质及相关定理•最后用凸函数方法和詹森不等式推证几种重要的不等式，并对某些结论作一些讨论.关键i司：

凸函数;方法；不等式；推论

PropertiesofConvexFunctionandItsApplication

Wangbobo,CollegeofMathematicandComputerScience

Abstract：

Convexfunctionisabasiccontentofhighermaths.ltplaysanimportantroleinprovingmorecomplexinequality.Inthispaper，wesummarizedsomepropertiesandtheoremofconvexfunction.AndfinallyweprovedsomeimportantinequalityusingthemethodofConvexfunctionandJenseninequalityofconvexfunctionanddiscussedsomeconclusion.

Keywords：

Convexfunction;Method;Inequality;Inference

1引言

在很多数学问题的分析与证明中，我们都需要用到凸函数，例如在数学分析、函数论、泛函分析、黎曼集合、最优化理论等当中•常用的凸函数有两种，一种叫上凸函数，即曲线位于每一点切线的下方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线上方的函数；另一种叫下凸函数，即曲线位于每一点切线的上方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线下方的函数。

在本文证，我们试就凸函数的性质、等价定义和在证明不等式中的应用等问题作一初步的探讨.

2凸函数的定义及性质

2.1凸函数的几种性质及其联系

函数/（x）=x2图象的特点是：

曲线y=x2上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方.我们可以这样定义：

设函数/G）在区间肚引上有定义，若曲线y=/（x）±任意两点间的弧段总位于连接两点的直线之下，则称函数/（兀）是凸函数.

以上的定义只是对凸函数作了直观的描述，下面我们给出精确的定义.

定义』设函数/（X）在区间he］上有定义，若对［°,引上任意两点兀“2和正数（0,1）,总有

/［心4-（1-A）x2］<〃（州）+（1-A）/（X2）・

成立，则称/（兀）为区间肚引上的凸函数;若上式仅不等号成立，则称函数/（兀）为区间be］上的严格凸函数.

定义2〔2］设/（兀）在区间［a,b］上有定义,Vxpx2,x3g［a.b］,且x{

/（兀2）-/（西）V/（兀3）-/（码）V/（兀3）-/（兀2）

成立，则/（兀）为凸函数.

定义3山设/（x）在区间［o,b］上有定X,Vx15x2,x3g［a,b］fS,x{

1西心）

1x2/（x2）>0.

1兀3/（^）

成立，则/（X）为［恥］上的凸函数.

以上定义1,定义2,定义3等价.

证明只需证定义1=>定义2=>定义3=>定义1即可.

（定义1=>定义2）

令2=玉二乞，则ovQvl,且1一兄二邑二勺可一兀|兀3一西

由定义1知

/［加］+（1-A）x3］<〃（兀J+（1-2）f（x3）.

故/（x2）

从而

/（兀2）-/（西）》（1-几）［/（兀3）-/Ul）l，

/*（兀3）一f（X2）»久［/（兀3）-『（兀1）］•

/（兀2）一/3）v/（兀3）一/3）x2一西x3-x1

两式合并，即得定义2.

（定义2=定义3）由定义2知

/（兀2）一/（坷）v/（兀3）一/（西）

x2一X］x3-X］

而x}

（兀2一X］）［/（禺）一/（兀1）］n（兀3一禹）［/（兀2）一/（兀］）］•

1兀1（兀1）

1K心）

1兀2f（X2）

0兀2一兀1/（兀2）一/（兀1）

1兀3/（花）

0兀3-西/（兀3）-/（兀】）

=（x2-X,）[/（x3）-f（x{）]-（x3-x{）[/（x2）-/（%!

）]•

由①知

1兀］心）

1兀2/（"）»（）•

I兀3小）

（定义3=定义1）

对Vxpx3e［a,b］,S.a

令x2=Ax}+（1-久）兀3,显然有X）

I兀|/（西）

1兀2/（兀2）»°・

1兀3/（尽）

/[加1+（1-A）x3]<〃（西）+（1-A）/（x3）.

2.2凸函数的判定定理

定理1【引设f（x）e［a.b］f且在（Q0）上可导，则下述论断互相等价：

a./为［°,/?

］上的凸函数；

b.f（x）在@,b）内为递增函数；

c.对［a,b］_k的任意两点xpx2,有

/（x2）>/（%!

）+f（兀］）（兀2-西）・

定理2凶设于⑴在区间［°上］上可导，且在（d,b）上二阶导数存在，则/（X）为凸函数的充要条件为：

/（x）>0.xg\a,b\

定理3⑷若/（x）在区间/为凸函数，则/（兀）在区间/的任意一内点兀连续.

定理4⑷设/（兀）为区间肚方］上的可导函数，则/（兀）为凸函数的充要条件为：

/（晋）吕［/S）+/（b）］・

证明（=>）由定理3知（tz,/?

）,/（%）在点x连续.因/（兀）在区间肚方］为凸函数，由凸函数的定义1知若对［a,b］任意两点西，兀2和正数兄丘（0,1）,总有

/［心+（1-A）X2］<〃（兀J+（1-2）/（兀2）成立.

令Q=丄带入上式即得定理的结论.

（u）VAe（O,l），当久为有理数时，可表示为有限二进制小数，设

A=O.a}a2--an,

其中色=1,q为0或1,i=1,2,•••,/?

令b=l_/i=0厶爲…仇,

则bn=1,勺=1一《丿二12・・・/一1,Vxpx2g（a.b）,

/[加i+（1-A）x2]=/

Q|2""+禺2"1+…+cin勺2""+/z>2"〜+••♦+hfj

x\+

⑦2"2cibfFb

2“-i

2"-i

J"y*I—刃y*

Ain人2

'…5（守+守+…+守）/（州）+（£+争+…+筝）/（花）二〃3）+（1-砒区）.

当2为无理数时，存在收敛于2的有限二进制小序列｛人｝,人满足

/（^Xj+（1-An）X2）

因此/（兀）在区间（a,b）为凸函数.

2.3凸函数的性质

性质1®设函数f（x）.g（兀）在区间/为凸函数,则f（x）+g（x）在区间/也为凸函数.

性质2⑷设函数/（兀）、g（兀）在区间/为凸函数,则max{/（兀）,gCr）}在区间I也为凸函数.

证明V%Px2g/,VAg（0,1），因函数/（x）、g（x）在区间/为凸函数，从而

/*（加］+（1-彳）兀2）5〃（兀1）+（1_2）于（兀2），

且g（加］+（1-/^）X2）<）+（1-A）g（x2）,

令F（x）=max{/（x）,^（x）},

则F（AX］+（1-久）兀2）=max{/（Zr|+（1-A）x2）,^（Ax1+（1-A）x2）}

5max）+（1-A）/（x2）,念（州）+（1—A）g（x2）}

因此F（x）=max{/（x）,g（x）}在区间/也为凸函数.

性质3⑷设函数/（兀）、g（x）在区间（d,b）为递增的非负凸函数，则f（x）g（x）在区间（a,b）也为凸函数.

3凸函数的应用

3.1詹森不等式及应用

詹森不等式⑶：

若/为肚引上的凸函数，则对任意

x（6［口,方］&>0（i=1,2,•••,〃）,£&•=1,有

/=1

/=1Z=1

证明应用数学归纳法，当n=2时，定义1命题显然成立.

设n=k时命题成立，即对任意西,兀2,…，耳w［a,b］,及匕>0丿=1,2,…,比,工匕=1,

都有

/=1/=!

1一入+1

现设兀1，兀2八・，"，母+1G［⑦b］及

k+\

&>0（心1,2,・・・,£+1）,工&=1・

;=1

令匕=

二4心1,2,…必，则£乞=1・由数学归纳法假设可推得1—入i/=1

/*（%"+…+^kxk+入+1无+1）

/（（I-心）E小+£和）

5（1_4+1）/（口內+aix2+•••+$"）+入+i.f（忑+i）

二（1一心+】）

/（◎+…+

1一心+i

fg+入+|/（母+1）

S（1-2如）［©/（兀1）+禺/（兀2）+…+咳/（忑）］+心+/（耳+1）

=工力（无）.

/=!

这就证明了对任何整正整数H（>2）,凸函数/总有上述不等式成立.

推论：

若函数/⑴在区间［a,b］±存在二阶导数，且Vxg［a.b］,有/（x）>0则詹森不等式成立.

（由于/'（x）>0,所以/⑴是区间［恥］上的凸函数.由上述证明可得詹森不等式成立・）

a+h+c

例1证明不等式（abc）y

证设/（x）=xlnx,x>0.由/（兀）的一阶和二阶导数

.”1

/（x）=lnx+l,/（x）—.

可见，f（x）=x\nx在x>0时为严格凸函数.依詹森不等式有

/（—^）<|（/（a）+/0）+/（c））,

从而

d+b+c（d+b+c’l/tt.（、

In<—（ama+blnb+cmc），

即

a-^-h+ch+c§亍应.

又因%+出列+宀,所以

（abc）a+h+c

3.2凸函数在微分学的应用

例2设函数/（兀）在区间I上为凸函数，试证：

于（兀）在I上的任一闭子区间上有界.

证明设[d"]u/为任一闭子区间：

1（证明/（x）在[a,方]上有上界）Vxg[a,b],取

2=U^w[0,l],x=Ab+（l-A）a.

b-a

因f（兀）为凸函数，所以

/（X）=/[2b+（1—A）a]

）+（1-A）f（a）

其中M=max{/⑷,/（b）}.故在[a,h]上有上界M；

2（证明/*（兀）在[d,b]上有下界）记C=^~—为的中点，则Vxg[a,b],有关

例3设/（劝为区间⑺上）内的凸函数，试证：

/（劝在/上的任一内闭区间

[a,0]u[a,b]上满足Lipschitz条件.

证明要证明.f（x）在区间[a,0]上满足Lipschitz条件，即要证明：

日厶>0,使得VXj,x2g[a.（3]有

\f（xl）-f（x2）\

因为[Q,0]u|a,b],故可取h>0充分小，使得[Q—/z,0+/2]u（a,b）,

与此\/西,乂2w[a,0],若

/（勺）一/（兀1）V/（禺）一/（兀2）vM_m

X2-Xj兀3—兀2h

（其中M,m分别表示/（兀）在[a-h./}+h\上的上下界）,

从而/（兀2）-/（坷）§理〒竺卜2一兀||，⑵

/（吃）一/（西）v/（兀3）一/（兀2）川_m

（2）式对一切xl9x2e[a,/3]皆成立.

因此

（2）式当西与兀2互换位置也成立，故有

/U2）-/Ul）SM~m*2-X]令厶=理巳，则

（1）式也获证.

3.3凸函数在积分学的应用

例4设/（兀）为区间|o,b|上连续的凸函数•试证：

证明令t=+/t（x2-X,）,a€（o,1）,贝q

—!

—JJf（t）dt=J；f[x^+A（x2-X{y\d2,

注意X,+A（x2-X,）与吃-2（兀2-兀］）关于中点”；山对称.由于/（X）是凸函数，故由

F（x）=-\Xf（t）dt为（0,+oo）上的兀J0

/（X）为［0,+oo）上的凸函数，因此它在（0,+oo）内连续，/（兀）在［0,X］上

F[Ax,+（1-A）x2]=£/{[A%]+（1-A）x2]w}Jw

=L/[2"1弘+（1一^）X2U]^U

[2/（兀a）+（1-Z）f（x2u）]du

2F（xJ+（l—兄）尸（兀2）・

所以F是（0,2）上的凸函数.

结论

以上我们介绍了凸函数的几个等价定义及其他们之间的证明，又给出了判断凸函数的定理，最后介绍了詹森不等式及其应用，凸函数在微分、积分学的应用，总的来说，凸函数是一种应用广泛的重要函数，尤其是在证明某些不等式，具有思路清晰、方法简明、效果良好的优势.

参考文献：

[1]白景华.凸函数性质、等价定义及应用[J].开封大学学报，2003：

No.2.

[2]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：

高等教育出版社，2010.11.

[3]华东师范大学数学系.数学分析（上册）[M].北京：

高等教育出版社,2009.5:

149-150.

[4]林贤坤.凸函数的性质[J].广西民族学院学报（自然科学版），2000：

No.4.

[5]朱玉明，杜漫.凸函数的性质和应用[J].沙洋师范高等专科学校学报，2005：

No.5.

[6]阿荣，敖日格乐.凸函数的性质[J].内蒙古农业大学学报，2008：

No.1.

[7]徐利治等.大学数学解题法诠释（第一版）[M],安徽教育出版社，1999年.

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