一道IMO试题的探究与推广.docx

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一道IMO试题的探究与推广

温州市第五届“摇篮杯”数学小论文

研究主题：

一道IMO试题的探究与推广

学校：

温州市实验中学

成员姓名：

陈子翔苏津岳

指导师：

陈青丰

二〇一一年十一月

一道IMO试题的探究与推广

摘要

关于一道IMO试题的证明、推广和一些有趣的结论。

定义

同一折线：

若折线AMB与折线A’M’B’为同一折线，则M到AB得距离与M’到A’B’的距离相等。

正文

题目：

在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N，

（ａ）求证AF、BC相交于N点；

  （ｂ）求证不论点M如何选取直线MN都通过一定点S；

（ｃ）当M在A与B之间变动时，求线段PQ的中点的轨迹。

（第一届IMO试题）

证明：

（ａ）

证法1、

M在AB中点左右对结论无影响，只需沿AB中垂线翻折即可，固只需讨论M在AB中点左侧情况。

∵∠ANM=

∠AMP=

∠FNM=

—

∠FQM=

∴∠ANM+∠FNM=

∴A、N、F三点在一条直线上

又∵在△AMF，△MCB中，

AM=ML；∠AMF=∠BMP=

；MF=BM

∴△AMF≌△MCB（SAS）

∴∠CMB=∠AFM=∠NFM=∠NBM

∴N、C、B三点一线

∴AF、BC相交于N点

证法2：

连AF，BC

易知△FMA≌△BMC

延长BC交AF于K

∠FKB=90°=∠BKA=∠FEB=∠CDA

∴FEBK四点共圆，ADKM四点共圆

∵三点确定一个圆

∴K即为两圆交点N

∴AF，BC交于N

（ｂ）

设AM=a,BM=b，过N点做垂直于AB的线段NK

∴易证：

△ANK≌△AMF

△BNK≌△BML

∴

相减得

∴延长NM与AB的中垂线交于一点V。

中垂线与AB交于一点U

∴△MNK≌△MFU

∴

∴

∵

不变

∴必经一点S

（ｃ）

设PQ中点离AB的高为h

A与h的距离为S’

∴

∴PQ中点与AB距离不变

∴PQ中点的轨迹运行为平行于AP的平行线且绐终于

处，长度为

探究与发现：

发现一：

通过图画，我们惊异的发现DNE似乎也三点一线，也就是说DE、AF、BC三线共点于一点N。

那么是否果真如此？

证明：

连DN，NE

∵∠DNM=∠DCM=

∠MNE=∠F=

∴∠DNM+∠MNE=

∴N、D、E三点一线

结论成立

与此同时，我们还发现固定S是以AB为边向下做正方形的外接圆圆心。

那么是否对于任意正n边形均成立？

我们先举一例特殊情况来进行检验

特殊情况的讨论：

为了检验猜想的准确性，我们选取了n=3时特殊情况进行探究。

n=3时

证明：

设AM=

，MB=

，AB=

①∵∠CNM=∠MND=

∠ANM=∠MNB=∠ACM=∠MDB=

∴∠AND=

+

=

∠CNB=

+

=

∴C、N、B三点共一线；A、N、D三点共一线

②以AB为X轴，A为原点O创建直角坐标系

∵

相减推出（

，0）即M

也即为S

③过PFQ分别做

⊥

∴

（

）

轨迹为平行于AB的线段，长为

，离AB的距离为

可由第二问发现S点并不是以AB为边向下做正方形的外接圆圆心。

但仍为一固定点。

猜想与讨论：

于是我们对于以上的发现，我们猜想对于以AM向上做的正n边形与BM向上做的正n边形是否也有

（1）各不同的n-1对顶点所连接而成的线段共点交于N。

（2）两圆圆心PQ的中点的轨迹平行于AB。

（3）MN所在直线经过AB的中垂线上的一固定点S。

普通情况的证明：

第一问：

必有各不同的n-1对顶点所连接而成的线段共点交于N。

证明：

如图：

以A1开始，顺时针命名A1A2．．．．．．An

以B1开始，顺时针命名B1B2．．．．．．Bn

①首先我们证明A1、B2、N三点成一线

∵

∴A1、B2、N三点成一线

②其次我们证明

、

三点一线

∵

∴

、

三点一线

③最后我们证明如果

、

、

三点一线，

则

、

、

三点一线，

∵

∴

∴

、

、

三点一线，结论成立。

由此，可递推至

（

）三点一线

另半支的三点一线可由

三点一线同理可推得

当n=2k时，有一特殊情况，

∥

∥

∴

∴

共线结论成立

综上各不同点共有（2n-1）个

共有n-1条线共点，结论成立。

第二问：

两圆圆心PQ的中点的轨迹也平行于AB。

几何法:

设AM=

，MB=

，AB=

n为多边形的边数

设

过P、Q和PQ中点X，分别做

⊥AB

∵

∴

∵0≤

≤

∴

≤

≤

∴轨迹为平行于AB的线段，长为

，离AB的距离为

代数法：

以A为原点建立坐标系，设AM=

，MB=

，AB=

n为多边形的边数

设n边形时,

此时，

PQ中点

结论成立，平行于AB的直线

第三问：

MN所在直线经过固定点S。

以P为圆心，

以Q为圆心，

∴化得

∴S点坐标为

∴结论仍成立，对于

边形，MN仍过一固定点S，坐标如上所示。

另一方面的思考:

关于AMB为折线时

第一问显然还是成立但前提是两圆有交点即为顶角大于

度。

定义同一折线即为AB长度相等，M与AB的距离相等的折线，M可以在与AB平行的直线上任意移动

第二问：

第三问

再进一步的思考：

对于任意在任意折线上相似的两有外接圆的N边形，第三问仍然成立吗？

对于任意的两个相似的N边形，任意一对对应线段的两端点与其外接圆圆心构成的等腰三角形显然相似（如图，△PAB∽△QCD）

对于任意的N边形，都可以化为等腰三角形，即对于任意两个有外接圆的相似N边形，均有两个相似等腰三角形使得有两边上的顶点与外接圆圆心与之等价。

所以任意N边形的问题必然可以转化为等腰三角形的问题

所以问题转化为：

对于在折线上的任意两个相似的等腰三角形，这两个等腰三角形的外接圆的圆心连线的中点的运动轨迹

如图知对于任意等腰三角形都有一个直角三角形与之外接圆一样

所以问题进一步转化为直角三角形的问题。

总结：

所以我们得出结论：

（一）对于以AM向上做的正n边形与BM向上做的正n边形有

（1）各不同的n-1对顶点所连接而成的线段共点交于N。

（2）两圆圆心PQ的中点的轨迹平行于AB。

且长为

，离AB的距离为

（3）MN所在直线经过AB的中垂线上的一固定点S且坐标为。

，其中

（二）AMB为折线时，结论仍然成立，且以AM、BM为底向上作两相似的有外接圆的N边形，这两个外接圆的圆心的连线的中点的运动轨迹仍然是一条平行于AB的直线

感想:

通过对这一道IMO试题的探究与推广，我们不仅得到了令我们自己觉得十分神奇的结论，也明白了对于一道普通的题目背后所隐藏的东西，才是我们所真正追求的，而不只是会做一道题。

这种怀着对数学的好奇不断探寻的过程是极其美妙的。