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探索求进步
探索求进步争鸣共发展
天河区教育局教研室刘永东
为开展概念命题课的课堂有效教学技能的研究，探索《统计与概率》教学方面的教学，为今后的教学研究提供参考，初二数学开展了一次“一课三讲”。
内容为八年级下册第２１章第一节课21.1算术平均数与加权平均数。
先由１８中吕翌老师面向全区初二教师公开执教，再由广东省实验中学附属天河学校的张友兵老师异地执教和白云区江村中学王芸老师“结对子”执教同一内容。
各自备课，不预先交流。
以下针对三位教师的局部设计以及基于这个知识点的局部教学反思，稍作比较，或者能够看出问题，得到一些启示，通过这样的探索争鸣，相信教研会有更好的发展。
首先，是情景引入的设计部分。
吕翌：
一、情境引入
适逢“六一”儿童节（14岁以下为儿童），我班学生的平均年龄是否属于儿童范围？
目的：
教师通过引导各小组计算组员的平均年龄是否还属于“儿童”的范围，从而引入算术平均数的课题。
分析及改进：
原设计很好地调动了学生对本节知识的学习兴趣。
但原设计中未进行年龄数据的深入分析。
此情境引入不能只停留在强调算术平均数的计算层面上，而应针对学习目标，进一步探讨平均数的作用和意义。
引发学生思考。
二、小试牛刀（请同学们来解决下列问题，看谁做的快又准。
）
1、一列数据：
20，24，30，35，46，则这列数据的和为，这列数据的平均数为。
2、初二（4）班王宇楷同学四次数学平时测试成绩分别为75，70，80，85，则王宇楷同学的数学平时测试平均成绩为。
3、一列数据9，-6，-4，13，则这四个数的平均数为____。
归纳：
请说说你求算术平均数的步骤:
分析及改进：
此三题是对算术平均数的计算知识点进行复习渗透，但均属文字计算类，而生活中的数据搜集和表示不仅仅是文字，应让学生学会从图表中分析数据并进行相应计算。
故添加第4题如下：
4、某户居民2006年下半年的电话费用如下表所示：
请你帮这户居民算一算，平均每月花费的电话费是元。
月份
7
8
9
10
11
12
电话费（元）
75.80
45.00
76.30
65.90
55.90
45.90
张友兵：
一、回顾思考（请同学们来解决下列问题，看谁做的快又准。
）
分组计算本组同学的平均年龄，并对每组年龄平均数稍作分析。
1、某户居民2006年下半年的电话费用如下表所示：
月份
7
8
9
10
11
12
电话费（元）
75.80
45.00
76.30
65.90
55.90
45.90
请你帮这户居民算一算，平均每月花费的电话费是元。
2、三位女同学在体育训练中测试投掷实心球，成绩如下表：
甲
乙
丙
平均成绩（米）
4.5
7
3.5
投掷次数（次）
2
6
2
你可以发现如下信息：
三位女生所有投掷成绩的总和为米，总共投掷实心球次，则三位女同学的总平均成绩为_____米。
分析及改进：
本节课的定位为“让学生在回顾算术平均数的意义的基础上，通过从不同的统计图表中提取信息，分析问题，解决问题，体会算术平均数是从平均水平体现一列数据的集中趋势”，第２题设计难度过大，本想为下节课作铺垫，但冲淡了算术平均数的意义的体验，放在此处不合适，作为课后练习倒很好。
归纳：
请说说你求算术平均数的步骤:
变式练习：
甲乙两所学校号召学生们向希望小学捐赠图书．已知甲校800名学生平均每人捐书4.5本；乙校学生比甲校少80人．如果要达到相同的捐书总量，那么乙校学生平均每人要捐书本。
王芸：
一情景导入
下表给出了某户居民2006年下半年的电话费用，请你帮这户居民算一算：
平均每月花费了多少电话费？
月份
7
8
9
10
11
12
电话费（元）
75.80
45.00
76.30
65.90
55.90
45.90
二探究新知：
归纳平均数定义。
在平时的生活中，你们见过平均数吗？
请举例子。
练习一：
1．在一次英语测验中，10名学生的成绩分别如下：
88、96、76、98、87、80、72、93、100、90，则他们的平均成绩是。
2．数据：
5、1、8、-4、3、-1、-2、3、-3、0的平均数是。
分析及改进：
设计思想：
统计与实际生活的联系是非常密切的。
本节课通过一些简单的实际问题来说明算术平均数的意义，让学生能从一些常见的统计图中获得信息。
此处情景导入除了在具体情景中会求平均数之外，没有能够很好的体现出在具体情景中理解算术平均数的意义，即课本Ｐ128第一段内容。
汇总分析：
综合三者的设计，通过他们的反思以及课堂上所呈现出来的真实情况，或许我们进一步思考与设计。
吕翌老师提出的问题“适逢“六一”儿童节（14岁以下为儿童），我班学生的平均年龄是否属于儿童范围？
”，学生通过分组很快的得出数据：
15,15,14.8,14,14,5,14.3…….然后教师引出了算术平均数的概念。
很好的一个问题设计。
然而正如他反思所说的“未能进一步探讨平均数的作用和意义，引发学生思考。
”生活离不开数据，学生不仅要收集数据，还要对数据进行加工处理，进而作出判断……。
如果教师在学生得出数据之后通过一组疑问句，引发学生思考日常生活中一些判断的含义和依据，不仅激发学生的学习兴趣，而且引入了本节主题。
例如：
“如何衡量各组同学的年龄？
”“如何理解第一组的年龄比第四组大？
”“班里有没有同学年龄还属于儿童范围？
”“那一组里的同学最有可能存在年龄还属于儿童范围？
”等等诸类说法，让学生去判断并尝试说明理由，这样从多角度让学生感受认识平均，从一开始就不断渗透和增强学生对所见到的数据进行处理和评判的主动意识，发展学生初步的统计意识和数据处理能力。
至于概念的知识与技能巩固可以在这种意识底下进行获得。
我们始终抓住这样一条主线：
至于练习是否也可以这样设计处理：
1、一列数据：
1，2，7，9，16，则这列数据的和为，这列数据的平均数为７。
2、一列数据：
6，7，7，8，9，则这列数据的平均数为７。
3、某户居民2006年下半年的电话费用如下表所示：
月份
7
8
9
10
11
12
电话费（元）
75.80
45.00
76.30
65.90
55.90
45.90
请你帮这户居民算一算，平均每月花费的电话费是元。
４、甲乙两所学校号召学生们向希望小学捐赠图书．已知甲校800名学生平均每人捐书4.5本；乙校学生比甲校少80人．如果要达到相同的捐书总量，那么乙校学生平均每人要捐书本。
分析：
第１、２题除了会计算一组数据的平均数外，也让学生体会虽然平均数一样但是数据的特征不一样。
可以提问学生：
比较１、２题，5个数据，平均数都为7,判断下面说法是否正确“其中一个大于7，则必有一个小于７”“其中两个大于7，则必有两个小于７”；第３、４题让学生学会从统计图表中获取并分析数据，在不同情景中感受理解平均数的意义。
注意学生快速计算，不必多讲如何得出答案，在理解上下功夫。
其次，对例题的处理。
吕翌：
例1、（略）
变式练习：
右图刻画了小李、小王、小张、小刘、小扬五位同学每个月的平均花费情况．则下列说法错误的是（）
A．五位同学中小张最节约。
B．小李与小王每月花费钱数之比是4:
5
C．小刘的每月花费与五位同学合计的平均花费最接近
D．小张的每月花费大约是小王的20%，大约是小扬的33.3%
分析及改进：
原设计中的例题及变式均能成功地引导学生对图表中的数据进行分析计算，但在实际教学过程中发现学生对折线图的理解较为薄弱，可在此加入变式2，使学生体会折线图的分析和应用。
为后面例2的变式做准备。
变式2：
以下统计图是浙江华盛和日尔曼公司
2003年某月上旬的收盘价，分别计算
它们股价的平均值，并就这两种股票
在这段时间内的涨跌情况谈谈你的看法。
例2：
略
分析及改进：
思考问题中注重引导学生对水平线上下方的图形在数量上寻找关系，但对能力较强的同学在此可引导其分析在水平线上下方的图形在形状的大小上的关系。
以进一步突显表示平均数的水平线的几何意义。
变式练习1：
初二（4班）篮球队先发上场5人
的平均得分为6分，请根据图中所示得
分情况，利用给出的平均得分的水平线
在右图中补充大罗同学的得分条形图。
分析及改进：
例2和变式1衔接较好，特别是在变式1中把学生近期的篮球比赛的相关人物和事件都巧妙地融入教学中，学生感觉相当亲切和熟悉。
因此在实施中此两题学生投入学习的兴趣相当高。
效果也非常好。
但教学中有一个小小的遗憾，未能就此处的班级实情延伸到团结协作、增进团队意识的德育教育范畴。
教学教程中，学生出于习惯总是用数量的大小去度量图形的差距。
而忽视了作为平均数的水平线的几何意义。
因此，为了使学生更好的理解和感悟算术平均数在图形中的作用和意义，可穿插加入变式2。
把原有变式1中的所有提示性的数据及纵轴上的数据都舍去，引导学生利用表示算术平均数的水平线在图形中去度量求解。
同时把原有的变式2成为变式3。
这样设置无论从知识的渐近还是从梯度的设置都更为合理。
变式练习2：
若上题中在制图中由于
工作失误，未曾标明5位同学的得分
数据，请你根据图中所画出的表示平
均得分的水平线，在右图中补充大
罗同学的得分条形图。
变式练习2：
天河城百货统计数据显示，2006年1~6月平均每月销售总额约为60百万元。
下图是根据天河城百货2006年1~6月平均每月销售总额情况绘制的。
不进行销售总额的计算，你能将缺少的一点补在虚线恰当的位置上吗?
（提示：
先绘制代表平均每月销售总额的水平线。
）
分析：
把书本的练习题改编为与学生生活相联系的例子，一方面改进了原题中的数据模糊、图像不准确的问题，同时学生能更加紧密地联系生活实际，使数学知识自然地回归于生活实践。
有助于学生的思维拓展。
张友兵：
基本与吕翌相同，
变式练习有所改变
例１增加变式练习１的第１题，第２题中的选项不同以及例２增加变式练习２：
例１变式练习
1、甲、乙两位同学进行射击比赛，成绩折线图如下，根据你所获取的信息，
你认为可以计算甲、乙两位同学的平均射击成绩吗？
如果可以，请计算。
2、右图刻画了小李、小王、小张、小刘、小扬五位同学每个月的平均花费情况．则下列说法错误的是（）
A．五位同学中小张最节约，小刘最浪费；
B．小李比小王每月的花费少；
C．小刘的每月平均花费比五位同学
合计的平均花费多；
D．以每人每月平均花费不超过90元为标准，至少有2人的月平均花费在标准以内。
分析：
这题变式练习设计的不是很好，导致学生大部分选择C，从而集中讲解了很多。
最终导致本节课程没有完全在45分钟内学习完成。
去掉这题，效果可能会更好。
例２变式练习2：
仍是初二（4）班的这五位
同学，又与其它班级进行了一场
比赛，一位有心的同学根据各位
同学的得分绘制了条形图，可一
位喜欢动脑筋的同学弄了点恶作
剧，把条形图中的数据及部分横线
全遮了，只留下五位同学平均得分
的水平线及四位同学得分的条形图，
你能准确地补全大伟得分的条形图吗？
王芸：
大致与课本相同：
例１后加练习二．
某班进行数学速算比赛，成绩如下表：
得分
100
90
84
70
60
50
人数
8
15
15
7
3
2
（1）这个班竞赛的总成绩是分；
（2）这个班竞赛的平均成绩是分。
例２后加问题3：
（但没讲到）
个体户王某经营一家餐馆，下面是餐馆所有工作人员在某个月份的工资：
王某
厨师甲
厨师乙
杂工
招待甲
招待乙
会计
3000元
450元
400元
320元
350元
320元
410元
（1）计算平均工资；
（2）计算出的平均工资能否反映工作人员这个月收入的一般水平？
（3）去掉王某的工资后，再计算平均工资；
（4）后一个平均工资能代表工作人员的收入水平吗？
根据以上计算，从统计的观点看，你对（3）、（4）的结果有什么看法？
分析：
例２的处理时间稍紧，分析还稍欠火候，前松后紧，学生还未能完全理解代表平均数水平线的作用，在此留给学生时间不够。
汇总分析：
对于例１的处理，难度不大，可以稍微加快节奏，教师只需在关键处画龙点睛，注重让学生在条形统计图中获取信息，至于对信息的加工处理完全可以全部交给学生，此处的知识技能关键是关注平均数在实际问题情景中意义的理解，体会其在不同情景中的应用。
只要学生能在具体情景中体会意义即可，而不是过于关注其具体运算的熟练程度。
对于变式练习，两者的反思和改进都比较合理，个人认为张老师的第１题更为合适，而第２题即使是选项较为简单也建议去掉，此类题可以作为章节复习时的练习，这样做是为了不那么快的把题目的难度增加，同时也为后面理解代表平均数的水平线的意义留下足够的时间。
对于例２的处理，前半部份均较为合理，关键在于理解代表平均数的水平线的意义。
很赞赏吕翌老师对变式练习１的设计以及对此处的分析与改进。
也非常赞同张友兵老师在代数意义上的理解阐述，运用了正数与负数的意义去描述超出部分的数量与不足部分的数量相等。
因为涉及到代数和几何意义上的理解，所以此处是关键，是教学的突破点。
教材此处的安排淡化了单纯的数字运算练习，非常强调学生的学习理解过程，可以安排学生在教师的组织下自主探索，思考问题，达到对此的理解。
第三、教师在网上教研形成的一些点评，摘抄一二共享：
（１）算术平均数，从纯应试的角度，只要学生会做题就行，从概念出发，深入剖析，再经过练习，学生肯定可以掌握得很好，用一节课，有点浪费......这应该是一种存在很深的观念。
新课标要求既淡化概念，又不可以忽视概念，其实是对教师提出了更高的要求：
不是让教师讲的学生懂，是要教师通过深入分析，认真设置“脚手架”，做一个学生学习的导引人，在已有的要求上，更要讲求教学的策略与效率。
吕老师的这份《算术平均数》设计稿，看似对概念“漠不关心”，实则是花了大量心思，从问题的导入（联系实际），展开问题，都是在学生知晓算术平均数的前提下，不断加深，选用与实际相联系的问题，充分挖掘算术平均数的意义，让学生在应用中加深理解，在理解中探索，落脚点在充分调动学生的求知欲，促使学生在课堂上积极开动脑筋，互相探讨，最后，提一提严格的概念，让学生知道，对概念的深化，作为思维提升，留给学生“人人学习可以掌握的数学”，给了学生更多学习的空间，兼顾了应试的内容，相得益彰。
如果说，一节课上完了，学生只是高兴的份儿，拿到一个反应知识点的问题，模棱两可，这究竟是好还是......兼顾学生能力的发展，不排斥应试的内容，吕老师的教学设计都有所反应。
如何在问题的选用上更贴切，应该可以做的更好；如何在学习中引导，那是在课堂上才能体会；效果怎么样？
与学生的程度也有很大的关联。
一种有益的探索，一种教学的示范，更要一种教育的严谨。
（２）教学设计和实施都称得上匠心独具,精彩!
任何一节课都会在重点的把握,难点的突破,教法的运用等方面存在争议,更何况受到学生的实际情况,还有应试教育等因素的干扰.现在倍受追捧的学习卷今天不是也遭到许老师的置疑甚至是抨击吗?
所以现在教学的评价标准是没有的,我们只能抱着谦虚的态度,学习每一节课的精华.这节课本人认为最出彩的地方是题目的设置,比如:
开始的情景创设,篮球赛一题等,非常自然亲切,使原本乏味的内容变得有趣,使原本刻板的老师变得可亲!
这是我近两年听到的最用心,最优秀的一节课.
（３）我们教学生学习数学知识,是为了什么?
是为了考试吗?
也许不少老师都认为不为了考试,为了什么?
考试考什么,我们学什么,不考不学,造成不少学生对经常做过的题会解,对没有接触过的题型完全不会分解求,这样学生的数学能学好吗?
会有兴趣?
周五下午吕老师的课让我从中得到启发,我们应经常在数学教学中教会学生思考问题,将身边的问题与数学知识联系起来,特别是统计与概率一章书的教学一定要给足够的时间进行教学,应该让学生动手实验的内容,不可以由老师代替,否则失去意义.周五下午的课对我们今后如何去统计课起到一个示范作用,建议各校老师能认真研究统计与概率的课,如何将这部分内容上好.
（４）周五的课自己感觉上的不好，没有完全体现设计的意图和目标，同时也感觉在设计的思路和理念方面，自己还是没有把握这节课的本质，总是在平均数的计算和意义之间摇摆，造成上课时对学生的引导的侧重不明确，浪费的设计之中的一些想法。
以往的教学中，由于统计的内容少，中考涉及题目的难度较小，方向较易把握，加以学生在生活中已积累一定的生活经验，所以不少老师在此大量的裁剪教材，仅关注考试可能涉及的计算和简单分析。
这种做法，在近年来越来越活的统计出题面前，开始显出其明显的不足。
最突出的就是学生对实际问题的分析和理解不充分，对图形的分析和认识不全面。
由于数学教学关注学生分析问题和解决问题的方法和过程，而统计更注重于统计结果的分析和运用，所以包括自己在内的许多老师一直以数学的方法教统计，注重了统计知识点的计算及简单分析，忽略了统计结果的意义和应用。
造成了学生对统计的片面理解。
把统计理解成为简单的计算。
个人认为统计的教学今后应更贴进于实际，教学内容的取舍应更取之于生活，来源于生活，同时注意反馈于生活。
特别是注重“反馈”。
（５）大家在评课中，最让我印象深刻的是我们做为老师，有多少课能给学生以深刻感悟？
如何使我们的课不仅在知识上，同时也能在情感和生活观念上给学生一点触动和共鸣，如何把握好有限的45分钟，为学生的素质和心理成长尽自己的努力？
回忆自己的求学过程，一个让自己多方面认同的老师远比一个单纯的学术专家更让自己喜欢。
我想这也是我今后的执教发展方向。
（６）我们现在的教学目的性太强了。
我们的教学不能只是应付考试，而应该多培养学生的能力。
这一章是很简单，但也是非常实用的。
不能因为内容简单而不讲或者缩短课时，这对学生学习能力的培养是不利的，而且会直接影响到学生的初三和中考。
所以，平时我们的教学应该杂杂实实，这样学生到初三也会轻松很多。
最后、探索求进步，争鸣共发展。
市教研员许世红老师的一番精彩点评，颇有感触。
统计的教学应该让数学教学为统计服务而不是把统计理解成数学教学的一个知识点。
更不能单纯为得到统计的结果而反复去教统计运算，而应在相关计算的基础上促使学生深刻理解统计的意义和价值，使学生在生活实践中会进行统计、会运用统计。
那么数学与统计、数学与概率、概率与统计之间的关系应该是怎样的？
这就是作为教师所要思考的问题，通过探索求发展，争鸣共进步。
首先，基于对数学本质特征的认识，人们也从不同侧面讨论了数学的具体特点。
数学有抽象性、精确性和应用的广泛性等特点，其中最本质的特点是抽象性。
另外，从数学研究的过程方面、数学与其它学科之间的关系方面来看，数学还有形象性、似真性、拟经验性、“可证伪性”的特点。
我们说数学的确定性是相对的，有条件的，对数学的形象性、似真性、拟经验性、“可证伪性”特点的强调，实际上是突出了数学研究中观察、实验、分析、比较、类比、归纳、联想等思维过程的重要性。
其次，随着研究随机现象规律性的科学—概率论的发展，应用概率论的结果更深入地分析研究统计资料，通过对某些现象的频率的观察来发现该现象的内在规律性，并作出一定精确程度的判断和预测；将这些研究的某些结果加以归纳整理，逐步形成一定的数学概型，这些组成了数理统计的内容。
数理统计概括地说可以分为两大类：
⑴试验的设计和研究，即研究如何更合理更有效地获得观察资料的方法；⑵统计推断，即研究如何利用一定的资料对所关心的问题作出尽可能精确可靠的结论，当然这两部分内容有着密切的联系，在实际应用中更应前后兼顾。
所以应用数理统计是以概率论为理论基础，研究有效地收集、整理随机数据，并对其中隐含的统计规律进行分析、推断的数学学科，统计思想和分析方法在数学领域具有广泛的应用。
根据前面所述，笔者尝试用下面的图式表示：
概率和统计都是具有独自特征的数学概型，体现出数学研究中观察、实验、分析、比较、类比、归纳、联想等思维过程，是通过数学的形式来学习数学的内容，从而进行相应的应用数学的活动的数学学科。
而从数学角度来看，概率与统计则两个学科互为基础，它们是一个密不可分的整体，概率这一概念是建立在频率这一统计量稳定性的基础之上的，而统计又离不开概率的理论支撑，统计方法的合理性和科学性都有赖于概率理论的严密性。
基于这样的认识，我们在进行统计的教学中应该注意以下几个方面：
１、从中考的测试评价中体现出学生在数学应用上始终是个学习薄弱环节，即使是经过
多年的数学学习，特别是概率统计。
既然概率统计是在应用数学，因此我们作为教师没有理由在这些方面大减课时，忽略了教材在此设立内容的必要性，强化了考试的功利性。
而应该重视它让学生有充裕的时间来感受体验，在教师为他们创设亲近生活、体验生活的情景或场所中解决实际问题，从而自觉形成对数学知识的渴求，改变薄弱状况。
也只有这样，学生的统计观念在中考评价的弱势才能得以扭转。
２、在统计活动的过程中建立统计观念，突出统计思想。
统计观念反映的是有一组数据所引发的想法、能推测到的可能结果以及自觉地想到用统计的方法解决问题等，是在亲身经历统计活动过程中培养出来的一种感觉，在活动中感受统计思想。
统计与现实生活的联系十分密切，在活动中帮助学生建立统计观念，不同情景的活动是体会统计的作用和意义的有效方法，这是教学中必须特别重视的问题。
例如对于一些概念都是结合具体问题给出，是学生在具体情景中感知概念，不追求严格定义，而是淡化处理概念，让学生更好的理解这些概念的统计意义。
３、在教学中，注意对活动的评价以及学生对知识技能的理解应用评价。
注意学生参与活动的参与度以及在活动中的思维度情况，注意学生在具体情景中对统计意义的理解以及在统计图表中获取信息并进行加工的能力体现。
鼓励学生思维的多样性以及评判结果的表述能力与合理性。
结束语：
参与的背后是学习，学习的背后是探索；
探索的背后是争鸣，争鸣的背后是发展。
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