大学物理刚体力学基础习题思考题及答案.docx
《大学物理刚体力学基础习题思考题及答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《大学物理刚体力学基础习题思考题及答案.docx（21页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
大学物理刚体力学基础习题思考题及答案
习题5
5-1．如图，一轻绳跨过两个质量为
m、半径为r的均匀圆盘状定滑轮，
绳的两端
分别挂着质量为
2m和m的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定
滑轮的转动惯量均为
mr
2
/2
，将由两个定滑轮以及质量为
2m和m的重物组成
的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。
解：
受力分析如图，可建立方程：
2mg
T2
2ma┄①
T
T1
mg
ma┄②
（T2
T）r
J
┄③
（T
T1）r
J
┄④
a
r，J
2
/2┄⑤
mr
联立，解得：
a
1
g
，T
11
mg
。
4
8
5-2．如图所示，一均匀细杆长为
l，质量为m，平放在摩擦系数为
的水平桌面
上，设开始时杆以角速度
0绕过中心O且垂直与桌面的轴转动，试求：
（1）作
用于杆的摩擦力矩；
（2）经过多长时间杆才会停止转动。
解：
（1）设杆的线密度为：
m
，在杆上取
l
一小质元dm
dx，有微元摩擦力：
df
dmg
gdx，
微元摩擦力矩：
dM
gxdx，
考虑对称性，有摩擦力矩：
l
1
M22
gxdx
mgl；
4
0
（2）根据转动定律
d
t
0
M
J
J
，有：
Mdt
Jd，
dt
0
0
1
mglt
1
2
0，∴t
0l
4
m
l
。
12
3
g
或利用：
M
t
J
J
0，考虑到
0，J
1
ml2
，
12
有：
t
0
l
。
3
g
5-3．如图所示，一个质量为
m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子的质量
可以忽略，它与定滑轮之间无滑动。
假设定滑轮质量为
M、半径为
R
其转动惯量为
MR
2
，试求该物体由静止开始下落的过程中，
/2
下落速度与时间的关系。
解：
受力分析如图，可建立方程：
mg
T
ma┄①
TR
J
┄②
a
R
，J
1
mR2┄③
2
联立，解得：
a
2mg
Mmg
M
2m
，T
，
M
2m
考虑到a
dv
，∴
v
t
2mg
dt，有：
v
2mgt
dt
dv
0M
2m
M
。
0
2m
5-4．轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的质量为
M
/4，均
匀分布在其边缘上，
绳子A端有一质量为
M的人抓住了绳端，而
在绳的另一端
B系了一质量为
M/4的重物，如图。
已知滑轮对O
轴的转动惯量
J
MR
2/4
，设人从静止开始以相对绳匀速向上爬
时，绳与滑轮间无相对滑动，求
B端重物上升的加速度？
解一：
分别对人、滑轮与重物列出动力学方程
Mg
T1MaA
人
T2
M
g
M
aB
物
4
4
T1R
T2R
J
滑轮
由约束方程:
aA
aB
R
和
J
2
/4,解上述方程组
MR
得到a
g
.
2
解二：
选人、滑轮与重物为系统，设u为人相对绳的速度，v为重
物上升的速度，注意到u为匀速，du
0
，系统对轴的角动量为：
dt
L
1
M
2
3
4
MvRM（uv）R（R）
MvRMuR
4
2
（B物体）
（人）
（
A物体）
而力矩为：
M
1
3
MgRMgR
MgR，
4
4
根据角动量定理M
dL
有：
3
MgR
d
3
MvR
g
dt
4
dt
（
MuR），∴a。
2
2
5-5．计算质量为m半径为R的均质球体绕其轴线的转动惯量。
解：
设球的半径为
R，总重量为m，体密度
3m
，
4
R3
考虑均质球体内一个微元：
dm
r2
sin
drdd
，
由定义：
考虑微元到轴的距离为
rsin
J
（rsin
）2dm，有：
2
R
）2
r2sin
J
0
0
（rsin
drd
d
0
2
1
5R
（1
cos
2
2
2
r
0[
）dcos]
mR
。
5
0
5
5-6．一轻弹簧与一均匀细棒连接，装置如图所示，已知弹簧的劲
度系数k
40N/m，当
0时弹簧无形变，细棒的质量
m
5.0kg，求在
0
的位置上细棒至少应具有多大的角速度
，才能转动到水平位置？
解：
以图示下方的三角桩为轴，从
0~
900时，
考虑机械能守恒，那么：
1时的机械能为：
l
（重力势能）
1
1
2
2
mg
（
3
ml）
（转动动能），
2
2
90
0时的机械能为：
1
kx2
2
l
1
1
2
2
1
kx
2
有：
mg
（
3
ml
）
2
2
2
根据几何关系：
（x
0
.5）2
1.5
2
12，得：
3.28rads1
5-7．如图所示，一质量为
m、半径为R的圆盘，可绕O轴在铅直面内转动。
若
盘自静止下落，略去轴承的摩擦，求：
（1）盘到虚线所示的铅直位置时，质心C和盘缘A点的速率；
（2）在虚线位置轴对圆盘的作用力。
解：
（1）设虚线位置的C点为重力势能的零点，下降过程机械能守恒，
1
有：
mgRJ2
4g
∴
3R
（2）Fy
2
，而J
1mR2
mR2
3mR2
2
2
vc
R
4Rg
vA
2R
16Rg
3
3
mg（重力）mR
2
7
mg，方向向上。
（向心力）
3
5-8．如图所示，长为
l的轻杆，两端各固定质量分别为
m和2m的小球，杆可绕
水平光滑固定轴
O在竖直面内转动，转轴
O距两端分别为
1
l和2
l．轻杆原来
3
3
静止在竖直位置。
今有一质量为
m的小球，以水平速度
v0与杆下端小球m作对
心碰撞，碰后以
1
v0
的速度返回，试求碰撞后轻杆所获得的角速度。
2
解：
根据角动量守恒，有：
2
l
m
1
2
2l
2
l
2
mv0
v0
lm（）
2m（）
3
2
3
3
3
4
2
2
2
2
1
有：
（
l
l）
v0l
v0l
9
9
3
3
∴3v0
2l
5-9．一质量均匀分布的圆盘，质量为M，半径为R，放在一粗糙水平面上（圆盘
与水平面之间的摩擦系数为），圆盘可绕通过其中
心O的竖直固定光滑轴转动。
开始时，圆盘静止，一质量为m的子弹以水平速度v垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上，求：
（1）子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度；
（2）经过多少时间后，圆盘停止转动。
（圆盘绕通过O的竖直轴的转动惯量为
1
2，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩。
）
MR
2
解：
（1）利用角动量守恒：
mvR
1
2
mR2
MR
2
得：
2mv
；
（2mM）R
（2）选微分dm
rdrd，其中：
面密度
M
，
2
R
R
M
2
Mf
grdm
0
gr
22πrdr
MgR
R
3
∴由Mf
tJ
2
1
2
mR2）0，
有：
MgR
t（MR
3
2
知：
t
2M
2m
R
4Mg
将
2mv
代入，即得：
t
3mv
。
M
2m
2
Mg
R
5-10．有一质量为m1、长为l
的均匀细棒，静止平放
在滑动摩擦系数为
的水平桌面上，它可绕通过其端点
O且与桌面垂直的固定光滑轴转动。
另有一水平运动的质量为m2的小滑块，从侧面垂直于棒与棒的另一端
A相碰撞，设碰撞时间极短。
已知小滑块在碰撞前后的速度分别为v1和v2，如图所示。
求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间。
（已知棒绕O点的转动惯量J
1
2）
m1l
3
解：
由碰撞时角动量守恒，考虑到
v1和v2方向相反，以逆时针为正向，有：
m2v1l
1
1l
2
m2v2l，得：
3m
2（v1
v2）
m
m1l
3
又∵细棒运动起来所受到的摩擦力矩可由积分求得：
Mf
l
m1
gxdx
1
m1
gl，利用
MfJ
d
，有：
0
l
2
dt
1
2
m1
ld
2l
2m2（v1
v2）
t
03
，得：
t
。
dt
1
0
m1gl
3g
m1g
2
5-11．如图所示，滑轮转动惯量为
0.01kg
m
2
，半径为
7cm；物体的质量为
5kg，
用一细绳与劲度系数
k
200N/m
的弹簧相连，若绳与滑轮间无相对滑动，滑轮
轴上的摩擦忽略不计。
求：
（1）当绳拉直、弹簧无伸长时使
物体由静止而下落的最大距离；
（2）物体的速度达最大值时
的位置及最大速率。
解：
（1）设弹簧的形变量为
x，下落最大距离为
xmax
。
1
kxm2
由机械能守恒：
ax
mgxmax，有：
2
xmax
2mg
0.49m；
k
1
kx
2
1
2
1
2
，
（2）当物体下落时，由机械能守恒：
mv
J
mgx
2
2
2
考虑到
v
1
1
1
J
mgx，
R
，有：
kx
2
mR22
2
2
2
2
欲求速度最大值，将上式两边对
x求导，且令d
0，有：
dx
kx
1
（mR
2
J）2
d
mg，将d
0
代入，有：
x
mg
0.245（m），
2
dx
dx
k
∴当x
0.245
m时物体速度达最大值，有：
mgx
1kx2
vm2
ax
1（m
2
，代入数值可算出：
vmax
1.31m/s
。
J
）
2
r2
5-12．设电风扇的功率恒定不变为P，叶片受到的空气阻力矩与叶片旋转的角速
度成正比，比例系数的k，并已知叶片转子的总转动惯量为J。
（1）原来静止
的电扇通电后t秒时刻的角速度；
（2）电扇稳定转动时的转速为多大？
（3）电扇以稳定转速旋转时，断开电源后风叶还能继续转多少角度？
解：
（1）已知Mfk，而动力矩MP，
通电时根据转动定律有：
M
Mf
d
J
dt
t
J
2d，可求得：
P
e
代入两边积分有：
dt
P
（1
0
0
k
k
（2）见上式，当t
时，电扇稳定转动时的转速：
P
；
稳定
2k
t
J
）；
k
P
（3）断开电源时，电扇的转速为0，只有Mf作用，那么：
k
kJ
d
，考虑到d
d
，有：
dt
dt
d
0
得：
J
J
P
。
0
k
k
k
5-13．如图所示，物体A放在粗糙的水平面上，
k0
dd，
J0
与水平桌面之间的摩擦系数为，
细绳的一端系住物体
A，另一端缠绕在半径为
R的圆柱形转轮B
上，物体与转轮
的质量相同。
开始时，物体与转轮皆静止，细绳松弛，若转轮以
0
绕其转轴转
动。
试问：
细绳刚绷紧的瞬时，物体
A的速度多大？
物
体A运动后，细绳的张力多大？
解：
（1）细绳刚绷紧的瞬时前后，把物体
A和转轮B、
绳看成一个系统，系统对转轴圆柱形中心角动量守恒，
J0JRmvA，又vA
R，J
1
2
mR
2
1
3
0
（2）物体A运动后，由牛顿定律：
T
mg
ma
（1）
对转轮B，由定轴转动定律：
TR
J
，
（2）约束关系：
a
R（3）
可求出：
T
1
mg。
3
5-14.质量为m的小孩站在半径为R、转动惯量为J的可以自由转动的水平平台
边缘上（平台可以无摩擦地绕通过中心的竖直轴转动）。
平台和小孩开始时均静止。
当小孩突然一相对地面为
v的速率沿台边缘逆时针走动时，此平台相对地面旋转
的角速度
为多少？
解：
此过程角动量守恒：
mRvJ
0，有：
mRv
。
J
5-15．在半径为R的具有光滑竖直固定中心轴的水平圆盘上，有一人静止站立在
距转轴为1
R处，人的质量是圆盘质量的1/10．开始时盘载人对地以角速度
0匀
2
速转动，现在此人垂直圆盘半径相对于盘以速率
v沿与盘转动相反方向作圆周运
动，如图所
示．
已知圆盘对中心
轴的转动惯量为
1
MR2．求：
R
2
（1）
圆盘对地的角速度．
R/2
1
（2）
欲使圆盘对地静止，人应沿着
v
R圆周对圆盘的速
2
度v的大小及方向？
解：
（1）设当人以速率v沿相对圆盘转动相反的方向走动时，圆盘对地的绕轴角速度为，则人对与地固联的转轴的角速度为
v
2v
①
1R
R
2
人与盘视为系统，所受对转轴合外力矩为零，系统的角动量守恒
升级会员 