向量空间上的线性变换的相关性质.docx

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向量空间上的线性变换的相关性质

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本科毕业论文（设计）

（20××届）

题目：

向量空间上的线性变换的相关性质

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摘要

本文归纳总结了向量空间中的一般线性变换的性质，并对它们的性质进行了研究，得到了一些很好的结果，同时指出了它们之间的某些关系．对其性质和应用的进一步研究，将会优化解题和证明问题的过程，使思维更加简洁，进而降低了线性变换问题的处理难度.

关键词：

向量空间；线性变换；基；子空间；不变子空间；本征子空间；矩阵

Abstract

Thisarticlesumsupthevectorspaceofagenerallineartransformationofnature,andnatureoftheirstudiestoobtainsomegoodresults;alsopointedoutthatacertainrelationshipbetweenthem.Itsnatureandapplicationoffurtherresearchwilloptimizetheprocessofproblemsolvingandproventobemoreconcisethinking,thusreducingtheproblemoflineartransformationdifficulttotreat.

Keywords：

vectorspace；lineartransformations；basis；subspaces；invariantsubspace；intrinsicsubspace；matrix

在高等代数的教学中，向量空间中的线性变换是主要研究对象之一，“线性变换”也

是难点，究其原因主要有2个方面：

一是线性空间的概念比较抽象；二是涉及的概念与问题比较多，而现行的教材对于这些概念多用文字描述或用孤立的几个式子表达，没有形成一个便于推演的形式系统．由于这2个方面的原因使得线性变换的问题没有一个统一的解决框架，造成了“线性变换”难教、难学的局面．

1.准备知识

定义1.1令是一个数域．中元素用小写拉丁字母来表示．令是一

个非空集合．中元素用小写黑体希腊字母来表示．我们把中元素叫做向量而把中元素叫做标量．如果下列条件被满足，就称是上一个向量空间：

1．在中定义了一个加法．对于中任意两个向量，，有中一个唯一确定的向

量与它们对应，这个向量叫做与的和，并且记作．

2．有一个标量与向量的乘法．对于中每一个数和中每一个向量，有中一个

唯一确定的向量与它们对应，这个向量叫做与的积，并且记作．

3．向量的加法和标量与向量的乘法满足下列算律：

1）；

2）；

3）中存在一个零向量，记作，它具有以下性质：

对中每一向量，都有；

4）对于中每一向量，在中存在一个向量，使得．这样的叫做

的负向量；

5）；

6）；

7）；

8）．

这里是中任意向量，而是中任意数．

定义1.2令是数域上的向量空间的一个非空子集．如果对于的加法以及标量与向量的乘法来说是封闭的，那么就称是的一个子空间．向量空间和零空间叫做的平凡子空间，否则为的非平凡子空间．

定义1.3令是数域上一个向量空间，是的一个线性变换，如果的一个子空间满足，说是在线性变换之下不变，如果子空间在之下不变，那么就叫做的一个不变子空间．向量空间和零空间叫做的平凡不变子空间，否则为的非平凡不变子空间．

定义1.4设是数域上一个向量空间．中满足下列两个条件的向量组叫做的一个基：

（i）线性无关；

（ii）的每一个向量都可以由线性表示．

定义1.5一个向量空间的基所含向量的个数叫做的维数．

定义1.6设是线性变换的一个本征值，则称是的属于本征值的本征子空间．

定义1.7设和是数域上的向量空间，到的一个映射叫做一个同构映射，如果

（i）是到的一一映射；

（ii）对于任意，；

（iii）对于任意,,．

2.线性变换及其性质

定义2.1设是数域上的向量空间，是到的一个变换．如果下列条件被满足，就称是到的一个线性变换：

（i）对于任意，；

（ii）对于任意,,．

如果对于的每一个向量，都有，则称为的零变换；取定的一个数，对任意，都有，称为的位似变换；特别，当时，那么对任意，都有，称为的恒等变换或单位变换．

定义2.2向量空间在之下的像是的一个子空间，叫做的像．记作，即；的零子空间在之下的原像是的一个子空间，叫做的核．记作

，即．

我们用表示向量空间的一切线性变换所成的集合．

设，，令与它对应，这样得到到自身的一个映射，叫做与的和，记作．

．

也是的一个线性变换．线性变换的加法满足交换律和结合律．容易证明，对任意，以下等式成立：

（1）；

（2）；

（3）；（表示零变换）

（4）；

（5）；

（6）；

（7）；

（8）．

这里.

这样，我们得到

定理2.3对于加法和数与线性变换的乘法来说作成数域上一个向量空间．

定理2.4设和是数域上的向量空间，而是一个线性映射.那么

的任意子空间在之下的像是的一个子空间．而的任意子空间在之下的原像是的一个子空间．

证设是的一个子空间，因，，所以，均非空．若，是的任意向量，那么总有，，使得，．因为是线性映射，所以对于任意，

但是的子空间，所以，因而，这就证明了是的一个子空间．

现设是的一个子空间．令是在之下的原像，显然，如果，，那么，．因为是线性映射而是子空间，，，即．这就证明了是的一个子空间．

定理2.5设和是数域上的向量空间，而是一个线性映射.那么

（i）是满射；

（ii）是单射；

证（i）若是满射，，，，又，；

反之，若，即，有，，是满射．

（ii）若是单射，那么只能含有唯一的零向量．反过来，设．如果而．那么，从而，所以，即是单射．

定理2.6设．证明

（1）当且仅当；

（2）；

（3）．

证

（1）必要性：

，，，，，，．

充分性：

若，，，，，

，即．

（2），，，，，．

（3），，则存在，使，令，显然有

，且，，，

即．

定理2.7令是数域上向量空间的线性变换，并且满足条件．证明：

（i）；

（ii）；

（iii）若是的一个线性变换，则和都在之下不变．

证（i）若，则，从而，即

．另一方面，，，使得，，，，．

综上，．

（ii）先证，，令，因为，，，又是的线性变换，，；再证，任取，，，

有．一方面，，另一方面，，，即．综上所述：

．

（iii）必要性：

，由于，，所以

，因，且

在之下不变，所以，从而，而也在之下不变，故，即存在，使得，从而

，由的任意性知．

充分性：

，，使得，故，

，，，，于是，，和都在之下不变．

定理2.8设和都是数域上的向量空间，且．令是到的一个

线性映射，我们如此选取的一个基：

使得是的一个基．证明：

（i）组成的一个基；

（ii）．

证（i）是的一个基，所以对任意，则，

，而，，即中的任意元素可

由线性表示，下证线性无关：

令，

，，，故存在一组数，

使得，即，又为的一个基，故线性无关，即是，线性无关，从而构成的基．

（ii）由（i）知，，从而．

现在设是数域上的一个维向量空间．令是的一个线性变换．取定的一个

基，考虑中任意向量．仍是的一个向量．

（1）　．

自然要问，如何计算的坐标．

令

，

（2），

…………………………………，

．

这里，就是关于基的坐标．令　　

阶矩阵叫做线性变换关于基的矩阵．矩阵的第列的元素就是关于基的坐标．

这样取定上维向量空间的一个基之后，对于V的每一线性变换,有唯一确定的上阶矩阵与之对应．

为了计算关于基的坐标,我们把等式

（1）写成矩阵形式的等式

（3）

设

因为是线性变换，所以

（4）

将（3）带入（4）得

最后等式表明，关于的坐标所组成的列是，比较等式

（1），我们得到

定理2.9令是数域上的一个维向量空间，是的一个线性变换，而关于的一个基的矩阵是.如果中向量关于这个基的坐标是，而的坐标是，那么

．

定理2.10设是数域上的一个维向量空间，是的一个基，那么对于中任意个向量，恰有的一个线性变换，使得，

证　设是中任意向量．我们如下地定义到自身的一个映射：

．我们证明，是的一个线性变换．设

．

那么　．

于是

设．那么

这就证明了是的一个线性变换．线性变换显然满足定理要求的条件：

，．

如果是的一个线性变换，且，．

那么对于任意，

从而．

定理2.11设是数域上的维向量空间的一个线性变换.令是的两两不同的本征值，是的属于本征值的本征子空间，证明．

证依题，任取，，，有，，即存在，使，从而，，两边用作用即得：

同理可得

．

联立以上个方程

由知，矩阵可逆，从而，即，所以，从而，故命题得到证明．

定理2.12设是数域上的维向量空间的一个可以对角化的线性变换.令是的全部本征值．证明：

存在的线性变换，使得

（i）;

（ii），是单位变换；

（iii），若，是零变换；

（iv），；

（v），是的属于本征值的本征子空间，．

证（i）对任意，定义：

，因为是可以对角化的线性变换，所以，其中为的重数．再由定理2.11知道，

，

于是

，

又因为

从而．

（ii）因为

，

所以，是单位变换．

（iii）因为

，

所以时，有，是零变换．

（iv）当时，由（iii）知，又，所以，．

（v）又对任意，有，，从而，是的属于本征值的本征子空间，．

定理2.13设是数域上的维向量空间到自身的一个线性映射．和是的子空间，并且．证明：

是双射的充要条件是．

证必要性：

取的一个基，其中为一个基，为的基，则由是双射有也是的一个基．且有，，从而

且有

．

充分性：

，，，因此

，，是满射．下面用反证法证明是单射，否则存在，，使得，即，从而存在，使，因此，由定理2.8知，，这与是满射矛盾．

定理2.14令是数域上向量空间的一些线性变换所成的集合．的一个子空间如果在中每一线性变换下不变，那么就说是的一个不变子空间．如果在中没有非平凡的不变子空间，说是不可约的．设不可约，而是的一个线性变换，它与中每一线性变换可交换．试证明：

或者是零变换，或者是非奇异变换．

证取，，，，，，

，由的任意性知是的不变子空间，不可约，或．

若，由定理2.5（ii）知，是单射．又，即，故是满射，从而是双射．即是非奇异的．

若，则是零变换．

定理2.15设是有限维向量空间的一个线性变换．而是的一个不变子空间，证明：

如果有逆变换，那么也在之下不变．

证设，，若，结论显然成立．

若取一个基，则它们线性无关，依题是到自身的同构映射，所以仍线性无关，因为，所以也是的一个基，所以任意，，所以

，即是也在之下不变．

利用定理2.10，容易证明：

定理2.16设是数域上的一个维向量空间，是的一个基．对于的每一线性变换，令关于基的矩阵与它对应．这样就得到的全体线性变换所组成的集合到上全体阶矩阵所成的集合的一个双射．并且如果，而

，，

那么

（5），，．

（6）．

证　设线性变换关于基的矩阵是．那么是到得一个映射．反过来，设

是上任意一个阶矩阵．令，．

由定理2.10知道，存在唯一的使，．显然关于基的矩阵就是．这就证明了如上建立的映射是到的双射．

设，．我们有

由于是线性变换，所以，．

所以关于基的矩阵就是．（6）式成立．至于（5）式成立