平面直角坐标系知识点汇总.docx

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平面直角坐标系知识点汇总

平面直角坐标系知识点汇总

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平面直角坐标系

平面直角坐标系的有关概念

夯实基础

1．有序数对

在日常生活中，可以用有序数对来描述物体的位置，这样可以用含有两个数的组合来表示一个确定的位置，其中两个数各自表示不同的含义，我们把这种有顺序的两个数与组成的数对，叫做有序数对，记作。

温馨提示

与顺序不同，含义就不同。

例如：

用表示第3列的第5位同学，那么就表示第5列的第3位同学。

例1：

（1）在一层的电影院内如何找到电影票上所指的位置？

（2）在电影票上，如果把“5排8号”简记为（5,8），那么“4排9号”如何表示？

（8,3）表示什么含义？

二．平面直角坐标系

相关概念

具体内容

平面直角坐标系

定义

在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系

两轴

水平的数轴叫做轴或横轴，取向右为正方向；垂直的数轴叫做轴或纵轴，取向上为正方向

原点

两轴的交点为平面直角坐标系的原点

坐标平面

坐标系所在的平面叫做坐标平面

3．象限

轴和轴把坐标平面分成四个部分，称为四个象限，按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，如图。

第四象限

第三象限

第一象限

第二象限

温馨提示

如果所表示的平面直角坐标系具有实际意义，一般在表示横轴、纵轴的字母后附上单位。

例2：

设为平面直角坐标系中的点。

（1）当时，点位于第几象限？

（2）当时，点位于第几象限？

4．点的坐标

对于坐标平面内的任意一点，过点分别向轴、轴作垂线，垂足在轴、轴上对应的数、分别叫做点的横坐标和纵坐标，有序数对叫做点的坐标，记作，如图。

1.已知坐标平面内的点，确定点的坐标

先由已知点分别向轴、轴作垂线，设垂足分别为、，再求出垂足在轴上的坐标与垂足在轴上的坐标，最后按顺序写成即可。

2.已知点的坐标确定点的位置

若点的坐标是，先在轴上找到坐标为的点，在轴上找到坐标为的点；再分别过点、点作轴、轴的垂线，两垂线的交点就是所要确定的点。

例3：

如图所示，在平面直角坐标系内有两点、。

（1）分别写出它们的坐标；

（2）在平面内找出一点，使它的坐标为。

掌握方法

1．有序数对的应用方法

表示物体的位置需要用两个数，这两个数顺序不同，表示的位置也不同。

用有序数对表示位置时，必须明确前后两个数表示的实际意义。

例1：

如图是中国象棋一次对局时的部分示意图，若“帅”所在的位置用有序数对（5,1）表示，请你用有序数对表示其他棋子的位置。

2．坐标平面中点的位置的确定

北

确定点在坐标平面中的位置，关键是根据不同象限中点的坐标特征去判断横坐标、纵坐标是大于0，等于0，还是小于0，就可以确定点在坐标平面中的位置。

东

西

例2：

如图小明从点出发，先向西走40米，再向南走30米到达点，如果点的位置用表示，那么表示的是（）

A.点AB.点B

C.点CD.点D

南

三．用坐标表示地理位置的方法

用坐标表示地理位置时，一是要选择适当的位置为坐标原点，要以能简洁地确定平面内的点的坐标为原则；二是坐标轴的方向通常是以正北为纵轴的正方向，这样可以使东南西北方向与地理位置方向一致；三是要注意标明比例尺和坐标轴上的单位长度。

例3：

根据以下条件画一幅示意图，指出学校和小刚家、小强家、小敏家的位置。

小刚家：

出校门向东走1500米，再向北走2000米。

小强家：

出校门向西走2000米，再向北走3500米，最后再向东走500米。

小敏家：

出校门向南走1000米，再向东走3000米，最后向南走750米。

平面直角坐标系

点的坐标的有关性质

夯实基础

1．各象限内点的坐标的符号特征

1.点在第一象限

2.点在第二象限

3.点在第三象限

4.点在第一象限

温馨提示

四个象限之间均没有公共点。

例1：

若点在第三象限，则点在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

2．坐标轴上点的坐标特征

坐标轴上点的坐标特征：

1.点在轴上

2.点在轴上

3.点是坐标原点

温馨提示

①原点既是轴上的点，又是轴上的点。

②点的横坐标或纵坐标为0，说明点在轴或轴上。

例2：

指出下列各点所在象限或所在坐标轴：

，，，，，。

三．象限角的平分线上的点的坐标特征

1.第一、三象限的角平分线上的点的横、纵坐标相等。

2.第二、四象限的角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数。

温馨提示

①原点既是轴上的点，又是轴上的点。

②点的横坐标或纵坐标为0，说明点在轴或轴上。

例3：

已知点，当为何值时：

（1）点在第二、四象限的角平分线上？

（2）点在第一、三象限的角平分线上？

4．与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征

1.平行于轴的直线上的点的纵坐标都相等。

2.平行于轴的直线上的点的横坐标都相等。

温馨提示

①若∥轴，则，的纵坐标相等，即；若，，且，，则∥轴。

②若∥轴，则，的横坐标相等，即；若，，且，，则∥轴。

例4：

已知平面直角坐标系内两点，。

（1）若直线∥轴，则，；

（2）若直线∥轴，则，。

5．点到坐标轴的距离

点的坐标为，那么点到轴的距离为这点纵坐标的绝对值，即。

点到轴的距离为这点横坐标的绝对值，即。

温馨提示

①已知点的坐标可以求出点到轴、轴的距离，应注意取相应坐标的绝对值。

②由点到轴、轴的距离可以求出点的坐标，但要注意讨论。

③点到原点的距离为。

例5：

已知点到轴的距离是2，到轴的距离是1，求点的坐标。

6．平面直角坐标系内的图形变换

1.用坐标表示对称

（1）点与点关于轴（横轴）对称，则横坐标相同，纵坐标互为相反数；

（2）点与点关于轴（纵轴）对称，则纵坐标相同，横坐标互为相反数；

（3）点与点关于原点对称，则横、纵坐标分别互为相反数。

简单记为“关于谁谁不变，关于原点都改变”。

温馨提示

①点关于第一、三象限角平分线对称的点的坐标为；关于第二、四象限角平分线对称的点的坐标为。

②在平面直角坐标系中，作已知图形关于轴或轴对称的图像，只要先求出已知图形中的一些特殊点（如多边形的顶点）的对称点的坐标，描出并连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形。

例6：

已知在平面直角坐标系中，、。

（1）当、为何值时，、关于轴对称？

（2）当、为何值时，、关于轴对称？

（3）当、为何值时，、关于原点对称？

2.用坐标表示平移

（1）当图形中所有的点的横坐标都加上或者减去同一个正数，纵坐标不变时，图形会水平向右或向左平移个单位；在平面直角坐标系中，将点向右（或左）平移

个单位长度，可以得到对应点（或）；

（2）当图形中所有的点的纵坐标都加上或者减去同一个正数，横坐标不变时，图形会向上或向下平移个单位；在平面直角坐标系中，将点向上（或向下）平移个单位长度，可以得到对应点（或）。

温馨提示

图形的平移是指坐标系中，在保持坐标轴不动的情况下，图形的整体移动。

在平移变换下，图形的形状及大小不变，变的仅仅是图形的位置。

例7：

如图，已知，，把线段平移，使点移动到点处，这时点移动到点处。

（1）画出平移后的线段，并写出点的坐标；

（2）如果平移时只能左右或者上下移动，叙述线段是怎样移到的。

掌握方法

1．利用点坐标的符号特征解题的方法

各象限的坐标符号：

第一象限内点的横、纵坐标皆为正数，即；第二象限内点的横坐标为负数，纵坐标为正数，即；第三象限内点的横、纵坐标皆为负数，即；第四象限内点的横坐标为正数，纵坐标为负数，即。

例1：

在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则的取值范围为（）

A.B.

C.D.

2．点到坐标轴的距离的应用方法

点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两方面：

①到轴的距离与纵坐标有关，到轴的距离与横坐标有关。

②距离都是非负数，而坐标可以是负数。

例2：

已知点和到轴的距离相等，且∥轴，则的值为（）

A.0B.-1C.1D.2

3．利用图形的平移确定变化的坐标的方法

将一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数，再把纵坐标都加上（或减去）一个正数，相应的新图形就是把原图形先向右（或向左）平移个单位，再向上（或向下）平移个单位。

例3：

如图，的坐标分别为，，若将线段平移至，则的值为（）

A.2B.3

C.4D.5

四．利用图形的对称确定变化的坐标的方法

作图形的对称变换时，首先要找出关键点的对称点。

关于轴对称时，点的横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于轴对称时，点的纵坐标不变，横坐标互为相反数；关于原点对称时，横、纵坐标都互为相反数。

例4：

如果矩形的对角线的交点与平面直角坐标系的原点重合，且点和点的坐标分别为和，则矩形的面积为。