学年高中数学苏教版必修四教学案第1章 12 任意角的三角函数含答案.docx
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学年高中数学苏教版必修四教学案第1章12任意角的三角函数含答案
第1课时 任意角的三角函数
如图，直角△ABC.
问题1：
如何表示角A的正弦、余弦、正切值？
提示：
sinA＝
，cosA＝
，tanA＝
.
问题2：
如图，锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在α终边上任取一点P（a，b），作PM⊥x轴，如何用图中的数据表示sinα，cosα，tanα？
提示：
∵PM⊥x轴，∴△OPM为直角三角形，
∴|OP|＝
＝
，
∴sinα＝
＝
，cosα＝
＝
，
tanα＝
＝
.
在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是（x，y），它与原点的距离为r（r＝
>0）规定：
三角函数
定义
定义域
正弦
sinα＝
R
余弦
cosα＝
R
正切
tanα＝
{α|α≠kπ＋
，k∈Z}
问题1：
由三角函数的定义知sinα在什么条件下函数值为正？
提示：
α的终边在第一、二象限或y轴正半轴．
问题2：
tanα在什么情况下为负数？
提示：
因tanα＝
，则x、y异号为负数，即α的终边在二、四象限为负数．
三角函数值在各象限内的符号，如图所示：
如图，由单位圆中的三角函数的定义可知sinα＝y，cosα＝x，tanα＝
.
问题：
sinα是否等于PM的长？
若不等，怎样才能相等？
提示：
不一定，可能等于PM的长，也可能等于PM长的相反数，把MP看成有向线段即可．
1．有向线段
规定了方向（即规定了起点和终点）的线段．
2．有向线段数量
根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反，分别把它的长度添上正号或负号，这样所得的数，叫做有向线段的数量．
3．单位圆
圆心在原点，半径等于单位长度的圆．
4．三角函数线
设角α的终边与单位圆的交点为P，过点P作x轴的垂线，垂足为M.
（1）则有向线段MP、OM就分别是角α的正弦线与余弦线，即MP＝sinα，OM＝cosα；
（2）过点A（1,0）作单位圆的切线，设这条切线与角α的终边或角α终边的反向延长线交于点T，则有向线段AT就是角α的正切线，即AT＝tan_α.
1．三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P（x，y）在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定，即三角函数值的大小只与角有关．
2．三角函数值的符号，用角α的终边所处的位置确定，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
3．正弦线、余弦线、正切线这三种三角函数线都是一些特殊的有向线段，是与坐标轴垂直的线段．这些线段分别可以表示相应三角函数的值，它们是三角函数的一种几何表示．
[例1] 已知角α的终边上有一点P（－3a,4a）（a≠0），求2sinα＋cosα的值．
[思路点拨] 由三角函数的定义求三角函数时，应先确定α终边位置．由于含有参数a，而a的条件为a≠0，所以必须对a进行分类讨论．
[精解详析] ∵x＝－3a，y＝4a，
∴r＝
＝5|a|.
当a>0时，r＝5a，角α为第二象限角，
∴sinα＝
＝
＝
，
cosα＝
＝
＝－
，
∴2sinα＋cosα＝2×
－
＝1.
当a<0时，r＝－5a，角α为第四象限角，
∴sinα＝
＝
＝－
，
cosα＝
＝
＝
，
∴2sinα＋cosα＝2×
＋
＝－1.
[一点通] 已知角的终边上一点，求该角的三角函数值，一般是先求出该点到原点的距离r，再由三角函数的定义求出三角函数值．当点的坐标有字母时，由于字母符号未知，所以点所在象限不确定，因此要根据情况进行分类讨论，避免漏解．
1．角α的终边过点P（－8m，－6cos60°）且cosα＝－
，则m的值是____________．
解析：
P（－8m，－3），
由cosα＝－
可得
＝－
，
解得m＝
（m＝－
不合题意，舍去）．
答案：
2．已知角α终边上点P（x,3）（x≠0），且cosα＝
x，求sinα，tanα.
解：
∵r＝
，cosα＝
，
∴
x＝
.
又x≠0，则x＝±1.
∵y＝3＞0，
∴α在第一或第二象限．
当α在第一象限时，sinα＝
，tanα＝3.
当α在第二象限时，sinα＝
，tanα＝－3.
3．已知角的终边落在直线y＝2x上，求sinα，cosα，tanα的值．
解：
（1）当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P（1，2），由r＝|OP|＝
＝
，
得sinα＝
＝
，cosα＝
＝
，tanα＝2.
（2）当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q（－1，－2），由r＝|OQ|＝
＝
，
得sinα＝
＝－
，cosα＝
＝－
，tanα＝2.
[例2] 确定下列式子的符号：
（1）tan108°·cos305°；
（2）
；
（3）tan191°－cos191°；（4）sin3·cos4·tan5.
[思路点拨] 角度确定了，所在的象限就确定了，三角函数值的符号也就确定了，因此只需确定角所在象限，即可进一步确定各式的符号．
[精解详析]
（1）∵108°是第二象限角，∴tan108°<0.
∵305°是第四象限角，∴cos305°>0.
从而tan108°·cos305°<0，∴式子符号为负．
（2）∵
是第二象限角，
是第四象限角，
是第二象限角．
∴cos
<0，tan
<0，sin
>0.
从而
>0.
∴式子符号为正．
（3）∵191°是第三象限角，
∴tan191°>0，cos191°<0.
∴tan191°－cos191°>0.
∴式子符号为正．
（4）∵
<3<π，π<4<
，
<5<2π，
∴sin3>0，cos4<0，tan5<0.
∴sin3·cos4·tan5>0.
∴式子符号为正．
[一点通] 对于已知角α，判断α的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理．
4．判断下列各式的符号：
（1）sin105°·cos230°；
（2）cos3·tan
.
解：
（1）∵105°、230°分别为第二、第三象限角，
∴sin105°＞0，cos230°＜0.
于是sin105°·cos230°＜0.
（2）∵
＜3＜π，∴3是第二象限角，
∴cos3＜0，
又－
是第三象限角，∴tan
＞0，
∴cos3·tan
＜0.
5．已知sinα·tanα>0，则α是第几象限角？
解：
∵sinα·tanα>0，∴
或
当sinα>0，且tanα>0时，α为第一象限角；
当sinα<0，且tanα<0时，α为第四象限角．
∴α为第一、四象限角.
[例3] 分别作出
和
的正弦线、余弦线和正切线，并比较sin
与sin
，cos
与cos
，tan
与tan
的大小．
[思路点拨] 作三角函数线的关键是画出单位圆和角的终边；比较三角函数值的大小时依据三角函数线的长度和正负．
[精解详析] 在直角坐标系中作单位圆如图，以Ox轴正方向为始边作
的终边与单位圆交于P点，作PM⊥Ox轴，垂足为M，由单位圆与Ox正方向的交点A作Ox轴的垂线与OP的反向延长线交于T点，则sin
＝MP，cos
＝OM，tan
＝AT.
同理，可作出
的正弦线、余弦线和正切线，
sin
＝M′P′，cos
＝OM′，tan
＝AT′.
由图形可知：
MP>M′P′，符号相同⇒sin
>sin
，
OM>OM′，符号相同⇒cos
>cos
，AT符号相同⇒tan
.
[一点通] 利用三角函数线比较三角函数值的大小，关键在于准确作出正弦线、余弦线、正切线，并注意它们为有向线段，方向代表三角函数值的符号，然后结合图形作出判断．
6．sin1，sin1.2，sin1.5三者的大小关系是________．
解析：
在同一单位圆中画出三个角的正弦线作出比较可得．
答案：
sin1.5>sin1.2>sin1
7．利用三角函数线，求满足下列条件的角x的集合．
（1）sinx≤
；
（2）cosx＜
.
解：
（1）利用角x的正弦线，作出满足sinx≤
的角x的终边所在位置的范围．如图
（1）的阴影部分，由图形得角x的集合为
.
（2）利用角x的余弦线，作出满足cosx＜
的角x的终边所在位置的范围，如图
（2）的阴影部分，由图形得角x的集合为
.
1．准确理解三角函数的定义
根据三角函数的定义，各三角函数值的大小与在终边上所取的点的位置无关，只与角α的大小有关，即它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．定义中的α是任意角，但对于一个确定的角，只要各个三角函数有意义，其值就是唯一的．
2．确定三角函数的符号
根据三角函数的定义可知，正弦值、余弦值的符号分别取决于纵坐标y、横坐标x的符号；正切值则是纵坐标y、横坐标x同号时为正，异号时为负．
3．三角函数线的应用
三角函数线的方向和长短直观反映了三角函数值的符号和绝对值的大小，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的符号，从三角函数线的长度可以看出三角函数值的绝对值大小．
课下能力提升（三）
一、填空题
1．若α是第三象限角，则
－
＝________.
解析：
∵α是第三象限角，
∴sinα＜0，cosα＜0，
∴
－
＝－1－（－1）＝0.
答案：
0
2．有下列命题：
（1）若sinα>0，则α是第一、二象限的角；
（2）若α是第一、二象限角，则sinα>0；
（3）三角函数线不能取负值；
（4）若α是第二象限角，且P（x，y）是其终边上一点，则cosα＝
.
其中正确的序号是________．
解析：
只有
（2）正确；∵sin
＝1>0，但
不是第一、二象限角，∴
（1）不正确；三角函数线是三角函数值的几何表示，其数量可正可负，也可为0，∴（3）不正确；（4）应是cosα＝
（∵α是第二象限角，已有x<0），∴（4）不正确．
答案：
（2）
3．已知角α的终边经过点（3a－9，a＋2），且sinα＞0，cosα≤0，则α的取值范围是________．
解析：
由cosα≤0及sinα＞0知角α的终边在第二象限或y轴的正半轴上．
故
∴－2＜a≤3.
答案：
（－2,3]
4．角α的终边上有一点P（a,4），且tanα＝
，则3sinα－
2cosα的值为________．
解析：
∵tanα＝
，∴a＝3.
∴r＝
＝5，sinα＝
，cosα＝
，
∴3sinα－2cosα＝
－
＝
.
答案：
5．依据三角函数线，作出如下四个判断：
①sin
＝sin
；
②cos
＝cos
；
③tan
>tan
；
④sin
>sin
.
其中判断正确的有________．
解析：
分别作出各角的三角函数线，可知：
sin
＝－sin
，cos
＝cos
，tan
，sin
>sin
，
∴②④正确．
答案：
②④
二、解答题
6．已知角α的顶点在原点，始边为x轴的正半轴，若角α终边过点P（－
，y），且sinα＝
y（y≠0），判断角α所在的象限，并求cosα的值．
解：
依题意，P到原点O的距离
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