高考全国1卷理科数学试题及答案word版.docx
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高考全国1卷理科数学试题及答案word版
2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．）
1．设
1i
z2i
1i
，则z（）
A．0B．
1
2
C．1D．2
2．已知集合
2
Ax|xx20，则eRA（）
A．x|1x2B．x|1≤x≤2
C．x|x1x|x2D．x|x≤1x|x≥2
3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村
的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是（）
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4．记Sn为等差数列an的前n项和．若
3SSS，a12，则a3（）
324
A．12B．10C．10D．12
5．设函数
312
fxxaxax．若fx为奇函数，则曲线yfx在点0，0处的切线方程为
（）
A．y2xB．yxC．y2xD．yx
1/36
6．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB（）
A．
31
ABACB．
44
13
ABAC
44
C．
31
ABACD．
44
13
ABAC
44
7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图所示，圆柱表面上的点
M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，
则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）
A．217B．25C．3D．2
8．设抛物线
24
C：
yx的焦点为F，过点2，0且斜率为
2
3
的直线与C交于M，N两点，则
FMFN（）
A．5B．6C．7D．8
9．已知函数
fx
x
e，x≤
0
lnx，x0
，gxfxxa，若gx存在2个零点，则a的取值范围是（）
A．1，0B．0，C．1，D．1，
10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分
别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC，△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色
部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为
p，
1
p，p3，则（）
2
A．p1p2B．p1p3C．p2p3D．p1p2p3
11．已知双曲线
2
x
21
C：
y，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交
3
点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则MN（）
A．
3
2
B．3C．23D．4
12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面
积的最大值为（）
2/36
A．
33
4
B．
23
3
C．
32
4
D．
3
2
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
x2y2≤0
13．若x，y满足约束条件xy1≥0
，则z3x2y的最大值为________．
y0
≤
14．记Sn为数列an的前n项和．若21
Sa，则
nn
S________．
6
15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________
种．（用数字填写答案）
16．已知函数fx2sinxsin2x，则fx的最小值是________．
三、解答题（共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题
考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
）
（一）必考题：
共60分。
17．（12分）
在平面四边形ABCD中，∠ADC90，∠A45，AB2，BD5．
⑴求cos∠ADB；
⑵若DC22，求BC．
18．（12分）
如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的
中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，
且PF⊥BF．
⑴证明：
平面PEF⊥平面ABFD；
⑵求DP与平面ABFD所成角的正弦值．
3/36
19．（12分）
设椭圆
2
x
21
C：
y的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为2，0．
2
⑴当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
⑵设O为坐标原点，证明：
∠OMA∠OMB．
20．（12分）
某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验
出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否
对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为p0p1，且各件产品是否为不合格
品相互独立．
⑴记20件产品中恰有2件不合格品的概率为fp，求fp的最大值点p0；
⑵现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以⑴中确定的
p作为p的值．已知每件
0
产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
21．（12分）
已知函数
1
fxxalnx
x
．
⑴讨论fx的单调性；
⑵若fx存在两个极值点
x，
1
x，证明：
2
fxfx
12
xx
12
a
2
．
4/36
（二）选考题：
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：
坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线
C的方程为ykx2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立
1
极坐标系，曲线C的极坐标方程为
2
22cos30．
⑴求
C的直角坐标方程；
2
⑵若
C与
1
C有且仅有三个公共点，求
2
C的方程．
1
23．[选修4—5：
不等式选讲]（10分）
已知fxx1ax1．
⑴当a1时，求不等式fx1的解集；
⑵若x∈0，1时不等式fxx成立，求a的取值范围．
5/36
6/36
7/36
8/36
9/36
10/36
2017年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理科）
第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：
本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的．
（1）【2017年山东，理1，5分】设函数y4x2的定义域为A，函数yln（1x）的定义域为B，
则AB（）
（A）1,2（B）（1,2（C）2,1（D）2,1）
【答案】D
【解析】由
故选D．
2
4x0得2x2，由1x0得x1，AB={x|2x2}{x|x1}{x|2x1}，
（2）【2017年山东，理2，5分】已知aR，i是虚数单位，若za3i，zz4，则a（）
（A）1或1（B）7或7（C）3（D）3
【答案】A
【解析】由za3i,zz4得
234
a，所以a1，故选A．
（3）【2017年山东，理3，5分】已知命题p：
x0，ln（x1）0；命题q：
若ab，则
22
ab，
下列命题为真命题的是（）
（A）pq（B）pq（C）pq（D）pq
【答案】B
【解析】由x0时x11,ln（x1）有意义，知p是真命题，由
2222
21,21;12,
（1）
（2）可知q
是假命题，
即p，q均是真命题，故选B．
xy30
（4）【2017年山东，理4，5分】已知x、y满足约束条件，则zxy2的最大值是（）
3xy50
x30
（A）0（B）2（C）5（D）6
【答案】C
xy30
【解析】由3x+y50
画出可行域及直线x2y0如图所示，平移x2y0发现，
x30
当其经过直线3xy50与x3的交点（3,4）时，zx2y最大为
z3245，故选C．
（5）【2017年山东，理5，5分】为了研究某班学生的脚长x（单位：
厘米）和身高y（单
位：
厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有
1010
线性相关关系，设其回归直线方程为ybxa，已知
x225，
i
y1600，b4，
i
i1i1
该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（）
（A）160（B）163（C）166（D）170
【答案】C
【解析】x22.5,y160,a160422.570,y42470166，故选C．
（6）【2017年山东，理6，5分】执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x值为7，
第
二次输入的x值为9，则第一次、第二次输出的a值分别为（）
（A）0，0（B）1，1（C）0，1（D）1，0
11/36
【答案】D
【解析】第一次
22
x7,27,b3,37,a1；第二次
22
x9,29,b3,39,a0，故选D．
（7）【2017年山东，理7，5分】若ab0，且ab1，则下列不等式成立的是（）
（A）
1b
alog（ab）
2
a
b2
b
（B）log2（ab）a
a
2
1
b
1
（C）alog2（ab）
b
b
a
2
（D）
log（ab）a
2
1
b
b
a
2
【答案】B
【解析】
选B．
b
a1,0b1,1,log（ab）log2ab1,
a22
2
1
a
11
baabaab
2log（）
2
bb
，故
（8）【2017年山东，理8，5分】从分别标有1，2，⋯，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次
抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（）
（A）
5
18
（B）
4
9
（C）
5
9
（D）
7
9
【答案】C
【解析】
12
2CC5
54
989
，故选C．
（9）【2017年山东，理9，5分】在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若ABC为锐
角三角形，且满足sinB（12cosC）2sinAcosCcosAsinC，则下列等式成立的是（）
（A）a2b（B）b2a（C）A2B（D）B2A
【答案】A
【解析】sin（AC）2sinBcosC2sinAcosCcosAsinC所以
2BsiCnAcoCs，BAba
故选A．
（10）【2017年山东，理10，5分】已知当x0,1时，函数
2
y（mx1）的图象与yxm的图象有
且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（）
（A）0,123,（B）0,13,（C）0,223,（D）0,23,
【答案】B
【解析】当0m1时，11
m
递增，且
，
2
y（mx1）单调递减，且
22
y（mx1）[（m1）,1]，yxm单调
yxmmm，此时有且仅有一个交点；当m1时，
[,1]
1
01
m
，
2
y（mx1）在
1
[,1]
m
上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需
2
（m1）1mm3，故选B．
第II卷（共100分）
二、填空题：
本大题共5小题，每小题5分
n
（11）【2017年山东，理11，5分】已知（13x）的展开式中含有
2
x的系数是54，则n．
【答案】4
【解析】
r
rrrr
r1Cn3xCn3x，令r2得：
22
Cn354，解得n4．
（12）【2017年山东，理12，5分】已知
e、e2是互相垂直的单位向量，若3e1e2与e1e2的夹角
1
为60，则实数的值是．
【答案】
3
3
【解析】
22
3eeee3e3eeeee3，
1212112122
3ee3ee
1212
2
22
3e23eee2，
1122
22222
e1e2e1e2e12e1e2e21，
12/36
22
321cos601，解得：
3
3
．
1
（13）【2017年山东，理13，5分】由一个长方体和两个
圆柱体构成的几何体的三视4
图如
图，则该几何体的体积为．
【答案】2
2
【解析】该几何体的体积为
1
2
V1122112
42
．
（14）【2017年山东，理14，5分】在平面直角坐标系xOy中，双曲线
右支与焦
22
xy
221（a0，b0）的
ab
点为F的抛物线
22
xpy（p0）交于A、B两点，若AF＋BF＝4OF，则该双曲线的渐近
线方程
为．
【答案】
2
yx
2
ppp
【解析】|AF||BF|=yy4yyp，因为
ABAB
222
22
xy
22
ab
1
22222
ay2pbyab0
，
2
x2py
所以
2
2pb
yypa2b
AB2
a
渐近线方程为
2
yx．
2
x
（15）【2017年山东，理15，5分】若函数ef（x）（e2.71828是自然对数的底数）在f（x）的定义
域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质。
下列函数中所有具有M性质的函数的序号为．
xx
①f（x）2②f（x）3③
3
f（x）x④
2
f（x）x2
【答案】①④
x
xxxe
x
【解析】①efxe2在R上单调递增，故fx2具有性质；
2
x
xxxe
x
②3fx不具有性质；
efxe在R上单调递减，故3
3
③
xx3
efxex，令
x3
gxex，则
x3x22x
gxexexxex，当x2时，
32
gx0，当x2时，gx0，
xx3
efxex在,2上单调递减，在2,
上单调递增，故
3
fxx不具有性质；
④
xx
22
efxex，令
x22
gxex，则
2
x22x2x110
gxexexex，
xx22
efxex在R上单调递增，故
2
fxx2具有性质．
三、解答题：
本大题共6题，共75分．
（16【）2017年山东，理16，12分】设函数f（x）sin（x）sin（x），其中03，已知f（）0．
626
（1）求；
（2）将函数f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向
左平移
4
个单位，得到函数g（x）的图象，求g（x）在,3
44
上的最小值．
13/36
解：
（1）因为（）sin（）sin（）
fxxx，所以
62
33
sinxcosx
22
31
f（x）sinxcosxcosx
22
13
3（sinxcosx）3（sin）
223
x，由题设知f（）0，所以
6
故6k2，kZ，又03，所以2．
63
k，kZ．
（2）由
（1）得f（x）3sin（2x），所以g（x）3sin（x）3sin（x）．
34312
32
因为
x[,]，所以x[,]，当x，即x时，g（x）取得最小值
4412331234
（17）【2017年山东，理17，12分】如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其
内
3
2
．
部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120得到的，G是DF的中点．
（1）设P是GE上的一点，且APBE，求CBP的大小；
（2）当AB＝3，AD＝2时，求二面角EAGC的大小．
解：
（1）因为APBE，ABBE，AB，AP平面ABP，ABAPA，所以BE平面ABP，
又BP平面ABP，所以BEBP，又EBC120，因此CBP30．
（2）解法一：
取EC的中点H，连接EH，GH，CH．因为EBC120，所以四边形BEHC
为
22
AEGEACGC3213．取AG中点M，连接EM，CM，EC．菱形，所以
EMAG，CMAG，EMC为所求二面角的平面角．AM1，
EMCM13123．
在BEC中，EBC120，由余弦定理
22222222cos12012
EC，
所以EC23，因此EMC为等边三角形，故所求的角为60．
解法二：
以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在的直线为x，y，z轴，建立
如
图所示的空间直角坐标系．由题意得A（0,0,3）E（2,0,0），G（1,3,3），C（1,3,0），
故AE（2,0,3），AG（1,3,0），CG（2,0,3），设
m（x,y,z）是平面AEG的一
111
个法
向量．由
mAE
mAG
0
0
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