求数列通项公式的十种方法例题答案详解.docx

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求数列通项公式的十种方法例题答案详解

求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）

总述：

一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：

累加法、

累乘法、

待定系数法、

阶差法（逐差法）、

迭代法、

对数变换法、

倒数变换法、

换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、

数学xx、

不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、

特征根法

二。

四种基本数列：

等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其xx形式。

等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：

累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。

三．求数列通项的方法的基本思路是：

把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。

四．求数列通项的基本方法是：

累加法和累乘法。

五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

一、累加法

1．适用于：

----------这是xx的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。

2．若，

则

两边分别相加得

例1已知数列满足，求数列的通项公式。

解：

由得则

所以数列的通项公式为。

例2已知数列满足，求数列的通项公式。

解法一：

由得则

所以

解法二：

两边除以，得，

则，故

因此，

则

评注：

已知,，其中f（n）可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.

①若f（n）是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;

②若f（n）是关于n的二次函数，累加后可分组求和;

③若f（n）是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;

④若f（n）是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。

例3.已知数列中,且,求数列的通项公式.

解:

由已知得,

化简有,由类型

（1）有,

又得,所以,又,,

则

此题也可以用数学xx来求解.

二、累乘法

1.○。

------------适用于：

----------这是xx的等比数列

累乘法是最基本的二个方法之二。

2．若，则

两边分别相乘得，

例4已知数列满足，求数列的通项公式。

解：

因为，所以，则，故

所以数列的通项公式为

例5.设是首项为1的正项数列，且（=1，2，3，…），则它的通项公式是=________.

解：

已知等式可化为：

（）（n+1）,即

时，

==.

评注：

本题是关于和的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到与的更为明显的关系式，从而求出.

练习.已知,求数列{an}的通项公式.

答案：

-1.

评注：

本题解题的关键是把原来的递推关系式转化为

xx,则问题进一步转化为形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式.

三、待定系数法适用于

基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

1．形如,其中）型

（1）若c=1时，数列{}为等差数列;

（2）若d=0时，数列{}为等比数列;

（3）若时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.

待定系数法：

设,

得,与题设比较系数得

所以所以有：

因此数列构成以为首项，以c为公比的等比数列，

所以即：

.

规律：

将递推关系化为,构造成公比为c的等比数列从而求得通项公式

逐项相减法（阶差法）：

有时我们从递推关系中把n换成n-1有,两式相减有从而化为公比为c的等比数列,进而求得通项公式.,再利用类型

（1）即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.

例6已知数列中，，求数列的通项公式。

解法一：

又是首项为2，公比为2的等比数列

，即

解法二：

两式相减得，故数列是首项为2，公比为2的等比数列，再用累加法的……

练习．已知数列中，求通项。

答案：

2．形如：

（其中q是常数，且n0,1）

①若p=1时，即：

，累加即可.

②若时，即：

，

求通项方法有以下三种方向：

i.两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列

即：

令，则,然后类型1，累加求通项.

ii.两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列。

即：

令,则可化为.然后转化为类型5来解，

iii.待定系数法：

目的是把所求数列构造成等差数列

设.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项.

注意：

应用待定系数法时，要求pq，否则待定系数法会失效。

例7已知数列满足，求数列的通项公式。

解法一（待定系数法）：

设，比较系数得，

则数列是首项为，公比为2的等比数列，

所以，即

解法二（两边同除以）：

两边同时除以得：

，下面解法略

解法三（两边同除以）：

两边同时除以得：

，下面解法略

3．形如（其中k,b是常数，且）

方法1：

逐项相减法（阶差法）

方法2：

待定系数法

通过凑配可转化为;

解题基本步骤：

1、确定=kn+b

2、设等比数列，公比为p

3、列出关系式,即

4、比较系数求x,y

5、解得数列的通项公式

6、解得数列的通项公式

例8在数列中，求通项.（逐项相减法）

解：

，①

时，，

两式相减得.令,则

利用类型5的方法知即②

再由累加法可得.亦可联立①②解出.

例9.在数列中，,求通项.（待定系数法）

解：

原递推式可化为

比较系数可得：

x=-6,y=9,上式即为

所以是一个等比数列，首项,公比为.即：

故.

4．形如（其中a,b,c是常数，且）

基本思路是转化为等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

例10已知数列满足，求数列的通项公式。

解：

设

比较系数得，

所以

由，得

则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。

5.形如时将作为求解

分析：

原递推式可化为的形式，比较系数可求得，数列为等比数列。

例11已知数列满足，求数列的通项公式。

解：

设

比较系数得或，不妨取，（取-3结果形式可能不同，但本质相同）

则，则是首项为4，公比为3的等比数列

，所以

练习.数列中，若,且满足,求.

答案：

.

四、迭代法（其中p,r为常数）型

例12已知数列满足，求数列的通项公式。

解：

因为，所以

又，所以数列的通项公式为。

注：

本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。

五、对数变换法适用于（其中p,r为常数）型p>0，

例14.设正项数列满足，（n≥2）.求数列的通项公式.

解：

两边取对数得：

，，设，则是以2为公比的等比数列，，，，∴

练习数列中，，（n≥2），求数列的通项公式.

答案：

例15已知数列满足，，求数列的通项公式。

解：

因为，所以。

两边取常用对数得

设（同类型四）

比较系数得，

由，得，

所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此

则。

六、倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项

例16已知数列满足，求数列的通项公式。

解：

求倒数得为等差数列，首项，公差为，

七、换元法适用于含根式的递推关系

例17已知数列满足，求数列的通项公式。

解：

令，则

代入得

即

因为，

则，即，

可化为，

所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得

。

八、数学xx通过首项和递推关系式求出数列的前n项，猜出数列的通项公式，再用数学xx加以证明。

例18已知数列满足，求数列的通项公式。

解：

由及，得

由此可猜测，下面用数学xx证明这个结论。

（1）当时，，所以等式成立。

（2）假设当时等式成立，即，则当时，

由此可知，当时等式也成立。

根据

（1），

（2）可知，等式对任何都成立。

九、阶差法（逐项相减法）

1、递推公式中既有，又有

分析：

把已知关系通过转化为数列或的递推关系，然后采用相应的方法求解。

例19已知数列的各项均为正数，且前n项和满足，且成等比数列，求数列的通项公式。

解：

∵对任意有⑴

∴当n=1时，，解得或

当n≥2时，⑵

⑴-⑵整理得：

∵各项均为正数，∴

当时，，此时成立

当时，，此时不成立，故舍去

所以

练习。

已知数列中,且,求数列的通项公式.

答案：

2、对无穷递推数列

例20已知数列满足，求的通项公式。

解：

因为①

所以②

用②式－①式得

则故

所以③

由，，则，又知，则，代入③得。

所以，的通项公式为

十、不动点法目的是将递推数列转化为等比（差）数列的方法

不动点的定义：

函数的定义域为，若存在，使成立，则称为的不动点或称为函数的不动点。

分析：

由求出不动点，在递推公式两边同时减去，在变形求解。

类型一：

形如

例21已知数列中，，求数列的通项公式。

解：

递推关系是对应得递归函数为，由得，不动点为-1

∴，……

类型二：

形如

分析：

递归函数为

（1）若有两个相异的不动点p,q时，将递归关系式两边分别减去不动点p,q，再将两式相除得，其中，∴

（2）若有两个相同的不动点p，则将递归关系式两边减去不动点p，然后用1除，得，其中。

例22.设数列满足,求数列的通项公式.

分析：

此类问题常用参数法化等比数列求解.

解：

对等式两端同时加参数t,得：

令,解之得t=1,-2代入得

,

相除得,即{}是首项为，

公比为的等比数列,=,解得.

方法2：

，

两边取倒数得，

令b，则b,转化为累加法来求.

例23已知数列满足，求数列的通项公式。

解：

令，得，则是函数的两个不动点。

因为

。

所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则。

十一。

特征方程法形如是常数）的数列

形如是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为…①

若①有二异根，则可令是待定常数）

若①有二重根，则可令是待定常数）

再利用可求得，进而求得

例24已知数列满足，求数列的通项

解：

其特征方程为，解得，令，

由，得，

例25、数列满足，且求数列的通项。

解：

……①

令，解得，将它们代回①得，

……②，……③，

③÷②，得,

则，∴数列成等比数列，首项为1，公比q=2

所以，则，

十二、基本数列

1．形如型等差数列的xx形式，见累加法。

2.形如型等比数列的xx形式，见累乘法。

3.形如型

（1）若（d为常数），则数列{}为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;

（2）若f（n）为n的函数（非常数）时，可通过构造转化为型，通过累加来求出通项;或用逐差法（两式相减）得，，分奇偶项来分求通项.