空间中的垂直关系带答案.docx
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空间中的垂直关系带答案
空间中的垂直关系专题训练
知识梳理
一、线线垂直:
两条直线互相垂直
a互相垂直,记作I丄a.
2•判定定理:
如果一条直线与平面内的直线垂直,则这条直线与这个平面垂
直•
推论①:
如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也于这
个平面•
推论②:
如果两条直线同一个平面,那么这两条直线平行
3•点到平面的距离:
长度叫做点到平面的距离
、面面垂直:
1•定义:
如果两个相交平面的交线与第三个平面,又这两个平面与第三个平面相交
所得的两条交线,就称这两个平面互相垂直•平面a,3互相垂直,记作
a丄B•
2.判定定理:
如果一个平面经过另一个平面的,则这两个平面互相垂直.
3.性质定理:
如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于直线垂直于
另一个平面•
四、求点面距离的常用方法:
1・直接过点作面的垂线,求垂线段的长,通常要借助于某个三角形•
2.转移法:
借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解
3.体积法:
利用三棱锥的特征转换位置来求解
4.
例1.如图,在四棱锥P-ABCD中,P从底面ABCDAB丄AD,
【变式1】已知:
正方体ABCD-AiBiCiDi,AA1=2,E为棱CG的中点.
(I)求证:
B1D1丄AE;
(II)求证:
AC//平面B1DE.
平面ACF//平面B1DE.又TAC平面ACF,/•AC//面B1DE.
所以EA丄面PAB所以EA丄PB.
【变式2】如图,已知四棱锥
P-ABCD,底面ABCD为菱形,PA丄平面ABCD/ABC=60,
点E、G分别是CD
PC的中点,点F在PD上,且PF:
FD=2:
i.
(I)证明:
EA丄
PB;
(H)证明:
BG/
面AFC
(H)取PF中点M,所以PM=MF=FD.连接MG,MG//CF,所以MG//面AFC.连接BM,BD,设ACHBD=O连接OF,
所以BM//OF,所以BM//面AFC.
而BMHMG=M
所以面BGM//面AFC,所以BG//面AFC.
【变式3】如图,四棱柱ABC—AiB1C1D1的底面ABCD是正方形,0为底面中心,AiO丄平
面ABCD,AB=.:
:
AA仁2.
(1)证明:
AAi丄BD
(2)证明:
平面AiBD//平面CD1B1;
(3)
求三棱柱ABD-AiBiDl的体积.
【解答】
(1)证明:
•••底面ABCD是正方形,•••
又T州0丄平面ABCD且BD面ABCD,•
又TAiOHAC=OAiO面AlAC,AC面AlAC,
(2)
边形,
BD丄面AiAC,AAi面AiAC,•AAi丄BD.
AiBi/AB,AB//CD,•AiBi/CD,又AiB仁CD,•四边形AiBiCD是平行四
AID//B1C,同理A1B//CDl,•/A1B平面A1BD,AID平面A1BD,CD1平面CD1B1,B1C
平面CDiB,且A1BAA1D=A1,CDQB1C=C二平面A1BD//平面CD1B1.
(3)•/AiO丄面ABCD,•••AlO是三棱柱A1B1D1-ABD的高,
在正方形ABCD中,AO=1.在Rt^A1OA中,AA1=2,AO=1,
•A1O=二•V三棱柱abd-A1B1D1=SaabdaiO」:
(汀寸)2.「;=二
•三棱柱ABD-AiBiDi的体积为.;
【变式4】如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AAi丄底面ABC,AB=BC=AC=AA=4,点F在CC1上,且C1F=3FCE是BC的中点.
(1)求证:
AE丄平面BC^B1
(2)求四棱锥A-BiCiFE的体积;
(3)证明:
Bie丄AF.
【解答】
(1)•/AB=AC,E是BC的中点,AE丄BC.
在三棱柱ABC-A1B1C1,中,BB1//AAi,
•BBi丄平面ABC,
•/AE平面ABC,
•BBi丄AE,….(2分)
又TBBinbc=b….(3分)
BBi,BC平面BBiCiC,
•AE丄平面BB1C1C,….(4分)
(2)由
(1)知,即AE为四棱锥A-BiCiFE的高,在正三角形
在正方形BBiCiC,中,CE=BE=2cf=1,四边形]FE吒正方形日瓦C弋-2△斑:
E-
Sacfe=4対一+況2况4一2XI=11.…(6分)
•昭聶四边形B]C]FEAE矛X11X2価_-(7分)
(3)证明:
连结BiF,由
(1)得AE丄平面BB1C1C,:
B1E平面BBlClC,:
AE丄B1E,….(8
分)在正方形BBiClC,中,BlF=卜」[卜'=5,B1E=卜-.・=27
EF寸c/+CF,•/BlF2=BlE2+EF2,二BlE丄EF…(9分)
又•••AEnEF=E….(10分)AE,EF平面AEF,二BiE丄平面AEF,•••.(11分)
•/AF平面AEF,•••B1E丄AF.….(12分)
【变式5】如图,四棱锥P-ABCD中,PD丄平面ABCD,底面ABCD为正方形,BC=PD=2
E为PC的中点,G在BC上,且CG」-CB
(1)求证:
PCXBC;
(2)求三棱锥C-DEG的体积;
(3)AD边上是否存在一点M,使得PA//平面MEG若存在,求AM的长;否
贝U,说明理由.p
【解答】
(1)证明:
•/PD丄平面ABCD,•PD丄BC.又tABCD
是正方形,•-BC丄CD.
又•••PDnCD=D•BC丄平面
PCD,
PC丄BC.
(2)•/BC丄平面
•GC是三棱锥G-DEC的高.
•PA/平面MEG.
•••△OCWAOAM,•••AM=CG』,二所求AM的长为丄.
33
【变式6】如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,BBi丄底面AlBlCl,A1B1丄BiCi且
AiBi=BBi=BiCi,D为AC的中点.
(I)求证:
AiB丄AC1
(H)在直线CC|上是否存在一点E,使得AiE丄平面AiBD,若存在,试确定E
点的位置;若不存在,请说明理由.
【解答】(I)证明:
连接ABi
•••BBi丄平面AiBiCi
BiCi丄BBi
BiCi丄AiBi且AiBiQBBi=Bi
•BiCi丄平面AiBiBA
AiB丄BiCi.又TAiB丄ABi且ABiQBiCi=Bi
•AiB丄平面ABiCi•AiB丄ACi
(n)存在点E在CCi的延长线上且CE=2CC时,
AiBD.设AB=a,CE=2a,•扎口
BD丄AC,BD丄CG,ACQC(C=C,•BD丄平面
AiE平面ACQAiAAiE丄BD.又BDAAiD=D,•
AiBD
【变式7】如图,在直三棱柱ABC-AiBiCi中,AC=3,BC=4,AB=5,点D是AB的中点.
(i)求证:
AC丄BG;
(2)
求证:
ACi//平面CDBl.
【解答】证明:
(1)因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱,
所以CiC丄平面ABC,所以CiC丄AC.
又因为AC=3,BC=4,AB=5,
所以aC2+b(?
=ab2,
所以AC丄BC.
又CiCQBC=C所以AC丄平面CCBiB,所以AC丄BCi.
(2)连结GB交CBl于E,再连结DE,由已知可得E为CiB的中点,又•/D为AB的中点,
•••DEBACi的中位线.•••AC1//DE。
又•/DE平面CDBl,AC1平面CDBl:
ACi/平面CDB1.
【变式8】如图,直三棱柱ABC-AiBiCi中,AAi=2AC=2BCD是AAi的中点,CD丄BiD.
(1)证明:
CD丄BiCi;
(2)平面CDB|分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.
【解答】(i)证明:
由题设知,直三棱柱的侧面为矩形,
由D为AAi的中点,贝yDC=DC,又AAi=2AC,可得DCi2+DC2=CCi2,则CD丄DCi,而CD丄BiD,BiDQDC=D,则CD丄平面BiCiD,由于BiCi平面BiCiD,故CD丄BiCi;
(2)解:
由(i)知,CD丄BiCi,
故这两部分体积的比为i:
i.
【变式9】如图所示,在长方体ABCD-AiBiCiDi中,已知底面是边长为2的正方形,高为
i,点E在BiB上,且满足BiE=2EB
(i)求证:
De丄AiCi;
(2)在棱BiCi上确定一点F,使A、E、F、Di四点共面,并求此时BiF的长;
(3)求几何体ABEDD的体积.
【解答】(I)证明:
连结B1D1.因为四边形A1B1C1D1为
正方形,
Ai所以A1C1丄B1D1.
在长方体ABCD-A1B1C1D1中,DD1丄平面A1B1C1D1,
又A1C1平面A1B1C1D1,所以DD1丄A1C1.
因为DD1AB1D1=D1,DD1平面BB1D1D,B1D1平面BB1D1D,所以A1C1丄平面BB1D1D.又D1E平面BB1D1D,所以D1E丄A1C1.…(4分)
(H)解:
连结BC1,过E作EF//BC1交B1C1于点F.
因为AD1//BC1,所以AD1/EF.
所以A、E、F、D1四点共面.即点F为满足条件的点.又因为B1E=2EB所以B1F=2FC,所
以B]F
(川)解:
四边形BEDid为直角梯形,几何体ABEDID为四棱锥A-BED1D.
(1)"BD4^/?
1
因为.心广」=二…,点A到平面BEDD的距离
所以几何体ABEDD的体积为:
冷-BED[手徒D』h二■!
••••(13分)
题型二面面垂直的判定
例2•如图,在三棱锥P—ABC中,PA丄底面ABC,AABC为正三角形,
D、E分别是BC、CA的中点•
(1)求证:
平面PBE!
平面PAC;
(2)如何在BC上找一点F,使AD//平面PEF并说明理由
(1■iiBfl:
VFA丄底[fe£.tiO3ETIE面ABC,
PAXHE.(lfr)
yAABC是正三吊形,目E为盒cfr?
中点,
-2ng*(2分)
又?
^n<:
2i=A・
-.3E14^面PM-I:
4)
VBR一平[frPBE,
“平面ME丄平虱叫G輛归〕
(II)^:
55R弟中点F・连遵EF,则卩即药所求・5、
丁厂F9列尚匚占,3的中贞,
-sF^AD,代分〉
又齐二年五PE"1DCT面PEA
»1D*単両PEF*【1册
【变式1】如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE±平面ABCD.
证明:
平面AEC丄平面BED.
【解答】证明:
(I):
四边形ABCD为菱形,:
•••AC丄BD,:
BE丄平面ABCD,
•••AC丄BE,贝UAC丄平面BED,:
AC平面AEC,
•平面AEC丄平面BED
【变式2】如图,三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.
(1)求证:
BD//平面FGH;
(2)若CF丄BC,AB丄BC,求证:
平面BCD丄平面EGH
【解答】在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G为AC的中点.
•DF“GC,-四边形CFDG是平行四边形,
•DM=MC.又BH=HC
•MH//BD,又BD平面FGH,MH平面FGH,
•BD//平面FGH;
证法二:
在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,H为BC的中点.•BH“ET,=四边形BHFE为平行四边形.•BE//HF.
在厶ABC中,G为AC的中点,H为BC的中点,•GH//AB,又GHHHF=H,「.平面FGH//平面ABED,:
BD平面ABED,•BD//平面FGH.
(II)证明:
连接HE,:
G,H分别为AC,BC的中点,•GH//AB,:
AB丄BC,「.GH丄BC,又H为BC的中点,•EF//HC,EF=HC•EFCH是平行四边形,•CF//HE.
:
CF丄BC,「.HE丄BC.又HE,GH平面EGH,HEHGH=H
•BC丄平面EGH,又BC平面BCD,•平面BCD丄平面EGH
【变式3】如图所示,已知AB丄平面BCD,M、N分别是ACAD的中点,BC丄CD.求证:
平面BCD丄平面ABC.
【解答】因为AB丄平面BCD,CD平面BCD,
所以AB丄CD.
又CD丄BC,ABABC=B所以CD丄平面ABC.
又CD平面BCD,
所以平面BCD丄平面ABC.
【变式4】如图,已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为4的正方形,△PAD是正三角形,平面PAD丄平面ABCD,E,F,G分别是PD,
(1)求证:
平面EFG丄平面PAD
(2)若M是线段CD上一点,求三棱锥M-EFG的体积.
【解答】
(1)•••平面PAD丄平面ABCD,平面PADA平面ABCD=AD
CD平面ABCD,CD丄AD
•CD丄平面PAD…(3分)
又•••△PCD中,E、F分别是PDPC的中点,
•EF/CD,可得EF丄平面PAD
•/EF平面EFQ•平面EFGL平面PAD••-(6分)
(2)TEF/CD,EF平面EFQCD平面EFQ
•CD//平面EFQ
因此CD上的点M到平面EFG的距离等于点D到平面EFG的距离,
•-Vm-efgfVd-efg取AD的中点H连接GH、EH,贝UEF/GH,
•••EF丄平面PAD,EH平面PAD,•EF±EH于是Sefh^EFXEH=2=Sefg,
2
•••平面EFGL平面PAD,平面EFGA平面PAD=EH△EHD是正三角形
•点D到平面EFG的距离等于正△EHD的高,即为二,…(10分)
因此,三棱锥M-EFG的体积Vm-ef(=Vd-ef(=_x△efG^:
:
=''
33
AB丄平面ACD,DE/AB,AD=AC=DE=2AB=2且F是CD的中点,AF=;.AF//平面BCE
平面BCEL平面CDE
【变式5】如图,已知
求证:
求证:
(1)
(2)
(3)
【解答】证明:
求此多面体的体积.
(1)取CE中点P,连接FP、BP,vPF//
B
DE,
分)
F
且FP=1又AB/DE,且AB=1,
•••AB/FP,且AB=FP,•••ABPF为平行四边形,/•AF/BP.(2
又•••AF平面BCEBP平面BCE•AF//平面BCE(4分)
(2)证明:
TAD=AC,F是CD的中点,匸「.所以
△ACD为正三角形,•AF丄CD
•/AB丄平面ACD,DE/AB,•DE丄平面ACD,又AF平面ACD,•DE丄AF.
又AF丄CD,CDADE=D•-AF丄平面CDE又BP/AF,•BP丄平面CDE又•••BP平面BCE,•平面BCEL平面CDE.
(3)此多面体是以C为顶点,以四边形ABED为底边的四棱锥,
-:
(12分)
等边三角形AD边上的高就是四棱锥的高
【变式6】如图,三棱柱ABC-AiBiCl的侧面AA1B1B为正方形,侧面BB1C1C为菱形,/
CBBi=60°AB丄BC
(I)
求证:
平面AA1B1B丄平面BB1C1C;
(II)若AB=2,求三棱柱ABC-A1B1C1体积.
【解答】(I)证明:
由侧面AA1B1B为正方形,知AB丄BB1.又•AB丄B1C,BB1HB1C=B1,aAB丄平面BB1C1C,又•AB平面AA1B1B,.・.平面AA1B1B丄BB1C1C.
(n)由题意,CB=CB,设O是BB1的中点,连接CO,则CO丄BB1.由(I)知,co丄平面AB1B1A,且
CO=-^BC4Ab=二
2
连接AB1,则
COTxa2co=「
【变式7】如图,四边形ABCD为梯形,AB/CD,PD丄平面ABCD,/BAD=ZADC=90,DC=2AB=2a-,E为BC中点.
(1)求证:
平面PBC丄平面PDE;
(2)
线段PC上是否存在一点F,使PA//平面BDF若有,请找出具体位置,并进行证明;若无,请分析说明理由.
【解答】
(1)证明:
连结BD,/BAD=90,朋=弘D4Q3&;
•BD=DC=2aE为BC中点,•BC丄DE;
又PD丄平面ABCD,BC平面ABCD
•BC丄PD,DEHPD=D「.BC丄平面PDE;
•/BC平面PBC•平面PBC丄平面PDE;
(2)如上图,连结AC,交BD于O点,则:
△
COD
•••在PC上取F,使「二二二F1连接OF,贝UOF/PA,而OF平面BDF,PA平面BDF;
•••PA//平面BDF.
题型三:
面面垂直性质应用例3•如图所示,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是/DAB=60且边长为a的菱形,侧面PAD
为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,若G为AD边的中点.
(1)求证:
BG丄平面PAD;
(2)
求证:
AD±PB.
证明;C1J"西対啻边三角形且G为皿的中点」
.EG_4D
又平面年面4BCD)
FG_平面RW
⑵皿D是铮边三角册且硯AD的申点・
.AD.PG
PGhBG-Gp
AD.ip^PKGtPB:
平面PRE
.AD丄PH
【变式1】如图,已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为4的正方形,△PAD是正三角形,平面
PAD丄平面ABCDE,F,G分别是PD,PC,BC
的中点.
(1)求证:
平面EFGL平面PAD;-
(2)若M是线段CD上一点,求三棱锥M-EFG的体积.
【解答】
(1)•••平面PAD丄平面ABCD,平面PACT平面
ABCD=ADCD平面ABCD,CD丄AD,「.CD丄平面PAD,又
PCD中,E、F分别是PDPC的中点,
•••EF//CD,可得EF丄平面PAD.•/EF平面EFG二平面EFG
丄平面PADb
(2)TEF/CD,EF平面EFGCD平面EFG•-CD//平面EFG
因此CD上的点M到平面EFG的距离等于点D到平面EFG的距离,•Vm-efg=Vd-efg
取AD的中点H连接GHEH,贝UEF/GH,
•/EF丄平面PAD,EH平面PAD,•EF±EH
于是氐eff^EFXEH=2=SEfgt平面EFG丄平面PAD,平面EFGA平面PAD=EH△EHD是
正三角形,.••点D到平面EFG的距离等于正△EHD的高,即为.;,
因此,三棱锥M-EFG的体积Vm-efg=Vd-efg-efG<:
-''.
33
【变式2】已知点P是菱形ABCD外一点,/DAB=60°,其边长为a,侧面PAD是正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,G为AD的中点.
(1)求证:
AD丄PB;
(2)若E为BC边中点,能否在棱PC上找一点F,使平面DEFL平面ABCD并证明你的结论.
[解析]⑴证明:
连接BG、PG.t四边形ABCD是菱形且/DAB=60°.aBG丄AD.
又厶PAD为正三角形,且G是AD中点,•PG丄AD.
•/PGHBG=G,•AD丄平面PBG又PB平面PBG•-AD丄PB.
⑵当F是PC中点时,平面DEF丄平面ABCD.
证明如下:
取PC的中点F,连接DE、EF。
卩在厶PBC中,EF/PB在菱形ABCD中,BG/DE.
•••平面DEF//平面PGB;平面PADL平面ABCD,PG丄AD.aPG丄平面ABCD.
又PG平面PGB「.平面PGB丄平面ABCD/.平面DEF丄平面ABCD.
题型四求点面的距离
例4•如图,已知在长方体ABCD-ABiCiDi中,棱AAi=5,AB=12,求直线BiCi到平面AiBCD
面ABCD,AP=AB=1,E,F分别是PB,PC的中点.
(I)求证:
AE丄PC;
(n)解:
设点A到平面PBD的距离为d,利用体积法,
课后作业
1.对于任意的直线I与平面,在平面必有直线m与I()
3.空间四边形ABCD中,若AD丄BC,BD丄AD,那么有()
分别是3,4,5,贝UOP的长为
8.已知空间四边形ABCD中,AC=AD,BC=BD且E是CD的中点.
求证:
⑴平面ABE丄平面BCD;
9.直角三角形ABC所在平面外一点S,且SA=SB=SCD为斜边AC中点.
(1)求证:
SD丄平面ABC;
(2)若AB=BC,求证:
证阴:
11J剳图・城JJ中自玮连牯船・DE-
fSR-tAABCm:
-l>,E分別W-AB03中点・
•'DE砂EC”且DE丄灯"
丁黒=曲…•.也为手披三魚昭*
■■SE丄丽*S£EnDE-E,
■'■AB丄毛面SDE,■■■SDCI&1SPE.^.4E丄SD,
TEASACrf1v:
A-SCH为腱巾点・
■注D丄故■
VSD丄帆、2D1ABriC(l£B-A^
YD丄平SA3C.
(2Jil^-sVAI=0C・1>为鋼边肚;中点・J・ED_2Gffl(])可堀,沁丄茴AES
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■阳D丄因)、ED丄肚,SDriiC-Df
・・・ED丄面SAC”
<2证涯二:
’.-Al-DC・D为期迪庞卡点,•'■ED亠貳.
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:
'平fijADC丄tijSAC1
乂平盲iBCn苹茴sAC-A'".
MD丄=reSAC.
10.在正方体AC1中,M为棱CC1的中点,AC交BD于O,