高考数学大一轮复习 第五章 数列课时作业35 理 新人教A版.docx
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高考数学大一轮复习第五章数列课时作业35理新人教A版
2019-2020年高考数学大一轮复习第五章数列课时作业35理新人教A版
一、选择题
1．数列{1＋2n－1}的前n项和为（ ）
A．1＋2nB．2＋2n
C．n＋2n－1D．n＋2＋2n
解析：
由题意得an＝1＋2n－1，
所以Sn＝n＋＝n＋2n－1，故选C.
答案：
C
2．设数列{（－1）n}的前n项和为Sn，则对任意正整数n，Sn＝（ ）
A.B.
C.D.
解析：
∵数列{（－1）n}是首项与公比均为－1的等比数列，
∴Sn＝＝.
答案：
D
3．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2＋3，a3＝4＋5＋6，a4＝7＋8＋9＋10，…，则a10的值为（ ）
A．750B．610
C．510D．505
解析：
a10＝46＋47＋…＋55＝505.
答案：
D
4．数列{an}中，a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首项为1，公比为的等比数列，则an等于（ ）
A.（1－）B.（1－）
C.（1－）D.（1－）
解析：
由题得an－an－1＝（）n－1，所以an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＋a1＝（）n－1＋（）n－2＋…＋＋1＝（1－）．
答案：
A
5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为（ ）
A.B.
C.D.
解析：
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
∵a5＝5，S5＝15，∴
∴∴an＝a1＋（n－1）d＝n.
∴＝＝－，
∴数列的前100项和为
1－＋－＋…＋－＝1－＝.
答案：
A
6．已知函数f（n）＝n2cosnπ，且an＝f（n）＋f（n＋1），则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝（ ）
A．0B．－100
C．100D．10200
解析：
f（n）＝n2cosnπ＝＝（－1）n·n2，
由an＝f（n）＋f（n＋1）＝（－1）n·n2＋（－1）n＋1·（n＋1）2＝（－1）n[n2－（n＋1）2]＝（－1）n＋1·（2n＋1），
得a1＋a2＋a3＋…＋a100＝3＋（－5）＋7＋（－9）＋…＋199＋（－201）＝50×（－2）＝－100.
答案：
B
二、填空题
7．设Sn＝＋＋＋…＋，若Sn·Sn＋1＝，则n的值为________．
解析：
Sn＝1－＋－＋－＋…＋－
＝1－＝，
∴Sn·Sn＋1＝·＝＝，解得n＝6.
答案：
6
8．数列，，，，…的前n项和Sn为________．
解析：
∵＝1＋，＝2＋，＝3＋，＝4＋，…
∴Sn＝＋＋＋＋…＋（n＋）
＝（1＋2＋3＋…＋n）＋（＋＋＋…＋）
＝＋＝＋1－.
答案：
＋1－
9．已知f（x）＝，求f＋f＋…＋f＝
________.
解析：
因为f（x）＋f（1－x）＝＋
＝＋＝＋＝1.
所以f＋f＝f＋f＝…＝f＋f＝1.∴f＋f＋…＋f＝5.
答案：
5
三、解答题
10．（xx·安徽卷）数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝（n＋1）an＋n（n＋1），n∈N*.
（1）证明：
数列{}是等差数列；
（2）设bn＝3n·，求数列{bn}的前n项和Sn.
解：
（1）由已知可得＝＋1，即－＝1
所以{}是以＝1为首项，1为公差的等差数列．
（2）由
（1）得＝1＋（n－1）·1＝n，所以an＝n2，从而bn＝n·3n
Sn＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n·3n ①
3Sn＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋（n－1）·3n＋n·3n＋1 ②
①－②得：
－2Sn＝31＋32＋33＋…＋3n－n·3n＋1
＝－n·3n＋1＝
所以Sn＝.
11．（xx·山东卷）已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn＝（－1）n－1，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：
（1）因为S1＝a1，S2＝2a1＋×2＝2a1＋2，
S4＝4a1＋×2＝4a1＋12，
由题意得（2a1＋2）2＝a1（4a1＋12），
解得a1＝1，所以an＝2n－1.
（2）bn＝（－1）n－1＝（－1）n－1
＝（－1）n－1.
当n为偶数时，Tn＝－＋…＋－＝1－＝.
当n为奇数时，Tn＝－＋…－＋＝1＋＝.
所以Tn＝
.
1．设等差数列{an}的前n项和是Sn，若－amA．Sm>0，且Sm＋1<0B．Sm<0，且Sm＋1>0
C．Sm>0，且Sm＋1>0D．Sm<0，且Sm＋1<0
解析：
∵－am0，a1＋am＋1<0，∴Sm>0，且Sm＋1<0.
答案：
A
2．已知数列{an}：
，＋，＋＋，…，＋＋＋…＋，…，若bn＝，那么数列{bn}的前n项和Sn为（ ）
A.B.
C.D.
解析：
an＝＝，
∴bn＝＝＝4（－），
∴Sn＝4[（1－）＋（－）＋…＋（－）]
＝4（1－）＝.
答案：
B
3．数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝，且对任意正整数m，n，都有am＋n＝aman，若Sn解析：
令m＝1，则＝a1，
∴{an}是以a1为首项，为公比的等比数列．
∴an＝n，
∴Sn＝＝
＝－<.
由Sn∴t>Sn的最大值，可知t的最小值为.
答案：
4．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝（n∈N*）．
（1）求证：
是等比数列，并求{an}的通项公式an；
（2）数列{bn}满足bn＝（3n－1）··an，数列{bn}的前n项和为Tn，若不等式（－1）nλ解：
（1）由an＋1＝得＝＝1＋，
即＋＝3，又＋＝，
∴是以为首项，3为公比的等比数列，
∴＋＝×3n－1＝，即an＝.
（2）bn＝，Tn＝1×＋2×＋3×＋…＋（n－1）×＋n×，
＝1×＋2×＋…＋（n－1）×＋n×，
两式相减得＝＋＋＋…＋－n×＝2－，
∴Tn＝4－，∴（－1）nλ<4－.
若n为偶数，则λ<4－，∴λ<3；
若n为奇数，则－λ<4－，
∴－λ<2，∴λ>－2.∴－2<λ<3.
2019-2020年高考数学大一轮复习第五章数列课时作业36理新人教A版
一、选择题
1．已知数列1，a1，a2,9是等差数列，数列1，b1，b2，b3,9是等比数列，则b2·（a1＋a2）＝（ ）
A．20B．30
C．35D．40
解析：
∵1，a1，a2,9是等差数列，所以a1＋a2＝1＋9＝10；1，b1，b2，b3,9是等比数列，所以b＝1×9＝9，因为b＝b2>0，所以b2＝3，所以b2·（a1＋a2）＝30，故选B.
答案：
B
2．已知等比数列{an}中的各项都是正数，且5a1，a3,4a2成等差数列，则＝（ ）
A．－1B．1
C．52nD．52n－1
解析：
设等比数列{an}的公比为q（q>0），则依题意有a3＝5a1＋4a2，即a1q2＝5a1＋4a1q，q2－4q－5＝0，解得q＝－1或q＝5.又q>0，因此q＝5，所以＝＝q2n＝52n.
答案：
C
3．在直角坐标系中，O是坐标原点，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是第一象限的两个点，若1，x1，x2,4依次成等差数列，而1，y1，y2,8依次成等比数列，则△OP1P2的面积是（ ）
A．1B．2
C．3D．4
解析：
根据等差、等比数列的性质，可知x1＝2，x2＝3，y1＝2，y2＝4.∴P1（2,2），P2（3,4）．∴S△OP1P2＝1.
答案：
A
4．已知函数y＝loga（x－1）＋3（a>0，a≠1）所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{an}的第二项与第三项，若bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，则T10等于（ ）
A.B.
C.D.
解析：
由y＝loga（x－1）＋3恒过定点（2,3），即a2＝2，a3＝3，又{an}为等差数列，∴an＝n，n∈N*.∴bn＝，∴T10＝－＋－＋…＋－＝1－＝.
答案：
B
5．如图所示，矩形AnBnCnDn的一边AnBn在x轴上，另外两个顶点Cn，Dn在函数f（x）＝x＋（x>0）的图象上．若点Bn的坐标为（n,0）（n≥2，n∈N*），记矩形AnBnCnDn的周长为an，则a2＋a3＋…＋a10＝（ ）
A．208B．216
C．212D．220
解析：
由Bn（n,0），得Cn，令x＋＝n＋，即x2－x＋1＝0，得x＝n或x＝，所以Dn，所以矩形AnBnCnDn的周长an＝2＋2＝4n，则a2＋a3＋…＋a10＝4（2＋3＋…＋10）＝216，故选B.
答案：
B
6．对于函数y＝f（x），部分x与y的对应关系如下表：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
y
3
7
5
9
6
1
8
2
4
数列{xn}满足x1＝1，且对任意x∈N*，点（xn，xn＋1）都在函数y＝f（x）的图象上，则x1＋x2＋x3＋x4＋…＋x2013＋x2014的值为（ ）
A．7549B．7545
C．7539D．7535
解析：
由已知表格列出点（xn，xn＋1），（1,3），（3,5），（5,6），（6,1），（1,3），…，即x1＝1，x2＝3，x3＝5，x4＝6，x5＝1，…，数列{xn}是周期数列，周期为4,2014＝4×503＋2，所以x1＋x2＋…＋x2014＝503×（1＋3＋5＋6）＋1＋3＝7549.
答案：
A
二、填空题
7．数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}的连续三项，则数列{bn}的公比为________．
解析：
由题意知a＝a1·a7，即（a1＋2d）2＝a1·（a1＋6d），∴a1＝2d，∴等比数列{bn}的公比q＝＝＝2.
答案：
2
8．函数y＝x2（x>0）的图象在点（ak，a）处的切线与x轴交点的横坐标为ak＋1，k为正整数，a1＝16，则a1＋a3＋a5＝________.
解析：
依题意得，函数y＝x2（x>0）的图象在点（ak，a）处的切线方程是y－a＝2ak（x－ak）．令y＝0，得x＝ak，即ak＋1＝ak，因此数列{ak}是以16为首项，为公比的等比数列，所以ak＝16·k－1＝25－k，a1＋a3＋a5＝16＋4＋1＝21.
答案：
21
9．在等差数列{an}中，a2＝5，a6＝21，记数列{}的前n项和为Sn，若S2n＋1－Sn≤对n∈N*恒成立，则正整数m的最小值为________．
解析：
由{an}为等差数列，a2＝5，a6＝21得，d＝＝4，an＝5＋4（n－2）＝4n－3，而数列{S2n＋1－Sn}有（S2n＋3－Sn＋1）－（S2n＋1－Sn）＝S2n＋3－S2n＋1＋Sn－Sn＋1＝＋－<0得{S2n＋1－Sn}单调递减，其最大值为S3－S1＝，即≥得m≥，所以m最小值为5.
答案：
5
三、解答题
10．设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足S－（n2＋n－3）Sn－3（n2＋n）＝0，n∈N*.
（1）求a1的值；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）证明：
对一切正整数n，有＋＋…＋<.
解：
（1）令n＝1代入得a1＝2（负值舍去）．
（2）由S－（n2＋n－3）Sn－3（n2＋n）＝0，n∈N*得[Sn－（n2＋n）]（S
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