届甘肃省兰州市高三一诊模拟数学文试题.docx

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届甘肃省兰州市高三一诊模拟数学文试题

2018届甘肃省兰州市高三一诊模拟

数学（文）试题

一、选择题：

本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设全集

，集合

，集合

，则

（）

A．

B．

C．

D．

2.已知复数

（

是虚数单位），则下列说法正确的是（）

A．复数

的实部为

B．复数

的虚部为

C．复数

的共轭复数为

D．复数

的模为

3.已知数列

为等比数列，且

，则

（）

A．

B．

C．

D．

4.若双曲线

的两条渐近线分别与抛物线

的准线交于

，

两点，

为坐标原点.若

的面积为

，则

的值为（）

A．

B．

C．

D．

5.已知圆

：

，直线

：

，则圆

上任取一点

到直线

的距离大于

的概率是（）

A．

B．

C．

D．

6.已知直线

与直线

平行，则它们之间的距离是（）

A．

B．

C．

D．

7.某程序框图如图所示，则程序运行后输出的

的值是（）

A．

B．

C．

D．

8.刘徽《九章算术注》记载：

“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”.意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值

，这一结论今称刘徽原理.如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（）

A．

B．

C．

D．

9.设

：

实数

，

满足

，

：

实数

，

满足

，则

是

的（）

A．充要条件B．充分不必要条件

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要的条件

10.若等比数列

的前

项和为

，其中

，

是常数，则

的值为（）

A．

B．

C．

D．

11.抛物线

的焦点为

，

，

是抛物线上两动点，若

，则

的最大值为（）

A．

B．

C．

D．

12.已知函数

是定义在

上的偶函数，且当

时，不等式

成立，若

，

，

，则

，

，

之间的大小关系为（）

A．

B．

C．

D．

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若

，则

．

14.已知样本数据

，

，……

的方差是

，如果有

，那么数据

，

，……

的均方差为．

15.设函数

向左平移

个单位长度后得到的函数是一个奇函数，则

．

16.若向量

，

，且

，则

的最小值为．

三、解答题：

共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：

共60分.

17.已知向量

，

，函数

.

（1）求

的最小正周期；

（2）当

时，

的最小值为

，求

的值.

18.如图所示，矩形

中，

，

平面

，

，

为

上的点，且

平面

.

（1）求证：

平面

；

（2）求三棱锥

的体积.

19.交管部门为宣传新交规举办交通知识问答活动，随机对该市

岁的人群抽样了

人，回答问题统计结果如图表所示：

分组

回答正确的人数

回答正确的人数占本组的频率

第

组

第

组

第

组

第

组

第

组

（1）分别求出

，

，

，

的值；

（2）从第

，

，

组回答正确的人中用分层抽样方法抽取

人，则第

，

，

组每组应各抽取多少人？

（3）在

（2）的前提下，决定在所抽取的

人中随机抽取

人颁发幸运奖，求：

所抽取的

人中至少有一个第

组的人的概率.

20.已知圆

：

，过

且与圆

相切的动圆圆心为

.

（1）求点

的轨迹

的方程；

（2）设过点

的直线

交曲线

于

，

两点，过点

的直线

交曲线

于

，

两点，且

，垂足为

（

，

，

，

为不同的四个点）.

①设

，证明：

；

②求四边形

的面积的最小值.

21.已知函数

.

（1）若

图象上

处的切线的斜率为

，求

的极大值；

（2）

在区间

上是单调递减函数，求

的最小值.

（二）选考题：

共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分.

22.[选修4-4：

坐标系与参数方程]

在直角坐标系

中，以坐标原点为极点，

轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线

的参数方程是

（

是参数），圆

的极坐标方程为

.

（1）求圆心

的直角坐标；

（2）由直线

上的点向圆

引切线，并切线长的最小值.

23.[选修4-5：

不等式选讲]

设函数

，其中

.

（1）当

时，求不等式

的解集；

（2）若

时，恒有

，求

的取值范围.

兰州市2018年高三诊断考试

数学（文科）试题参考答案及评分参考

一、选择题

1-5:

DDCBB6-10:

AABCD11、12：

AC

二、填空题

13.

14.

15.

16.

三、解答题

17.解：

（1）由题意知：

，

所以

的最小正周期为

.

（2）由

（1）知：

，

当

时，

.

所以当

时，

的最小值为

.

又∵

的最小值为

，∴

，即

.

18.解：

（1）因为

面

，所以

，

又

，所以

.

因为

面

，所以

.

又

，所以

面

，即

平面

.

（2）因为

，所以

，

，

，

又因为

为

中点，所以

.

因为

面

，所以

面

.

所以

.

19.解：

（1）第

组人数

，所以

，

第

组人数

，所以

，

第

组人数

，所以

，

第

组人数

，所以

，

第

组人数

，所以

.

（2）第

，

，

组回答正确的人的比为

，

所以第

，

，

组每组应各依次抽取

人，

人，

人.

（3）记抽取的

人中，第

组的记为

，

，第

组的记为

，

，

，第

组的记为

，则从

名幸运者中任取

名的所有可能的情况有

种，他们是：

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

.

其中第

组至少有

人的情况有

种，他们是：

，

，

，

，

，

，

，

，

.

故所求概率为

.

20.解：

（1）设动圆半径为

，

则

，

，

，

由椭圆定义可知，点

的轨迹

是椭圆，

其方程为

.

（2）①证明：

由已知条件可知，垂足

在以

为直径的圆周上，

则有

，

又因

，

，

，

为不同的四个点，

.

②解：

若

或

的斜率不存在，四边形

的面积为

.

若两条直线的斜率存在，设

的斜率为

，

则

的方程为

，

解方程组

，得

，

则

，

同理得

，

∴

，

当且仅当

，即

时等号成立.

综上所述，当

时，四边形

的面积取得最小值为

.

21.解：

（1）∵

，∴

，

由题意得

且

，

即

，解之得

，

.

∴

，

，

令

得

，

，

列表可得

+

-

+

极大值

极小值

∴当

时，

取极大值

.

（2）∵

在

上是减函数，

∴

在

上恒成立，

∴

，即

，

作出不等式组表示的平面区域如图

当直线

经过点

时，

取最小值

.

22.解：

（1）∵

，

∴

，

∴圆

的直角坐标方程为

，

即

，∴圆心直角坐标为

.

（2）方法1：

直线

上的点向圆

引切线长是

，

∴直线

上的点向圆

引的切线长的最小值是

.

方法2：

直线

的普通方程为

，

∴圆心

到直线

距离是

，

∴直线

上的点向圆

引的切线长的最小值是

.

23.解：

（1）当

时，

，

所以

，所以

或

，

解集为

.

（2）

，因为

，∴

时，

恒成立，

又

时，当

时，

，∴只需

即可，

所以

.