5第五讲微分与不等式.docx
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5第五讲微分与不等式
关于泰勒中值定理的不等式
将f（α）在β处展开
α，β是区间端点a，b或区间中点a+b或极值点（包括最值点）c或任意点x
2
条件结论特殊点
设函数f
（x）在[0，1]上二阶可导，且满足
f'（x）
≤1，f
（x）在区间（0，1）内取得最大值1
4
证明：
f（0）+
f
（1）<1
将区间端点的值在最值点展开
设f（c）=maxf
0（x），c∈（0，1）
⇒f'（c）=0
f（0）=f
（c）
-
cf
'（c）+c
2
2
f'（ξ1）
0<ξ1f
（1）=f
（c）+（1-c）f'（c）+
（1-c）2
2
f'（ξ2）
c<ξ2<1
f（0）=
1+c2
42
f'（ξ1）
≤1+c
42
f'（ξ1）
≤1+c
42
f
（1）=
1（1-c）2
+
42
f'（ξ2）
≤1+
4
（1-c）2
2
f'（ξ2）
≤1+
4
（1-c）2
2
f（0）+
f
（1）
≤1+c
+（1-c）2
=1+
（c+1-c）2
-2c（1-c）<
1+1
222222
f（x）二次可微，f
（0）
=f
（1）
=0，maxf
0≤x≤1
（x）=
2，证明：
minf'（x）≤
0≤x≤1
-16
设f（c）=maxf（x），c∈[0，1]
0≤x≤1
⇒c∈（0，1）⇒f'（c）=0
将区间端点的值在最值点展开
f（0）=
f（c）
-
cf
'（c）
+
c2
2
f'（ξ1）
0<ξ1f
（1）=f（c）+（1-c）f'（c）+
（1-c）2
2
f'（ξ2）
c<ξ2<1
⇒f'（ξ1
）=-4
c2
f'（ξ2
）=-
4
（1-c）2
c与1-c当中必有一个≤1
-4与-
4当中必有一个≤-4
f'（ξ1
）与f'（ξ2
2c2
）当中必有一个≤-16
（1-c）2
ç⎛1⎫⎪
⎝2⎭
设f（x）在[a，b]上二阶可导，f'（a）=f'（b）=0，证明：
∃ξ∈（a，b），使得
f'（ξ）
≥4
（b-a）2
f（a）-f
（b）
在区间端点展开
f（x）=f
（a）+（x-a）f'（a）+
1（x-a）2
2
f'（ξ1）
a<ξ1f（?
）待定xf（x）
f（x）=f
（b）+（x-b）f'（b）+
1（x-b）2
2
f'（ξ2）
x<ξ10=f
（a）-f
（b）+
1（x-a）2
2
f'（ξ1
）-1（x-b）2
2
f'（ξ2）
f（a）-f
（b）=
1（x-a）2
2
f'（ξ1
）-1（x-b）2
2
f'（ξ2）
≤1（x-a）2
2
f'（ξ1）
+1（x-b）2
2
f'（ξ2）
（x-a）2
≤
+（x-b）2
2
f'（ξ）
f'（ξ）
=max{
f'（ξ1
），f'（ξ2
）}，ξ∈{ξ1，ξ2}
f'（ξ）
≥
（x-a）2
2
+（x-b）2
f（a）-f（b）
取x=
a+b2
f（x）在[0，1]上二阶可导，f（0）=f
（1），f'（x）≤2，证明：
当0f（0）=
f（x）-xf
'（x）+x
2
2
f'（ξ1）
0<ξ1将区间端点的值在任意点展开
f
（1）=f（x）+（1-x）f'（x）+
（1-x）2
（1-x）2
2
x2
f'（ξ2）
x<ξ2<1
0=f'（x）+
2f'（ξ2）-
2f'（ξ1）
f'（x）=
（1-x）2
2
2
f'（ξ2）-2
f'（ξ1）
（1-x）2
≤
2
f'（ξ2）
+
x2
2
f'（ξ1）
≤（1-x）2+x2
=（1-x+x）2-2x（1-x）<1
设函数f
（x）在（+∞，-∞）内二阶可导，并且
f（x）
≤M0
，f'（x）
≤M2
证明：
f'（x）≤
（y-x）2
将任意点的值在任意点展开
f（y）=f（x）+（y-x）f'（x）+
2f'（ξ1）
ξ1介于x、y之间
f（x+h）
=f（x）+hf
'（x）+h
2
2
f'（ξ1）
ξ1介于x、x
+
h之间
f'（x）=
f（x+
h）-
f（x）
h
-
h2
2
f'（ξ1）
f'（x）=
f（x+h）-f（x）-h
2
f'（ξ1）
f（x+h）+
≤
f（x）
+
h2
2
f'（ξ1）
2
2M0+M2
≤2
hhh
h2h2
2M0+
2M2
22M0⋅
M2h2M
≥2=2
hh
M0M2
当2M0=
2M2
时取等号即当h=±2
0时取等号
M
2
设函数f
（x）在（+∞，-∞）内二阶可导，并且
f（x）
≤M0
，f'（x）
≤M2
证明：
f'（x）≤
2
f（x+h）=f（x）+hf'（x）+h
2
f'（ξ1）
ξ1介于x、x+h之间
h>0
f（x-h）
=f（x）-hf
'（x）+h
2
2
f'（ξ2）
ξ2介于x、x
-
h之间
f（x+
h）-
f（x
-h）=
2hf
'（x）+h
2
2
（f'
（ξ1
）-f
'（ξ2））
f'（x）=
f（x+
h）-
f（x
-
h）
-
h2
2
2h
（f'
（ξ1
）-f
'（ξ2））
f'（x）=
f（x+
h）-
f（x
-
h）
-
h2
2
（f'
（ξ1
）-f
'（ξ2））
f（x+h）+
≤
f（x-h）
+h2（
2
f'（ξ1）+
f'（ξ2））
2h
≤2M0
2h
+h2M2h
设函数f
（x）在（+∞，-∞）内二阶可导，并且
f（x）
≤M0
，f'（x）
≤M2
证明：
f'（x）≤
2M+h2M
22M⋅h2M2M
02
2h
≥02=
2h
当2M0
=h2M
2时取等号即当h=
0时取等号
M
2
2M+h2M
f'（x）
≤02
2h
设函数f（x）在（+∞，-∞）内二阶可导，并且
f（x）
≤M0
，f''（x）
≤M3
证明：
f'（x）≤
f（x
+
h）
=f（x）+hf
'（x）+h
2
f'（x）+h
6
f''（
ξ1）
x<ξ1
h>0
f（x-h）
=f（x）-hf
'（x）+h
2
2
f'（x）
-
h3
6
f''（ξ2）
x-h
<ξ2f（x+
h）-
f（x
-h）=
2hf
'（x）+h
3
6
（f''（
ξ1）+f
''（ξ2））
f'（x）=
f（x+
h）-
f（x
-
h）
-
h3
6
2h
（f''（
ξ1）+f
''（ξ2））
f'（x）=
f（x+
h）-
f（x
-
h）
-
h3
6
（f''（
ξ1）+f
''（ξ2））
f（x+h）+
≤
f（x-h）
+h3（
6
f''（ξ1）+
f''（ξ2））
2h2h
2M0+M3
≤3
2h夜雨教你数学竞赛
设函数f（x）在（+∞，-∞）内二阶可导，并且
f（x）
≤M0
，f''（x）
≤M3
证明：
f'（x）≤
2M0
h3
M
33
=M0
h2M
+3
=M0
+M0
h2M
+3
≥33
M0
⋅M0
h2M
⋅3=
2hh6
MMh2M
2h2h6
3M
2h2h6
当0
2h
=0
2h
=3
6
h3
时取等号即当h=3
0时取等号
M3
f'（x）
2M0+
≤
3M3
2h
下凸函数的加权琴生不等式
设f'（x）≥0，λ1
+λ2
+⋅⋅⋅+λn
=1且λk
>0，k
=1，2，⋅⋅⋅，n
则f（λ1x1
+λ2x2
+⋅⋅⋅+λnxn
）≤λ1f
（x1
）+λ2f
（x2
）+⋅⋅⋅+λnf
（xn）
设x0=λ1x1
+λ2x2+⋅⋅⋅+λnxn
（x-x）2
i若xk
≠x0
f（xk）=f
（x0
）+（xk
-
x0
）f'（x0
）+k0f'（ξ）
2k
ξk介于x
k、x
0之间
⇒f（xk
）≥f
（x0
）+（xk
-
x0
）f'（x0）
⇒λkf
（xk
）≥λkf
（x0
）+λk
（xk
-
x0
）f'（x0）
ii若xk
=x0
f（xk
）=f
（x0
）+（xk
-
x0
）f'（x0）
⇒λkf
（xk
）=λkf
（x0
）+λk
（xk
-
x0
）f'（x0）
故总有λkf
（xk
）≥λkf
（x0
）+λk
（xk
-
x0
）f'（x0）
∑λkf
k=1
n
（xk
）≥f
（x0
）∑λkk=1
+f'（x0
）∑λkk=1
n
（xk
-x0）
nn
⇒∑λkf
k=1
（xk
）≥f
（x0）
∑λkk=1
（xk
-
x0
）=∑λkxk
k=1
-∑λkx0k=1
=x0
-x0=0
下凸函数的加权琴生不等式
设f'（x）≥0，λ1
+λ2
+⋅⋅⋅+λn
=1且λk
>0，k
=1，2，⋅⋅⋅，n
则f（λ1x1
+λ2x2
+⋅⋅⋅+λnxn
）≤λ1f
（x1
）+λ2f
（x2
）+⋅⋅⋅+λnf
（xn）
上凸函数的加权琴生不等式
设f'（x）≤0，λ1
+λ2
+⋅⋅⋅+λn
=1且λk
>0，k
=1，2，⋅⋅⋅，n
则f（λ1x1
+λ2x2
+⋅⋅⋅+λnxn
）≥λ1f
（x1
）+λ2f
（x2
）+⋅⋅⋅+λnf
（xn）
下凸函数的琴生不等式
设f'（x）≥0则f（x1
+x2
+⋅⋅⋅+xn
）≤f（x1
）+f（x2
）+⋅⋅⋅+f（xn）
nn
上凸函数的琴生不等式
设f'（x）≤0则f（x1
+x2
+⋅⋅⋅+xn）≥f（x1）+f（x2）+⋅⋅⋅+f（xn）
nn
x+x+⋅⋅⋅+xn
均值不等式：
xk
>0，则
≥12n≥
n
≥
1+1
x1x2
+⋅⋅⋅+1
xn
x+x+⋅⋅⋅+x
x2+x2+⋅⋅⋅+x2
⎛x+x+⋅⋅⋅+x⎫
≥12n
⇔12n≥ç12n⎪
设f（x）=
n
x2，f'（x）=2>0
n⎝n⎭
x1+x2
+⋅⋅⋅+xn≥
n
⇔lnx1
+x2
+⋅⋅⋅+xn
n
≥lnx1
+lnx2
n
+
⋅⋅⋅+lnxn
设f（x）=lnx，f'（x）=-1<0
x2
1+1
+⋅⋅⋅+1
≥
1+1
x1x2
n⇔
+⋅⋅⋅+1
xn
≤x1x2xn
n
x+x+⋅⋅⋅+x
nsinx
⎛sinx⎫n
0<πk
=1，2，⋅⋅⋅，n记x
=12n
，证明：
∏k
≤ç0⎪
k0n
k=1xk
⎝x0⎭
nsinx
⎛sinx⎫n
nsinx
sinx
1nsinx
sinx
∏k
≤ç0⎪
⇔∑lnk
≤nln0⇔∑lnk
≤ln0
k=1xk
⎝x0⎭
k=1xk
x0n
k=1xkx0
设f（x）=lnsinx
x
f'（x）=
xcosx-sinxxsinx
=cotx-1
x
f'（x）=-csc2
x+1
x2
=1-
x2
1<0
sin2x
1111ab
a，b>0，p，q
>1，+
pq
=1，证明：
apbq≤+
pq
11ab11⎛11⎫
apbq
≤+⇔
pq
lna+
p
lnb≤lnçq⎝
⋅a+
p
⋅b⎪
q⎭
设f（x）=lnx，f'（x）=-1<0
x2
pq+r
正数p，q，r满足2p=q+r，证明：
≤1
qqrr
pq+r
qqrr
≤1⇔
pq+r
≤qqrr
⇔⎛ç
⎝
q+r2
q+r
⎪
⎭
≤qqrr
⇔（q+r）ln
q+r2
≤qlnq+rlnr
⇔q+rlnq+r≤qlnq+rlnr
设f（x）=
xlnx，f'（x）=1>0
x
222
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