届北师大版 空间线面关系的判断单元测试.docx

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届北师大版空间线面关系的判断单元测试

第14练　空间线面关系的判断

1.若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题中正确的是（　　）

A.l与l1，l2都不相交B.l与l1，l2都相交

C.l至多与l1，l2中的一条相交D.l至少与l1，l2中的一条相交

答案　D

解析　若l与l1，l2都不相交，则l∥l1，l∥l2，∴l1∥l2，这与l1和l2异面矛盾，∴l至少与l1，l2中的一条相交.

2.（2017·常德一中模拟）已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，则（　　）

A.若α∥β，则l∥mB.若l∥m，则α∥β

C.若α⊥β，则l⊥mD.若l⊥β，则α⊥β

答案　D

解析　选项A，若α∥β，则直线l，m平行或异面，错误；选项B，若l∥m，则平面α，β平行或相交，错误；选项C，若α⊥β，则直线l，m平行、相交或异面，错误；选项D，若l⊥β，则由面面垂直的判定定理可得α⊥β，正确，故选D.

3.已知直线a与平面α，β，α∥β，a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中（　　）

A.不一定存在与a平行的直线

B.只有两条a平行的直线

C.存在无数条与a平行的直线

D.存在唯一一条与a平行的直线

答案　D

解析　在平面内过一点，只能作一条直线与已知直线平行.

4.将正方体的纸盒展开如图，直线AB，CD在原正方体的位置关系是（　　）

A.平行B.垂直

C.相交成60°角D.异面且成60°角

答案　D

解析　如图，直线AB，CD异面.因为CE∥AB，所以∠ECD即为直线AB，CD所成的角，因为△CDE为等边三角形，故∠ECD＝60°.

5.已知α，β表示平面，m，n表示直线，m⊥β，α⊥β，给出下列四个结论：

①∀n⊂α，n⊥β；②∀n⊂β，m⊥n；③∀n⊂α，m∥n；④∃n⊂α，m⊥n.

则上述结论中正确的个数为（　　）

A.1B.2C.3D.4

答案　B

解析　由于m⊥β，α⊥β，所以m⊂α或m∥α.∀n⊂α，n⊥β或n与β斜交或n∥β，所以①不正确；∀n⊂β，m⊥n，所以②正确；∀n⊂α，m与n可能平行、相交或异面，所以③不正确；当m⊂α或m∥α时，∃n⊂α，m⊥n，所以④正确.

6.（2017·全国Ⅰ）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（　　）

答案　A

解析　A项，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB.

∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD与平面MNQ相交，

∴直线AB与平面MNQ相交；

B项，作如图②所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，

∴AB∥MQ，

又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ；

C项，作如图③所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，

∴AB∥MQ，

又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ；

D项，作如图④所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥NQ，

∴AB∥NQ，

又AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，

∴AB∥平面MNQ.

故选A.

7.已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线m，n，则下列四个命题中不正确的是（　　）

A.若m∥n，m⊥α，则n⊥α

B.若m⊥α，m⊥β，则α∥β

C.若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β

D.若m∥α，α∩β＝n，则m∥n

答案　D

解析　易知A，B正确；对于C，因为m⊥α，m∥n，所以n⊥α.又n⊂β，所以β⊥α，即C正确；对于D，因为m∥α，α∩β＝n，所以m∥n或m与n是异面直线，故D不正确.

8.（2017·全国Ⅲ）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（　　）

A.A1E⊥DC1B.A1E⊥BDC.A1E⊥BC1D.A1E⊥AC

答案　C

解析　方法一　如图，∵A1E在平面ABCD上的射影为AE，而AE不与AC，BD垂直，

∴B，D错；

∵A1E在平面BCC1B1上的射影为B1C，且B1C⊥BC1，

∴A1E⊥BC1，故C正确；

（证明：

由条件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE，又CE∩B1C＝C，∴BC1⊥平面CEA1B1.又A1E⊂平面CEA1B1，∴A1E⊥BC1.）

∵A1E在平面DCC1D1上的射影为D1E，而D1E不与DC1垂直，故A错.

故选C.

方法二　（空间向量法）建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，0），A1（1，0，1），C1（0，1，1），E，

∴＝，＝（0，1，1），＝（－1，－1，0），＝（－1，0，1），

＝（－1，1，0），∴·≠0，·≠0，·＝0，·≠0，∴A1E⊥BC1.

故选C.

9.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别是AA1，A1D1，CC1，BC的中点，给出以下四个结论：

①A1C⊥MN；②A1C∥平面MNPQ；③A1C与PM相交；④NC与PM异面.其中不正确的结论是（　　）

A.①B.②C.③D.④

答案　B

解析　作出过M，N，P，Q四点的截面交C1D1于点S，交AB于点R，如图所示中的六边形MNSPQR，显然点A1，C分别位于这个平面的两侧，故A1C与平面MNPQ一定相交，不可能平行，故结论②不正确.

10.如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C，则B1C与AB的位置关系为________.

答案　异面垂直

解析　∵AO⊥平面BB1C1C，B1C⊂平面BB1C1C，∴AO⊥B1C.

又侧面BB1C1C为菱形，∴B1C⊥BO，

又AO∩BO＝O，∴B1C⊥平面ABO.

∵AB⊂平面ABO，∴B1C⊥AB.

1.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M，N，P分别是棱A1D1，A1A，D1C1的中点，则过M，N，P三点的平面截正方体所得截面的面积为（　　）

A.2B.4

C.6D.12

答案　D

解析　如图所示.

取正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1的中点L，K，Q，连接NL，LK，KQ，QP，

则六边形PQKLNM是过M，N，P三点的平面截正方体所得的截面，

该六边形是正六边形，其边长为NQ＝2，

其面积为6××

（2）2×＝12.

2.给出下列命题：

①若平面α上的直线a与平面β上的直线b为异面直线，直线c是α与β的交线，那么c至多与a，b中的一条相交；

②若直线a与b异面，直线b与c异面，则直线a与c异面；

③一定存在平面α同时和异面直线a，b都平行.

其中正确的命题为（　　）

A.①B.②C.③D.①③

答案　C

解析　①错，c可与a，b都相交；②错，因为a，c也可能相交或平行；③正确，例如过异面直线a，b的公垂线段的中点且与公垂线垂直的平面即满足条件.

3.已知m，n表示两条不同的直线，α表示平面，下列说法正确的是（　　）

A.若m∥α，n∥α，则m∥n

B.若m⊥α，n⊂α，则m⊥n

C.若m⊥α，m⊥n，则n∥α

D.若m∥α，m⊥n，则n⊥α

答案　B

解析　对A，m，n还可能异面、相交，故A不正确；

对C，n还可能在平面α内，故C不正确；

对D，n可能平行于平面α，还可能在平面α内，故D不正确；

对B，由线面垂直的定义可知正确.

4.（2017·包头模拟）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是（　　）

A.0＜θ＜B.0＜θ≤

C.0≤θ≤D.0＜θ≤

答案　D

解析　∵A1B∥D1C，

∴CP与A1B所成的角可化为CP与D1C所成的角.

∵△AD1C是正三角形，当P与A重合时所成的角为，

∵P不能与D1重合，此时D1C与A1B平行而不是异面直线，

∴θ∈.

解题秘籍　

（1）平面的基本性质公理是几何作图的重要工具.

（2）两条异面直线所成角的范围是（0°，90°].

（3）线面关系的判断要结合空间模型或实例，以定理或结论为依据进行推理，绝不能主观判断.

1.l1，l2表示空间中的两条直线，若p：

l1，l2是异面直线，q：

l1，l2不相交，则（　　）

A.p是q的充分条件，但不是q的必要条件

B.p是q的必要条件，但不是q的充分条件

C.p是q的充要条件

D.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

答案　A

解析　由l1，l2是异面直线，可得l1，l2不相交，所以p⇒q；由l1，l2不相交，可得l1，l2是异面直线或l1∥l2，所以q⇏p.所以p是q的充分条件，但不是q的必要条件.故选A.

2.正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1的中点，AB＝4，则过B，E，F的平面截该正方体所得的截面周长为（　　）

A.6＋4B.6＋2

C.3＋4D.3＋2

答案　A

解析　∵正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AD，DD1的中点，

∴EF∥AD1∥BC1.

∵EF⊄平面BCC1，BC1⊂平面BCC1，

∴EF∥平面BCC1.

由正方体的边长为4，可得截面是以BE＝C1F＝2为腰，EF＝2为上底，BC1＝2EF＝4为下底的等腰梯形，故周长为6＋4.

故选A.

3.（2017·唐山一模）下列命题正确的是（　　）

A.若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行

B.若一直线与两个平面所成的角相等，则这两个平面平行

C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

D.若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行

答案　C

解析　A选项中两条直线可能平行也可能异面或相交；B选项中两垂直平面与l所成的角都是45°；D选项中两平面也可能相交.C正确.

4.在如图所示的正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱B1B，AD的中点，直线BF与平面AD1E的位置关系是（　　）

A.平行B.相交但不垂直

C.垂直D.异面

答案　A

解析　取AD1的中点O，连接OE，OF，则OF平行且等于BE，

∴BFOE是平行四边形，

∴BF∥EO.

∵BF⊄平面AD1E，

OE⊂平面AD1E，

∴BF∥平面AD1E.

5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB沿BD折起，使CD⊥平面ABD，构成三棱锥A－BCD.则在三棱锥A－BCD中，下列结论正确的是（　　）

A.AD⊥平面BCD

B.AB⊥平面BCD

C.平面BCD⊥平面ABC

D.平面ADC⊥平面ABC

答案　D

解析　∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，

∴BD⊥CD.又CD⊥平面ABD，则CD⊥AB.又AD⊥AB，AD∩CD＝D，

故AB⊥平面ADC，∴平面ABC⊥平面ADC.

6.已知α，β是两个不同的平面，给出下列四个条件：

①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；④存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α，可以推出α∥β的是（　　）

A.①③B.②④C.①④D.②③

答案　C

解析　对于②，平面α与β还可以相交；

对于③，当a∥b时，不一定能推出α∥β，

所以②③是错误的，易知①④正确，故选C.

7.如图，四边形ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，且PC＝PD＝CD＝2，BC＝2，O，M分别为CD，BC的中点，则异面直线OM与PD所成角的余弦值为（　　）