原创高三导数压轴题题型归纳.docx
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原创高三导数压轴题题型归纳
导数压轴题题型归纳
1.高考命题回顾
例1已知函数f（x）＝ex－ln（x＋m）．（2013全国新课标Ⅱ卷）
（1）设x＝0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；
（2）当m≤2时，证明f（x）>0.
例2已知函数f（x）＝x2＋ax＋b，g（x）＝ex（cx＋d），若曲线y＝f（x）和曲线y＝g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y＝4x+2（2013全国新课标Ⅰ卷）
（Ⅰ）求a，b，c，d的值
（Ⅱ）若x≥－2时,f（x）kg（x），求k的取值范围。
例3已知函数f（x）满足f（x）f'
（1）ex1
f（0）x
1x2（2012全国新课标）
2
（1）
求f（x）的解析式及单调区间；
（2）
若f（x）
1x2
axb，求（a
1）b的最大值。
2
例4
已知函数f（x）
alnx
b，曲线y
f（x）在点（1,f
（1））处的切线方程为x2y30。
x1
x
（2011全国新课标）
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）如果当x
0，且x
1时，f（x）
lnx
k，求k的取值范围。
x1
x
例5设函数f（x）ex1xax2（2010全国新课标）
（1）若a0，求f（x）的单调区间；
（2）若当x0时f（x）0，求a的取值范围
例6已知函数f（x）＝（x3+3x2+ax+b）e－x.（2009宁夏、海南）
（1）若a＝b＝－3,求f（x）的单调区间;
（2）若f（x）在（－∞,α）,（2,单调β）增加,在（α,2）,（β单,+调∞）减少,证明β－α＞6.
2.在解题中常用的有关结论※
（1）
曲线y
f（x）在xx0处的切线的斜率等于
f（x0），且切线方程为
y
f（x0）（xx0）
f（x0）。
（2）
若可导函数y
f（x）在x
x0处取得极值，则f（x0）0
。
反之，不成立。
（3）
对于可导函数
f（x），不等式f（x）
0（
的解集决定函数
f（x）的递增（减）区间。
0）
（4）函数f（x）在区间I上递增（减）的充要条件是：
xIf（x）0（0）恒成立（f（x）不
恒为0）.
（5）函数f（x）（非常量函数）在区间I上不单调等价于f（x）在区间I上有极值，则可等价转化
为方程f（x）
0在区间I上有实根且为非二重根。
（若f（x）为二次函数且
I=R，则有
0）。
（6）
f（x）在区间I
上无极值等价于
f（x）在区间在上是单调函数，进而得到
f（x）
0或
f（x）
0在I
上恒成立
（7）
若
x
I，f（x）0恒成立，则f（x）min
0;若
x
I，f（x）0恒成立，则f（x）max
0
（8）
若
x0
I，使得f（x0）0，则f（x）max
0；若
x0
I，使得f（x0）
0，则f（x）min
0.
（9）
设f（x）与g（x）的定义域的交集为
D，若
x
Df（x）g（x）恒成立，则有
f（x）
g（x）min0.
（10）若对
x1
I1
、x2
I2
，f（x1）
g（x2）恒成立，则f（x）min
g（x）max.
若对
x1
I1
，
x2
I2，使得
f（x1）
g（x2）,则f（x）min
g（x）min.
若对
x1
I1
，
x2
I2，使得
f（x1）
g（x2），则f（x）max
g（x）max.
（11）已知f（x）在区间
I1上的值域为A,，g（x）在区间I2上值域为
B，
若对
x1
I1,
x2
I2，使得f（x1）=g（x2）成立，则A
B。
（12）
若三次函数f（x）有三个零点，则方程
f（x）
0有两个不等实根
x1、x2，且极大值大于
0，
极小值小于0.
（13）
证题中常用的不等式
:
x
①
lnx
x
1（x0）②x+1≤ln（x+1）x（x
1）
③
ex
1
x④
ex
1x
⑤
ln
x
x
1
（x
1）⑥
lnx
1
1
（x
0）
x
1
2
x2
2
2x2
3.题型归纳
①导数切线、定义、单调性、极值、最值、的直接应用
例7（构造函数，最值定位）
设函数f
x
x
2
x1e
kx（其中kR）.
（Ⅰ）当k
1时,求函数f
x的单调区间;
（Ⅱ）当k
1,1时,求函数fx
在0,k
上的最大值M.
2
例8（分类讨论，区间划分）
已知函数f（x）
1x3
1ax2
xb（a0）,f
'（x）为函数f（x）的导
3
2
函数.
（1）设函数f（x）的图象与x轴交点为A,曲线y=f（x）在A点处的切线方程是y
3x3,求a,b的值;
（2）若函数g（x）eaxf'（x）,求函数g（x）的单调区间.
例9（切线）设函数f（x）
x2
a.
（1）当a
1时，求函数
g（x）
xf（x）在区间[0,1]上的最小值；
（2）当
a
0
时，曲线
y
f（x）
在点
P（x1,f（x1））（x1
a）
处的切线为
ll
x
轴交于点
A（x2,0）
，与
求证：
x1x2
a
.
例10（极值比较）已知函数
f（x）（x2
ax
2a2
3a）ex（xR）,其中aR
⑴当a
0时，求曲线y
f（x）在点（1,f
（1））处的切线的斜率；
a
2
3时，求函数f（x）的单调区间与极值.
⑵当
例11（零点存在性定理应用）
已知函数
f
（
x
）
ln
（）
e
x.
x
gx
x+1
⑴若函数φ（x）=f（x）－，求函数φ（x）的单调区间；
⑵设直线l为函数f（x）的图象上一点A（x0，f（x0））处的切线，证明：
在区间（1,+∞）上存在唯一的x0，使得直线l与曲线y=g（x）相切．
例12（最值问题，两边分求）
已知函数f（x）lnxax
1a
（aR）.
1
⑴当a≤1
x
时，讨论f（x）的单调性；
2
1
⑵设g（x）
x2
2bx
4.当a
时，若对任意x1
（0,2），存在x2
1,2，使
4
f（x1）≥g（x2），求实数b取值范围.
例13（二阶导转换）已知函数f（x）lnx
F（x）
f（x）
a（aR）
⑴若
x
，求F（x）的极大值；
⑵若G（x）
[f（x）]2
kx在定义域内单调递减，求满足此条件的实数
k的取值范围.
f（x）x
1
alnx（aR）.
例14（综合技巧）设函数
x
⑴讨论函数f（x）的单调性；
⑵若f（x）有两个极值点x1,x2，记过点
A（x1,f（x1））,B（x2,f（x2））的直线斜率为k,问：
是否存
在a，使得k2a？
若存在，求出
a的值；若不存在，请说明理由.
②交点与根的分布
例
15（切线交点）
已知函数
3
2
1,f1处的切线方程为
fxax
bx3xa,bR在点
y20．
⑴求函数fx的解析式；
⑵若对于区间2,2上任意两个自变量的值x1,x2都有fx1fx2c，求实数c的最
小值；
⑶若过点M2,mm2可作曲线yfx的三条切线，求实数m的取值范围．
例16（根的个数）已知函数f（x）
x，函数g（x）
f（x）sinx是区间[-1，1]上的减函数.
（I）求的最大值；
（II）若g（x）t2
t1在x
[1,1]上恒成立，求t的取值范围；
lnx
x2
2exm
（Ⅲ）讨论关于
x的方程f（x）
的根的个数．
f（x）
ln（23x）
3
x2.
例17（综合应用）已知函数
2
⑴求f（x）在[0,1]上的极值；
x
1
1
ln[
f（x）3x]0
[
],不等式|alnx|
a的取值范围；
⑵若对任意
6
3
成立，求实数
⑶若关于x的方程f（x）2x
b在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数
b的取值范围.
③不等式证明
（x）
a
例18（变形构造法）已知函数
x1，a为正常数．
9
⑴若f（x）lnx
（x），且a
2，求函数f（x）的单调增区间；
⑵在⑴中当a
0时，函数y
f（x）的图象上任意不同的两点
Ax1,y1，Bx2,y2
，线段AB的
中点为C（x0,y0），记直线AB的斜率为k，试证明：
k
f（x0）．
g（x2）
g（x1）
1
g（x）lnx（x）
x
x
0,2
xx
x2
x1
⑶若
，且对任意的
2
，
2，都有
，求a
1
1
的取值范围．
例19（高次处理证明不等式、取对数技巧
）已知函数f（x）x2ln（ax）（a0）
.
（1）若f'（x）
x2
对任意的x0恒成立，求实数
a的取值范围；
g（x）
f（x）
x
x
2
（1
1）,x
x
2
1
4
（2）当a
1时，设函数
x
1
e
1
，求证x1x2
（x1
x2）
，若
例20（绝对值处理）已知函数f（x）x3
ax2
bx
c的图象经过坐标原点，且在
x1
处取得极大
值．
（I）求实数a的取值范围；
（2a
3）2
f（x）的解析式；
（II）若方程f（x）
恰好有两个不同的根，求
9
（III）对于（II）中的函数
f（x），对任意
、
R，求证：
|f（2sin）
f（2sin
）|81．
例21（等价变形）已知函数f（x）ax1lnx（aR）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；
（Ⅱ）若函数
f（x）在x1处取得极值，对
x
（0,
）
f（x）
bx
2恒成立，
求实数b的取值范围；
（Ⅲ）当0
x
ye2且x
e时，试比较
y与1
lny的大小．
x
1
lnx
例22（前后问联系法证明不等式）
f（x）
lnx,g（x）
1
x2
mx
7
（m
0）
已知
2
2
，直线l与函数
f（x）,g（x）的图像都相切，且与函数
f（x）的图像的切点的横坐标为
1。
（I）求直线l
的方程及m的值；
（II）若h（x）
f（x1）g'（x）（其中g'（x）
是g（x）的导函数），求函数h（x）的最大值。
（III）当0
b
a时，求证：
f（a
b）f（2a）
b
a.
2a
例23（整体把握，贯穿全题
）已知函数f（x）
lnx
．
1
x
（1）试判断函数f（x）的单调性；
（2）设m0，求f（x）在[m,2m]上的最大值；
（3）试证明：
对任意nN*，不等式ln（1n）e1n都成立（其中e是自然对数的底数）．
nn
例24（化简为繁，统一变量）设a
R,函数f（x）
lnx
ax.
（Ⅰ）若a
2，求曲线y
f（x）在P1,
2处的切线方程；
（Ⅱ）若f（x）无零点,求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若
f（x）
有两个相异零点
x1,x2
求证:
x1x2
e2
.
例25（导数与常见不等式综合）
已知函数ft（x）
1
1
2（t
x），其中为正常数．
1
x
（1x）
（Ⅰ）求函数
ft（x）在（0,
）上的最大值；
（Ⅱ）设数列{an}满足：
a1
5
an
2，
，3an1
3
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）证明：
对任意的x
0
1
f2（x）（nN*）；
，
an
3n
（Ⅲ）证明：
1
1
1
n2
a1
a2
an
．
n1
例26（利用前几问结论证明立体不等式）
已知函数f（x）=ex-ax（e
为自然对数的底数）.
（I）求函数f（x）的单调区间；
（II）如果对任意x[2,
]，都有不等式f（x）>
x+x2成立，求实数a的取值范围；
（1）n
（2）n（3）n
（n）n
e
（III）设nN*,证明：
n+n
+n
++n
例27已知函数f
x
ax2
1
x
c（a
0）.若函数fx
满足下列条件:
2
1
1
①f1
0
;②对一切实数
x,不等式f
x
x2
恒成立.
2
2
（Ⅰ）求函数fx
的表达式;
（x）
t
2
2at
1
对
x
1,1
a
1,1
恒成立,求实数
t
的取值范围;
（Ⅱ）若f
（Ⅲ）求证:
1
1
1
2n（nN*）.
f
1
f2
fn
n
2
例28（数学归纳法）已知函数f（x）ln（x1）mx，当x0时，函数f（x）取得极大值.
（１）求实数m的值；
（２）已知结论：
若函数
f（x）ln（x
1）
mx在区间（a,b）内导数都存在，且
a
1，则存
在x0
（a,b），使得f（x0）
f（b）
f（a）
1
x1
x2，函数
b
.试用这个结论证明：
若
a
g（x）
f（x1）
f（x2）（xx1）
f（x1），则对任意x
（x1,x2），都有f（x）
g（x）；
x1
x2
（３）已知正数
1,
2,L,
n，满足
1
2
Ln
1，求证：
当n
2，n
N时，对任意
大于
1
，且互不相等的实数
x1,x2,L,xn
，都有
f（
1
x
1
x
L
2nxn）
1f（x
1
）fx
2
（L
2
）
n
fx
n.
（
）
2
④恒成立、存在性问题求参数范围
例29（传统讨论参数取值范围）已知函数f（x）（2a）（x1）2lnx，g（x）xe1x（aR,e为
自然对数的底数）
（1）当a1时，求f（x）的单调区间；
（2）对任意的x（0,1）,f（x）0恒成立，求a的最小值；
（3）若对任意给定的x0
0,e,在0,e上总存在两个不同的xi（i
1,2），
使得f（xi）g（x0）成立，求a的取值范围。
例30已知函数f（x）a
1.
|x|
（1）求证：
函数y
f（x）在（0,
）上是增函数.
（2）若f（x）2x在（1,）上恒成立，求实数a的取值范围.
（3）若函数yf（x）在[m,n]上的值域是[m,n]（mn），求实数a的取值范围.
例31已知函数f（x）ln（2ax1）
x3
x2
2ax（aR）.
3
（1）若x2为f（x）的极值点,求实数a的值
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