高中数学快速提升成绩题型训练指对数函数.docx

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高中数学快速提升成绩题型训练指对数函数

高考数学快速提升成绩题型训练——指、对数函数

1.若f（x）=x2－x+b，且f（log2a）=b，log2［f（a）］=2（a≠1）.

（1）求f（log2x）的最小值及对应的x值；

（2）x取何值时，f（log2x）＞f

（1）且log2［f（x）］＜f

（1）

2

要使函数y=1+2x+4xa在x∈（－∞，1）上y＞0恒成立，求a的取值范围.

3.求函数y=2lg（x－2）－lg（x－3）的最小值.

4.已知函数f（x）=3x+k（k为常数），A（－2k，2）是函数y=f－1（x）图象上的点.

（1）求实数k的值及函数f－1（x）的解析式；

（2）将y=f－1（x）的图象按向量a=（3，0）平移，得到函数y=g（x）的图象，若2f－1（x+

－3）－g（x）≥1恒成立，试求实数m的取值范围.

5.函数y=a2x+2ax-1（a>0,a≠1）在区间[-1,1]上的最大值为14，求a的值。

6.设函数f（x）=loga（x-3a）（a>0,a≠1）,当点P（x,y）是函数y=f（x）图象上的点时，点Q（x-2a,-y）是函数y=g（x）的图象上的点

（1）写出函数y=g（x）的解析式

（2）若当x∈[a+2,a+3]时，恒有︱f（x）-g（x）︱≤1,试确定的取值范围。

7.已知a>0,a≠1，

（1）当f（x）的定义域为（-1,1）时，解关于m的不等式f（1-m）+f（1-m2）<0;

（2）若f（x）-4恰在（-∞,2）上取负值，求a的值

8.已知函数

，

求证：

（1）函数

在

上为增函数；

（2）方程

没有负数根．

9.已知函数

（

且

）．（《高考

计划》考点15，例4）．

求证：

（1）函数

的图象在

轴的一侧；

（2）函数

图象上任意两点连线的斜率都大于

．

10.设函数y=a2x-2ax+3，x∈［-1，1］.

（1）当a=

时求函数的值域；

（2）当a>1时，划分函数的单调区间.

11.求实数m的值，使函数f（x）=logm（x2+1）在［0，2］上的最大值为3.

12.函数f（x）=log

（x2-ax+a）在（-∞，

）上单调增，求a的取值范围.

13.已知函数f（x）=log0.1

+log0.1（x-1）+log0.1（a-x）（a>1）的最小值为-2，求实数a的值.

14.当a>0时，解不等式：

logaxx+logx（ax）2>0.

15.是否存在实数a，使函数f（x）=loga（ax2-x）在区间［2，4］上单调增.若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由.

16.已知

是奇函数（其中

，

（1）求

的值；

（2）讨论

的单调性；

（3）求

的反函数

；

（4）当

定义域区间为

时，

的值域为

，求

的值.

17.对于函数

，解答下述问题：

（1）若函数的定义域为R，求实数a的取值范围；

（2）若函数的值域为R，求实数a的取值范围；

（3）若函数在

内有意义，求实数a的取值范围；

（4）若函数的定义域为

，求实数a的值；

（5）若函数的值域为

，求实数a的值；

（6）若函数在

内为增函数，求实数a的取值范围.

18.解答下述问题：

（Ⅰ）设集合

，

若当

时，函数

的最大值为2，

求实数a的值.

（Ⅱ）若函数

在区间[0，2]上的最大值为9，求实数a的值.

（Ⅲ）设关于

的方程

R），

（1）若方程有实数解，求实数b的取值范围；

（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解.

19.设

均为正数，且

，求证：

.

20.已知函数f（x）=logm

（1）若f（x）的定义域为［α，β］，（β＞α＞0），判断f（x）在定义域上的增减性，并加以说明；

（2）当0＜m＜1时，使f（x）的值域为［logm［m（β–1）］，logm［m（α–1）］］的定义域区间为［α,β］（β＞α＞0）是否存在？

请说明理由.

答案：

1.解：

（1）∵f（x）=x2－x+b，∴f（log2a）=log22a－log2a+b.

由已知有log22a－log2a+b=b，∴（log2a－1）log2a=0.

∵a≠1，∴log2a=1.∴a=2.

又log2［f（a）］=2，∴f（a）=4.∴a2－a+b=4，b=4－a2+a=2.

故f（x）=x2－x+2，从而f（log2x）=log22x－log2x+2=（log2x－

）2+

.

∴当log2x=

即x=

时，f（log2x）有最小值

.

（2）由题意

0＜x＜1.

2.解：

由题意，得1+2x+4xa＞0在x∈（－∞，1）上恒成立，

即a＞－

在x∈（－∞，1）上恒成立.

又∵－

=－（

）2x－（

）x=－［（

）x+

］2+

，

当x∈（－∞，1］时值域为（－∞，－

］，∴a＞－

.

3.解：

定义域为x＞3，原函数为y＝lg

.

又∵

＝

＝

＝（x－3）＋

＋2≥4，

∴当x＝4时，ymin＝lg4.

4.解：

（1）∵A（－2k，2）是函数y=f－1（x）图象上的点，

∴B（2，－2k）是函数y=f（x）上的点.

∴－2k=32+k.∴k=－3.

∴f（x）=3x－3.

∴y=f－1（x）=log3（x+3）（x＞－3）.

（2）将y=f－1（x）的图象按向量a=（3，0）平移，得到函数y=g（x）=log3x（x＞0），要使2f－1（x+

－3）－g（x）≥1恒成立，即使2log3（x+

）－log3x≥1恒成立，所以有x+

+2

≥3在x＞0时恒成立，只要（x+

+2

）min≥3.

又x+

≥2

（当且仅当x=

，即x=

时等号成立），∴（x+

+2

）min=4

，即4

≥3.∴m≥

.

5.解：

令u=ax,y=（u+1）2-2.因为-1≤x≤1

当a>1时

当0

综上得，

『变式』已知f（x）=log4（2x+3-x2）求

（1）f（x）的单调区间；

（2）求函数f（x）的最大值及对应的x的值.

增区间为（-1,1],减为区间[1,3）

∵u=-（x-1）2+4≦4,∴x=1时y=1为最大值

6.解：

（1）设点

则

（2）

故函数r（x）=

在区间x∈[a+2,a+3]上为增函数

问题转化为

7.解:

（1）令t=logax,可得f（t）=

当a>1时

当0

（2）由题意，当

8.证明：

（1）设

，

则

，

∵

，∴

，

，

，

∴

；

∵

，且

，∴

，∴

，

∴

，即

，∴函数

在

上为增函数；

（2）假设

是方程

的负数根，且

，则

，

即

，①

当

时，

，∴

，∴

，而由

知

，

∴①式不成立；

当

时，

，∴

，∴

，而

，

∴①式不成立．

综上所述，方程

没有负数根．

9.证明：

（1）由

得：

，

∴当

时，

，即函数

的定义域为

，此时函数

的图象在

轴的右侧；

当

时，

，即函数

的定义域为

，此时函数

的图象在

轴的左侧．

∴函数

的图象在

轴的一侧；

（2）设

、

是函数

图象上任意两点，且

，

则直线

的斜率

，

，

当

时，由

（1）知

，∴

，∴

，

∴

，∴

，又

，∴

；

当

时，由

（1）知

，∴

，∴

，

∴

，∴

，又

，∴

．

∴函数

图象上任意两点连线的斜率都大于

．

10.

（1）y=（ax-1）2+2=［（

）x-1］2+2，∵x∈［-1，1］，∴（

）x∈［

，3］故当（

）x=1时，ymin=2；当（

）x=3时，ymax=6，故函数的值域是［2，6］.

（2）y=（ax-1）2+2，令t=ax，因a>1，∴t是x的增函数，且y=（t-1）2+2，t∈［

，a］.

当t≥1时，y单调增，此时，由ax≥1可知x∈［0，1］，故原函数的单调增区间是［0，1］，单调减区间是［-1，0］.

11.令t=x2+1，∵x∈［0，2］，∴t是x的增函数，且t∈［1，5］.

（1）当m>1时，f（x）max=logm5=3

m=

；

（2）当0

综上所述得：

m=

.

12.由条件知，函数g（x）=x2-ax+a=（x-

）2+（a-

）在（-∞，

）上是单调减函数，故由

2

≤a≤2+2

.

即a∈［2

，2+2

］.

13.由

1

∴f（x）=log0.1（x+1）（a-x）=log0.1［-x2+（a-1）x+a］（1

∵f（x）最小值为-2，∴y=-x2+a+（a-1）x有最大函数值100.

因对称轴x=

，故当1<

3时，由100=-（

）2+（a-1）·（

）+a解得a=19.当

≤1时，即a≤2时，f

（1）最小但无意义；

当

≥a即a≤-1时，不符合条件.

综上所述知：

a=19.

14.解：

由条件知x≠1，ax≠1令t=logxax，则

+2t>0

t>0

logxax>logx1故

或

，

①当a>1时，x>1或0

；

②当0

或0

③当a=1时，x>1或0

15.令u=g（x）=ax2-x，假设a值存在，为使y=loga（ax2-x）=logau在［2，4］上单调增.

①当a>1时，只须u在［2，4］上增，故由

a>1.

②当0

无解.

综上所述，知存在a>1满足条件.

16.

（1）

对定义域内的任意

恒成立，

，

当

不是奇函数，

，

（2）

定义域为

，

求导得

，

①当

时，

在

上都是减函数；

②当

时，

上都是增函数；

（另解）设

，任取

，

，

，结论同上；

（3）

，

（4）

上为减函数，

命题等价于

，即

，

解得

.

17.记

，

（1）

恒成立，

，

的取值范围是

；

（2）这是一个较难理解的问题。

从“

的值域为R”，这点思考，“

的值域

为R”等价于“

能取遍

的一切值”，或理解为“

的值域包含

了区间

”

的值域为

∴命题等价于

，

∴a的取值范围是

；

（3）应注意“在

内有意义”与定义域的概念是不同的，

命题等价于“

恒成立”，应按

的对称轴

分类，

，

的取值范围是

；

（4）由定义域的概念知，命题等价于

不等式

的解集为

，

是方程

的两根，

即a的值为2；

（5）由对数函数性质易知：

的值域为

，由此学生很容易得

，但这是不正确的.因为“

”与“

的值域为

”并不等价，后者要求

能取遍

的一切值（而且不能多取）.

∵

的值域是

，

∴命题等价于

；

即a的值为±1；

（6）命题等价于：

，

即

，得a的取值范围是

.

18.（Ⅰ）

而

，

令

，

，其对称轴

，

①当

，即

，适合；

②当

，适合；

综上，

.

（Ⅱ）

，

令

，

∴抛物线