(1)求证:
△AOG◎△ADG;
(2)求/PAG的度数;并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系,说明理由;
(3)当/1=/2时,求直线PE的解析式.
7.(2012?
桃源县校级自主招生)如图,点A在y轴上,点B在x轴上,且OA=OB=1,经过原点O的直线I交线段
AB于点C,过C作OC的垂线,与直线x=1相交于点P,现将直线L绕O点旋转,使交点C从A向B运动,但C点
必须在第一象限内,并记AC的长为t,分析此图后,对下列问题作出探究:
(1)当△AOC和厶BCP全等时,求出t的值;
(2)通过动手测量线段OC和CP的长来判断它们之间的大小关系并证明你得到的结论;
(3)①设点P的坐标为(1,b),试写出b关于t的函数关系式和变量t的取值范围.
8(2012秋?
海陵区期末)如图1,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴交于点A,与y轴交于点B,与直线OC交
于点C.
(1)若直线AB解析式为y=-2x+12,直线OC解析式为y=x,
1求点C的坐标;
2求厶OAC的面积.
(2)如图2,作/AOC的平分线ON,若AB丄ON,垂足为E,△OAC的面积为6,且OA=4,P、Q分别为线段OA、OE上的动点,连接AQ与PQ,试探索AQ+PQ是否存在最小值?
若存在,求出这个最小值;若不存在,说明理由.
9.(2012秋?
成都校级期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线PA是一次函数y=x+m(m>0)的图象,直
线PB是一次函数y=-3x+n(n>m)的图象,点P是两直线的交点,点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点.
(1)用m、n分别表示点A、B、P的坐标及/PAB的度数;
(2)若四边形PQOB的面积是¥,且CQ:
AO=1:
2,试求点P的坐标,并求出直线PA与PB的函数表达式;
(3)在
(2)的条件下,是否存在一点D,使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,求出点D的坐
标;若不存在,请说明理由.
10.(2012秋?
綦江县校级期末)如图,一次函数•:
;的函数图象与x轴、y轴分别交于点A、B,以线段AB
为直角边在第一象限内作RtAABC,且使/ABC=30°
(1)求△ABC的面积;
(2)如果在第二象限内有一点P(m,普)试用含m的代数式表示△APB的面积,并求当△APB与厶ABC面积相等时m的值;
(3)是否存在使△QAB是等腰三角形并且在坐标轴上的点Q?
若存在,请写出点Q所有可能的坐标;若不存在,请
(1)
(2)
参考答案与试题解析
一.解答题(共10小题)
1.(2013?
)如图1,在平面直角坐标系中,已知△AOB是等边三角形,点A的坐标是(0,4),点B在第一象限,点P是x轴上的一个动点,连接AP,并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转,使边AO与AB重合,得到△ABD.
求直线AB的解析式;
当点P运动到点(一「;,0)时,求此时DP的长及点D的坐标;
考点:
一次函数综合题.
专题:
压轴题.
分析:
(1)过点B作BE丄y轴于点E,作BF丄x轴于点F.依题意得BF=OE=2,利用勾股定理求出OF,然后可得点B的坐标.设直线AB的解析式是y=kx+b,把已知坐标代入可求解.
(2)由厶ABD由厶AOP旋转得到,证明△ABDBAAOP.AP=AD,/DAB=/PAO,/DAP=/BAO=60°△ADP
是等边三角形.利用勾股定理求出DP.在RtABDG中,/BGD=90°/DBG=60°利用三角函数求出
BG=BD?
cos60°DG=BD?
sin60°然后求出OH,DH,然后求出点D的坐标.
(3)本题分三种情况进行讨论,设点P的坐标为(t,0):
1当P在x轴正半轴上时,即t>0时,关键是求出D点的纵坐标,方法同
(2),在直角三角形DBG中,可根据BD即OP的长和/DBG的正弦函数求出DG的表达式,即可求出DH的长,根据已知的△OPD的面积可列出一个关于t的方程,即可求出t的值.
2当P在x轴负半轴,但D在x轴上方时.即-出匡vtO时,方法同①类似,也是在直角三角形DBG用
BD的长表示出DG,进而求出GF的长,然后同①.
3当P在x轴负半轴,D在x轴下方时,即tw-仝唾时,方法同②.
3
综合上面三种情况即可求出符合条件的t的值.
解答:
解:
(1)如图1,过点B作BE丄y轴于点E,作BF丄x轴于点F.由已知得:
BF=OE=2,OFnJ/-2?
=如^,
•••点B的坐标是(2辽2)
设直线AB的解析式是y=kx+b(k旳),则有(旷厶后胡殆.
解得&.
b=4
•••直线AB的解析式是y
二x+4;
(2)如图2,•••△ABD由厶AOP旋转得到,
•△ABD◎△AOP,
•AP=AD,/DAB=/PAO,
•/DAP=/BAO=60°
•△ADP是等边三角形,
•DP=AP=.——
如图2,过点D作DH丄x轴于点H,延长EB交DH于点G,贝UBG丄DH.方法
(一)
在RtABDG中,/BGD=90°/DBG=60°
•点D的坐标为(上:
二)
方法
(二)
易得/AEB=/BGD=90°/ABE=/BDG,
•△ABEs^BDG,
'.;而AE=2,BD=OP=C,BE=2:
AB=4,AEBEAB
则有-T——,解得BG=]:
DG=;
(3)假设存在点P,在它的运动过程中,使△OPD的面积等于
Vs
设点P为(t,0),下面分三种情况讨论:
1当t>0时,如图,BD=OP=t,DG=
•DH=2+
Vs
T'
•••△OPD的面积等于
解得;亠丄
-V21-2V3
(舍去)
•••点Pl的坐标为(
②•••当D在y轴上时,根据勾股定理求出
BD='=OP
3
•当一t<0时,如图,BD=OP=-t,DG=-:
:
t,
32
■I,
•;解得―三,
3当twI时,如图3,BD=OP=-t,DG=-「,
•DH=-
•••丄(-t)[-(2+解得一-
•••点P4的坐标为(
■I,
(舍去
0),
综上所述,点P的坐标分别为Pi(——7——
0)、P2
(~~,0)、P3(.昉,0)、
■J
J
A
E
0
FFH%
图2
圉I
点评:
本题综合考查的是一次函数的应用,包括待定系数法求解析式、旋转的性质、相似三角形的判定和性质、三角
形面积公式的应用等,难度较大.
2.(2013?
)如图,直线y-=x+4与坐标轴分别交于点A、B,与直线y=x交于点C.在线段OA上,动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动,同时动点P从点A出发向点O做匀速运动,当点P、Q其中一点停止运动时,另一点也停止运动.分别过点P、Q作x轴的垂线,交直线AB、OC于点E、F,连接EF.若运动时间为
t秒,在运动过程中四边形PEFQ总为矩形(点P、Q重合除外).
(1)求点P运动的速度是多少?
(2)当t为多少秒时,矩形PEFQ为正方形?
(3)当t为多少秒时,矩形PEFQ的面积S最大?
并求出最大值.
考点:
一次函数综合题.专题:
压轴题.
A、B,得出A,B点的坐标,再利用EP〃BO,得出盍七于,
分析:
(1)根据直线y=-—x+4与坐标轴分别交于点
据此可以求得点P的运动速度;
(2)当PQ=PE时,以及当PQ=PE时,矩形PEFQ为正方形,分别求出即可;
(3)根据
(2)中所求得出s与t的函数关系式,进而利用二次函数性质求出即可.解答:
解:
(1)t直线y=-「x+4与坐标轴分别交于点A、B,
•••x=0时,y=4,y=0时,x=8,
!
■'丄
4
1
8
当t秒时,QO=FQ=t,贝UEP=t,
•/EP//BO,
•:
=IL
…乔aT2,
•AP=2t,
•••动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动,
•点P运动的速度是每秒2个单位长度;
(2)如图1,当PQ=PE时,矩形PEFQ为正方形,
贝U•/OQ=FQ=t,PA=2t,
•QP=8-t-2t=8-3t,
•8-3t=t,
解得:
t=2;
如图2,当PQ=PE时,矩形PEFQ为正方形,
•/OQ=t,PA=2t,
•OP=8-2t,
•QP=t-(8-2t)=3t-8,
•t=3t-8,
解得:
t=4;
(3)如图1,当Q在P点的左边时,
•/OQ=t,PA=2t,
•QP=8-t-2t=8-3t,
2
上时,
•S矩形pefcfQP?
QF=(8-3t)?
t=8t-3t,
当t=-
如图2,当Q在P点的右边时,
•/OQ=t,PA=2t,
•2t>8-t,
•QP=t-(8-2t)=3t-8,
•S矩形pefq=QP?
QF=(3t-8)?
t=3t2-8t,
•••当点p、q其中一点停止运动时,另一点也停止运动,
2
•••t=4时,S矩形pefq的最大值为:
3>4-8X4=16,
综上所述,当t=4时,S矩形PEFQ的最大值为:
3.(2013?
)如图,直线MN与x轴,y轴分别相交于A,C两点,分别过A,C两点作x轴,y轴的垂线相交于B点,
2
且0A,OC(OA>0C)的长分别是一元二次方程x-14x+48=0的两个实数根.
(1)求C点坐标;
)求直线MN的解析式;
考点:
一次函数综合题.
专题:
压轴题.
分析:
2
(1)通过解方程x-14x+48=0可以求得0C=6,0A=8.则C(0,6);
(2)设直线MN的解析式是y=kx+b(k旳).把点A、C的坐标分别代入解析式,列出关于系数k、b的方程
组,通过解方程组即可求得它们的值;
(3)需要分类讨论:
PB为腰,PB为底两种情况下的点P的坐标.根据等腰三角形的性质、两点间的距离公
式以及一次函数图象上点的坐标特征进行解答.
xi=6,X2=8.
2
的两个实数根,
•/OA,OC(OA>0C)的长分别是一元二次方程x-14x+48=0
•••0C=6,0A=8.
二C(0,6);
(2)设直线MN的解析式是y=kx+b(k旳).由
(1)知,0A=8,则A(8,0).
•••点A、C都在直线MN上,
二6,
r3
k=-—
解得,(4,
>=6
•直线MN的解析式为y=-斗x+6;
4
(3)•/A(8,0),C(0,6),•根据题意知B(8,6).
•••点P在直线MNy=---x+6上,
4
•••设P(a,^—a+6)
4
当以点P,B,C三点为顶点的三角形是等腰三角形时,需要分类讨论:
P1(4,3);
①当PC=PB时,点P是线段BC的中垂线与直线MN的交点,
232
②当PC=BC时,a+(---a+6-6)=64,
4
32函
5,
解得,a=土普
,则P2(-
),P3(
326
一);
2
③当PB=BC时,(a-8)+
解得,a=,贝Ha+6=-
25
a-6+6)2=64,
42256
•p4广"■,•P(
综上所述,符合条件的点P有:
Pi(4,3),P2(-—
-)右.
32邑
-,_
)P3
z326、cz25&42、
W,忑),(厉,-更P
点评:
本题考查了一次函数综合题•其中涉及到的知识点有:
待定系数法求一次函数解析式,一次函数图象上点的坐
标特征,等腰三角形的性质•解答(3)题时,要分类讨论,防止漏解•另外,解答(3)题时,还利用了数
形结合”的数学思想.
4.(2013?
)如图,平面直角坐标系中,直线
I分别交x轴、y轴于A、B两点(OAvOB)且OA、OB的长分别是一元
次方程x2-(.二+1)x+F;」=0的两个根,点C在x轴负半轴上,且AB:
AC=1:
2
(1)求A、C两点的坐标;
(2)若点M从C点出发,以每秒1个单位的速度沿射线CB运动,连接人皿,设厶ABM的面积为S,点M的运动时间为t,写出S关于t的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(3)点P是y轴上的点,在坐标平面内是否存在点Q,使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形?
若存在,请直接写出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.
考点:
一次函数综合题.
专题:
分析:
压轴题.
(1)通过解一元二次方程x2-(k;;+1)x+.:
;-0,求得方程的两个根,从而得到A、B两点的坐标,再根据两点之间的距离公式可求AB的长,根据AB:
AC=1:
2,可求AC的长,从而得到C点的坐标;
(2)分①当点M在CB边上时;②当点M在CB边的延长线上时;两种情况讨论可求S关于t的函数关系式;
(3)分AQ=AB,BQ=BA,BQ=QA三种情况讨论可求Q点的坐标.
解答:
解:
(1)x—(〔「+1)x+-「;=0,
(x-*)(x-1)=0,
解得X1』・:
:
x2=1,•/OAvOB,
•••OA=1,OB=:
;,
•••A(1,0),B(0,•「;),
•AB=2,
又•••AB:
AC=1:
2,
•-AC=4,
二C(-3,0);
(2)•/AB=2,AC=4,BC=2二
222
•••AB+BC=AC,
即/ABC=90°
由题意得:
CM=t,CB=2*.i.
1当点M在CB边上时,S=2二-t(0)
2当点M在CB边的延长线上时,S=t-2:
;(t>2_;);
(3)存在.
①当AB是菱形的边时,如图所示,
在菱形APiQiB中,QiO=AO=1,所以Qi点的坐标为(-1,0),
在菱形ABP2Q2中,AQ2=AB=2,所以Q2点的坐标为(1,2),
在菱形ABPaQa中,AQ3=AB=2,所以Qa点的坐标为(1,-2),
②当AB为菱形的对角线时,如图所示的菱形AP4BQ4,
即X=12+(二—x);解得x=…',
222
设菱形的边长为x,则在RtAAP4O中,AP4=AO+P4O,所以Q4(1,-).
综上可得,平面内满足条件的Q点的坐标为:
Qi(-1,0),Q2(1,-2),Qa(1,2),Q4(1,戶上).
点评:
考查了一次函数综合题,涉及的知识点有:
解一元二次方程,两点之间的距离公式,三角形面积的计算,函数思想,分类思想的运用,菱形的性质,综合性较强,有一定的难度.
5.(2013春?
屯留县期末)如图,四边形OABC是菱形,点C在x轴上,AB交y轴于点H,AC交y轴于点M.已知点A(-3,4).
(1)求AO的长;
(2)求直线AC的解析式和点M的坐标;
(3)点P从点A出发,以每秒2个单位的速度沿折线A-B-C运动,到达点C终止.设点P的运动时间为t秒,△PMB的面积为S.
1求S与t的函数关系式;
2求S的最大值.
A
B
$
APE
B
J
0
€?
考点:
一次函数综合题;解二元一次方程组;待定系数法求一次函数解析式;三角形的面积;角平分线的性质;勾股定理;菱形的性质.
专题:
计算题.
分析:
(1)根据A的坐标求出AH、OH,根据勾股定理求出即可;
(2)根据菱形性质求出B、C的坐标,设直线AC的解析式是y=kx+b,把A(-3,4),C(5,0)代入得到方程组,求出即可;
(3)①过M作MN丄BC于N,根据角平分线性质求出MN,P在AB上,根据三角形面积公式求出即可;P
在BC上,根据三角形面积公式求出即可;②求出P在AB的最大值和P在BC上的最大值比较即可得到答案.
解答:
(1)解:
TA(-3,4),
•••AH=3,0H=4,
由勾股定理得:
A°=寸期°+0h'=5,
答:
0A的长是5.
(2)解:
•••菱形OABC,
•-0A=0C=BC=AB=5,
5-3=2,
•B(2,4),C(5,0),
设直线AC的解析式是y=kx+b,
f4=-
把A(-3,4),C(5,0)代入得:
•直线AC的解析式为尸-吉迸,
当x=0时,y=2.5
•M(0,2.5),
答:
直线AC的解析式是尸一十|,点M的坐标是(0,2.5).
(3)①解:
过M作MN丄BC于N,
•••菱形OABC,
•••/BAC=/OCA,
•/MO丄CO,MN丄BC,
•OM=MN,
当0电v2.5时,
P在AB上,MH=4-2.5=,
当t=2.5时,P与B重合,△PMB不存在;
当2.5vt<5时,P在BC上,S=1>PB>MIN=3X(2t-5)更=3-—,
22224
答:
S与t的函数关系式是S=--|t-Hy(0WV2.5)或S今七一普(2.5vt韦).
②解:
当P在AB上时,高MH—定,只有BP取最大值即可,即P与A重合,S最大是二>5总A,
224
同理在BC上时,P与C重合时,S最大是丄>5>闫,
224
•s的最大值是
4
答:
S的最大值是-
A
JPH
J
0
cf0
~c
点评:
本题主要考查对勾股定理,三角形的面积,菱形的性质,角平分线性质,解二元一次方程组,用待定系数法求一次函数的解析式等知识点的理解和掌握,综合运用这些性质进行计算是解此题的关键.
6.(2012?
)如图,正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上,点B坐标(3,3),将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度a(0°vav90°,得到正方形ADEF,ED交线段OC于点G,ED的延长线交线段BC于点P,连AP、AG.
(1)求证:
△AOG◎△ADG;
(2)求/PAG的度数;并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系,说明理由;
(3)当/1=/2时,求直线PE的解析式.
考点:
一次函数综合题.
专题:
压轴题.
分析:
(1)由AO=AD,AG=AG,利用HL”可证△AOG◎△ADG;
(2)利用
(1)的方法,同理可证△ADPABP,得出/1=/DAG,/DAP=/BAP,而
/1+/DAG+/DAP+/BAP=90°由此可求/PAG的度数;根据两对全等三角形的性质,可得出线段OG、PG、
BP之间的数量关系;
(3)由厶AOGADG可知,/AGO=/AGD,而/1+/AGO=90°/2+/PGC=90°当/1=/2时,可证/AGO=/AGD=/PGC,而/AGO+/AGD+/PGC=180°得出/AGO=/AGD=/PGC=60°即/1=/2=30°,解直角三角形求OG,PC,确定