（1）求证：
△AOG◎△ADG;
（2）求/PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由；
（3）当/1=/2时，求直线PE的解析式.
7.（2012?
桃源县校级自主招生）如图，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA=OB=1，经过原点O的直线I交线段
AB于点C,过C作OC的垂线，与直线x=1相交于点P,现将直线L绕O点旋转，使交点C从A向B运动，但C点
必须在第一象限内，并记AC的长为t，分析此图后，对下列问题作出探究：
（1）当△AOC和厶BCP全等时，求出t的值；
（2）通过动手测量线段OC和CP的长来判断它们之间的大小关系并证明你得到的结论；
（3）①设点P的坐标为（1，b），试写出b关于t的函数关系式和变量t的取值范围.
8（2012秋？
海陵区期末）如图1,在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B,与直线OC交
于点C.
（1）若直线AB解析式为y=-2x+12，直线OC解析式为y=x,
1求点C的坐标；
2求厶OAC的面积.
（2）如图2,作/AOC的平分线ON，若AB丄ON，垂足为E,△OAC的面积为6，且OA=4,P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ,试探索AQ+PQ是否存在最小值？
若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由.
9.（2012秋?
成都校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线PA是一次函数y=x+m（m>0）的图象，直
线PB是一次函数y=-3x+n（n>m）的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点.
（1）用m、n分别表示点A、B、P的坐标及/PAB的度数；
（2）若四边形PQOB的面积是¥，且CQ:
AO=1:
2，试求点P的坐标，并求出直线PA与PB的函数表达式；
（3）在
（2）的条件下，是否存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，求出点D的坐
标；若不存在，请说明理由.
10.（2012秋？
綦江县校级期末）如图，一次函数•：
；的函数图象与x轴、y轴分别交于点A、B,以线段AB
为直角边在第一象限内作RtAABC，且使/ABC=30°
（1）求△ABC的面积；
（2）如果在第二象限内有一点P（m，普）试用含m的代数式表示△APB的面积，并求当△APB与厶ABC面积相等时m的值；
（3）是否存在使△QAB是等腰三角形并且在坐标轴上的点Q?
若存在，请写出点Q所有可能的坐标；若不存在，请
（1）
（2）
参考答案与试题解析
一.解答题（共10小题）
1.（2013?
）如图1,在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0,4）,点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD.
求直线AB的解析式；
当点P运动到点（一「；，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；
考点：
一次函数综合题.
专题：
压轴题.
分析：
（1）过点B作BE丄y轴于点E,作BF丄x轴于点F.依题意得BF=OE=2，利用勾股定理求出OF，然后可得点B的坐标.设直线AB的解析式是y=kx+b，把已知坐标代入可求解.
（2）由厶ABD由厶AOP旋转得到，证明△ABDBAAOP.AP=AD,/DAB=/PAO,/DAP=/BAO=60°△ADP
是等边三角形.利用勾股定理求出DP.在RtABDG中，/BGD=90°/DBG=60°利用三角函数求出
BG=BD?
cos60°DG=BD?
sin60°然后求出OH,DH，然后求出点D的坐标.
（3）本题分三种情况进行讨论，设点P的坐标为（t,0）:
1当P在x轴正半轴上时，即t>0时，关键是求出D点的纵坐标，方法同
（2）,在直角三角形DBG中，可根据BD即OP的长和/DBG的正弦函数求出DG的表达式，即可求出DH的长，根据已知的△OPD的面积可列出一个关于t的方程，即可求出t的值.
2当P在x轴负半轴，但D在x轴上方时.即-出匡vtO时，方法同①类似，也是在直角三角形DBG用
BD的长表示出DG,进而求出GF的长，然后同①.
3当P在x轴负半轴，D在x轴下方时，即tw-仝唾时，方法同②.
3
综合上面三种情况即可求出符合条件的t的值.
解答：
解：
（1）如图1,过点B作BE丄y轴于点E,作BF丄x轴于点F.由已知得：
BF=OE=2,OFnJ/-2?
=如^,
•••点B的坐标是（2辽2）
设直线AB的解析式是y=kx+b（k旳）,则有（旷厶后胡殆.
解得&.
b=4
•••直线AB的解析式是y
二x+4;
（2）如图2,•••△ABD由厶AOP旋转得到，
•△ABD◎△AOP,
•AP=AD,/DAB=/PAO,
•/DAP=/BAO=60°
•△ADP是等边三角形，
•DP=AP=.——
如图2,过点D作DH丄x轴于点H，延长EB交DH于点G,贝UBG丄DH.方法
（一）
在RtABDG中，/BGD=90°/DBG=60°
•点D的坐标为（上：
二）
方法
（二）
易得/AEB=/BGD=90°/ABE=/BDG,
•△ABEs^BDG,
'.;而AE=2,BD=OP=C,BE=2:
AB=4,AEBEAB
则有-T——，解得BG=］：
DG=；
（3）假设存在点P,在它的运动过程中，使△OPD的面积等于
Vs
设点P为（t,0）,下面分三种情况讨论：
1当t>0时，如图，BD=OP=t,DG=
•DH=2+
Vs
T'
•••△OPD的面积等于
解得；亠丄
-V21-2V3
（舍去）
•••点Pl的坐标为（
②•••当D在y轴上时，根据勾股定理求出
BD='=OP
3
•当一t<0时，如图，BD=OP=-t,DG=-：
：
t,
32
■I，
•;解得―三，
3当twI时，如图3,BD=OP=-t，DG=-「，
•DH=-
•••丄（-t）[-（2+解得一-
•••点P4的坐标为（
■I，
（舍去
0）,
综上所述，点P的坐标分别为Pi（——7——
0）、P2
（~~,0）、P3（.昉，0）、
■J
J
A
E
0
FFH%
图2
圉I
点评：
本题综合考查的是一次函数的应用，包括待定系数法求解析式、旋转的性质、相似三角形的判定和性质、三角
形面积公式的应用等，难度较大.
2.（2013?
）如图，直线y-=x+4与坐标轴分别交于点A、B,与直线y=x交于点C.在线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动.分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC于点E、F,连接EF.若运动时间为
t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合除外）.
（1）求点P运动的速度是多少？
（2）当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？
（3）当t为多少秒时，矩形PEFQ的面积S最大？
并求出最大值.
考点：
一次函数综合题.专题：
压轴题.
A、B，得出A，B点的坐标，再利用EP〃BO,得出盍七于，
分析：
（1）根据直线y=-—x+4与坐标轴分别交于点
据此可以求得点P的运动速度；
（2）当PQ=PE时，以及当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，分别求出即可；
（3）根据
（2）中所求得出s与t的函数关系式，进而利用二次函数性质求出即可.解答：
解：
（1）t直线y=-「x+4与坐标轴分别交于点A、B,
•••x=0时,y=4,y=0时,x=8,
!
■'丄
4
1
8
当t秒时，QO=FQ=t，贝UEP=t,
•/EP//BO,
•：
=IL
…乔aT2，
•AP=2t,
•••动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动,
•点P运动的速度是每秒2个单位长度；
（2）如图1，当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，
贝U•/OQ=FQ=t,PA=2t,
•QP=8-t-2t=8-3t,
•8-3t=t,
解得：
t=2;
如图2,当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，
•/OQ=t,PA=2t,
•OP=8-2t,
•QP=t-（8-2t）=3t-8,
•t=3t-8,
解得：
t=4;
（3）如图1，当Q在P点的左边时,
•/OQ=t,PA=2t,
•QP=8-t-2t=8-3t,
2
上时,
•S矩形pefcfQP?
QF=（8-3t）?
t=8t-3t,
当t=-
如图2,当Q在P点的右边时,
•/OQ=t,PA=2t,
•2t>8-t,
•QP=t-（8-2t）=3t-8,
•S矩形pefq=QP?
QF=（3t-8）?
t=3t2-8t,
•••当点p、q其中一点停止运动时，另一点也停止运动,
2
•••t=4时，S矩形pefq的最大值为：
3>4-8X4=16,
综上所述，当t=4时，S矩形PEFQ的最大值为:
3.（2013?
）如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A,C两点，分别过A,C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点,
2
且0A,OC（OA>0C）的长分别是一元二次方程x-14x+48=0的两个实数根.
（1）求C点坐标；
）求直线MN的解析式;
考点：
一次函数综合题.
专题：
压轴题.
分析：
2
（1）通过解方程x-14x+48=0可以求得0C=6,0A=8.则C（0,6）;
（2）设直线MN的解析式是y=kx+b（k旳）.把点A、C的坐标分别代入解析式，列出关于系数k、b的方程
组，通过解方程组即可求得它们的值；
（3）需要分类讨论：
PB为腰，PB为底两种情况下的点P的坐标.根据等腰三角形的性质、两点间的距离公
式以及一次函数图象上点的坐标特征进行解答.
xi=6,X2=8.
2
的两个实数根,
•/OA,OC（OA>0C）的长分别是一元二次方程x-14x+48=0
•••0C=6,0A=8.
二C（0,6）;
（2）设直线MN的解析式是y=kx+b（k旳）.由
（1）知，0A=8，则A（8,0）.
•••点A、C都在直线MN上，
二6，
r3
k=-—
解得，（4,
>=6
•直线MN的解析式为y=-斗x+6;
4
（3）•/A（8,0）,C（0,6）,•根据题意知B（8,6）.
•••点P在直线MNy=---x+6上,
4
•••设P（a,^—a+6）
4
当以点P,B,C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，需要分类讨论:
P1（4,3）;
①当PC=PB时，点P是线段BC的中垂线与直线MN的交点,
232
②当PC=BC时，a+（---a+6-6）=64,
4
32函
5，
解得，a=土普
，则P2（-
）,P3（
326
一）；
2
③当PB=BC时，（a-8）+
解得，a=，贝Ha+6=-
25
a-6+6）2=64,
42256
•p4广"■，•P（
综上所述，符合条件的点P有：
Pi（4,3）,P2（-—
-）右.
32邑
-，_
）P3
z326、cz25&42、
W，忑），（厉，-更P
点评：
本题考查了一次函数综合题•其中涉及到的知识点有：
待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐
标特征，等腰三角形的性质•解答（3）题时，要分类讨论，防止漏解•另外，解答（3）题时，还利用了数
形结合”的数学思想.
4.（2013?
）如图，平面直角坐标系中，直线
I分别交x轴、y轴于A、B两点（OAvOB）且OA、OB的长分别是一元
次方程x2-（.二+1）x+F；」=0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB:
AC=1:
2
（1）求A、C两点的坐标；
（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接人皿，设厶ABM的面积为S,点M的运动时间为t,写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q,使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？
若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.
考点：
一次函数综合题.
专题：
分析：
压轴题.
（1）通过解一元二次方程x2-（k；；+1）x+.：
；-0,求得方程的两个根，从而得到A、B两点的坐标，再根据两点之间的距离公式可求AB的长，根据AB:
AC=1:
2,可求AC的长，从而得到C点的坐标；
（2）分①当点M在CB边上时；②当点M在CB边的延长线上时；两种情况讨论可求S关于t的函数关系式;
（3）分AQ=AB,BQ=BA,BQ=QA三种情况讨论可求Q点的坐标.
解答：
解：
（1）x—（〔「+1）x+-「；=0,
（x-*）（x-1）=0,
解得X1』・：
:
x2=1,•/OAvOB,
•••OA=1,OB=:
;,
•••A（1,0）,B（0,•「；）,
•AB=2,
又•••AB:
AC=1:
2,
•-AC=4,
二C（-3,0）;
（2）•/AB=2,AC=4,BC=2二
222
•••AB+BC=AC,
即/ABC=90°
由题意得：
CM=t,CB=2*.i.
1当点M在CB边上时，S=2二-t（0）
2当点M在CB边的延长线上时，S=t-2：
；（t>2_；）;
（3）存在.
①当AB是菱形的边时，如图所示，
在菱形APiQiB中，QiO=AO=1，所以Qi点的坐标为（-1,0）,
在菱形ABP2Q2中，AQ2=AB=2，所以Q2点的坐标为（1,2）,
在菱形ABPaQa中，AQ3=AB=2，所以Qa点的坐标为（1,-2）,
②当AB为菱形的对角线时，如图所示的菱形AP4BQ4,
即X=12+（二—x）；解得x=…',
222
设菱形的边长为x,则在RtAAP4O中，AP4=AO+P4O,所以Q4（1,-）.
综上可得，平面内满足条件的Q点的坐标为：
Qi（-1,0）,Q2（1,-2）,Qa（1,2）,Q4（1,戶上）.
点评：
考查了一次函数综合题,涉及的知识点有：
解一元二次方程，两点之间的距离公式，三角形面积的计算，函数思想，分类思想的运用，菱形的性质，综合性较强，有一定的难度.
5.（2013春？
屯留县期末）如图，四边形OABC是菱形，点C在x轴上，AB交y轴于点H,AC交y轴于点M.已知点A（-3,4）.
（1）求AO的长；
（2）求直线AC的解析式和点M的坐标；
（3）点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿折线A-B-C运动，到达点C终止.设点P的运动时间为t秒，△PMB的面积为S.
1求S与t的函数关系式；
2求S的最大值.
A
B
$
APE
B
J
0
€?
考点：
一次函数综合题；解二元一次方程组；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理；菱形的性质.
专题：
计算题.
分析：
（1）根据A的坐标求出AH、OH，根据勾股定理求出即可；
（2）根据菱形性质求出B、C的坐标，设直线AC的解析式是y=kx+b，把A（-3,4）,C（5,0）代入得到方程组，求出即可；
（3）①过M作MN丄BC于N，根据角平分线性质求出MN,P在AB上，根据三角形面积公式求出即可；P
在BC上，根据三角形面积公式求出即可；②求出P在AB的最大值和P在BC上的最大值比较即可得到答案.
解答：
（1）解：
TA（-3,4）,
•••AH=3,0H=4,
由勾股定理得：
A°=寸期°+0h'=5,
答：
0A的长是5.
（2）解：
•••菱形OABC,
•-0A=0C=BC=AB=5,
5-3=2,
•B（2,4）,C（5,0）,
设直线AC的解析式是y=kx+b,
f4=-
把A（-3,4）,C（5,0）代入得：
•直线AC的解析式为尸-吉迸,
当x=0时，y=2.5
•M（0,2.5）,
答：
直线AC的解析式是尸一十|,点M的坐标是（0,2.5）.
（3）①解：
过M作MN丄BC于N,
•••菱形OABC,
•••/BAC=/OCA,
•/MO丄CO,MN丄BC,
•OM=MN,
当0电v2.5时,
P在AB上，MH=4-2.5=,
当t=2.5时，P与B重合，△PMB不存在；
当2.5vt<5时，P在BC上，S=1>PB>MIN=3X（2t-5）更=3-—,
22224
答：
S与t的函数关系式是S=--|t-Hy（0WV2.5）或S今七一普（2.5vt韦）.
②解：
当P在AB上时，高MH—定，只有BP取最大值即可，即P与A重合，S最大是二＞5总A,
224
同理在BC上时，P与C重合时，S最大是丄＞5＞闫,
224
•s的最大值是
4
答:
S的最大值是-
A
JPH
J
0
cf0
~c
点评：
本题主要考查对勾股定理，三角形的面积，菱形的性质，角平分线性质，解二元一次方程组，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键.
6.（2012?
）如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标（3,3）,将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度a（0°vav90°,得到正方形ADEF,ED交线段OC于点G,ED的延长线交线段BC于点P,连AP、AG.
（1）求证：
△AOG◎△ADG;
（2）求/PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由；
（3）当/1=/2时，求直线PE的解析式.
考点：
一次函数综合题.
专题：
压轴题.
分析：
（1）由AO=AD,AG=AG，利用HL”可证△AOG◎△ADG;
（2）利用
（1）的方法，同理可证△ADPABP，得出/1=/DAG,/DAP=/BAP,而
/1+/DAG+/DAP+/BAP=90°由此可求/PAG的度数；根据两对全等三角形的性质，可得出线段OG、PG、
BP之间的数量关系；
（3）由厶AOGADG可知，/AGO=/AGD，而/1+/AGO=90°/2+/PGC=90°当/1=/2时，可证/AGO=/AGD=/PGC,而/AGO+/AGD+/PGC=180°得出/AGO=/AGD=/PGC=60°即/1=/2=30°,解直角三角形求OG,PC,确定
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