欧拉公式的证明和应用.docx
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欧拉公式的证明和应用
欧拉公式的证明和应用（总10页）
数学文化课程报告
欧拉公式的证明与应用
一.序言------------------------------------------------------------------------2
二.欧拉公式的证明--------------------------------------3
1.1极限法--------------------------------------3
1.2指数函数定义法-------------------------------4
1.3分离变量积分法-------------------------------4
1.4复数幂级数展开法-----------------------------4
1.5变上限积分法---------------------------------5
1.6类比求导法-----------------------------------7
三.欧拉公式的应用
2.1求高阶导数-----------------------------------7
2.2积分计算------------------------------------8
2.3高阶线性齐次微分方程的通解------------------9
2.4求函数级数展开式----------------------------9
2.5三角级数求和函数----------------------------10
2.6傅里叶级数的复数形式-------------------------10
四.结语------------------------------------------------11
参考文献-----------------------------------------------11
一．序言
欧拉是十八世纪最杰出的最多产的数学家之一[1]，留下了数不胜数的以其名字命名的公式。
本文关注的欧拉公式
，在复数域中它把指数函数联系在一起。
特别当
时,欧拉公式便写成了
，这个等式将最富有特色的五个数
绝妙的联系在一起，“
是实数的基本单位，
是虚数的基本单位，
是唯一的中性数，他们都具有独特的地位，都具有代表性。
源于代数，
源于几何，
源于分析，
与
在超越数之中独具特色。
这五个数看来是互不相关的数，居然和谐的统一在一个式子中。
”[2]公式
成为人们公认的优美公式，被视为数学美一个象征。
这充分揭示了数学美的统一性、简洁性、奇异性等美学特性，了解这些丰富的数学文化内容，对于通过高等数学学习提高大学生的综素质、提高数学教育质量具有重要意义。
二.欧拉公式的证明
欧拉公式
有广泛而重要的应用，关于该公式的证明方法目前有如下六种：
首先，欧拉本人是从数学中两个重要极限出发，采用初等方法“推导”出这个公式的；其次是复指数函数定义法[2]；另外从对数函数特征性质
或
出发[3]，利用微分方程分离变量积分法；再者采用复数幂级数展开式法来验证[3]；再其次采用变上限积分法验证；最后利用
中值定理的推论来证明[3]。
1.1极限法
当
时，欧拉公式显然成立；
当
时，考虑极限
，
一方面，令
则有
；
（1）
另一方面，将
化为三角式，得
；
由棣莫弗公式得
，
而
，
所以有
（2）
由
（1）、
（2）两式得
。
1.2指数函数定义法
因为对任何复数
，复指数函数
[4]
所以，当复数z的实部x=0时，就得
。
1.3分离变量积分法
设复数
两边对x求导数，得
，
分离变量并对两边积分，得
，
，
取
，得
，
故有
，即
。
1.4复数幂级数展开法
，
，
，
。
1.5变上限积分法
考虑变上限积分
因为
，
又因为
。
再设
，由此得
，即
；
令
即有
。
1.6类比求导法
构造辅助函数
为在
上处处有
和
可导，且
，所以在区间
上，
处处可导，且
;
根据
微分中值定理的一个重要推论“如果函数
在区间I上的导数恒为
那么
在区间
上是一个常数”，
在区间
上是一个常数,即存在某个常数
，
使得
，都有
;
又因为
，所以
，从而
，
即
。
三.欧拉公式在高等数学的应用举例
欧拉公式除了在初等数学中诸如证明一些三角恒等式有十分重要的应用外，在高等数学中也有极为广泛的应用，分以下几个方面各举一个例子来说明。
2.1求高阶导数
设
。
解:
设
并记
，
根据欧拉公式，有
分离其实部和虚部，即可得所求之结果
。
2.2积分计算
求不定积分：
和
。
解：
记
，则
分离实部和虚部（上式中
为任意复数，
和
分别为其实部和虚部）
。
2.3高阶线性常系数齐次微分方程的通解
求微分方程
的通解。
解：
因为原方程的特征方程为:
可知有一个实数特征根为
，
其余四个特征根由
，
可求得另四个特征根为：
即两对共轭复根
和
，
所以原方程组通解为：
。
2.4求函数的级数展开式
展开函数
为麦克劳林级数。
解：
作辅助函数
并记
，
则有G（x）的麦克劳林展开式
分离其实部和虚部，则有
所以
（
）。
2.5三角级数求和函数
三角级数求和函数的问题是将函数展开为傅里叶级数的逆问题，对这类问题如不用欧拉公式，一般比较难求解。
求三角级数
在收敛域
上的和函数
。
解：
构造类似于给定三角级数在
上收敛的三角级数
，
并设其和函数为
，即
分离其实部和虚部，从而可得所求之三角级数为
其在收敛域
上的和函数为
。
2.6傅里叶级数的复数形式
若函数
以
为周期，在
连续或至多有有限个第一类间断点，且
上至多有有限个单调区间，则傅里叶级数为
，
其中傅里叶级数计算公式为
在式中，若以
代替
，则有
。
这里是傅里叶级数的实数形式，但在某些场合，复数形式的傅里叶级数更好用一些，这就需要利用欧拉公式进行转换了，因为
所以有
记
则可得函数
的傅里叶级数有如下的复数形式
其中系数计算公式为:
。
四．结语
经过这段时间的数学文化课学习，我逐渐了解到了数学的美妙之处，尽管有费尔马达定理，四色问题，哥德巴赫猜想等许多我们无法求解的难题，但同样的也有许多如欧拉公式这种我们能证明并使用的有趣数学问题。
数学其实可以称作自然哲学，它反映了深刻的自然现象，是对自然，生活的一种深入研究。
能对这些伟大的研究有所了解，也是开拓了我的新视野，在未来的学习中也将更加注重和爱好数学。
另外，也期待老师能教给我们更多的有趣的数学问题，可以在课堂上举出几个有趣的题目让同学们来思考和证明。
谢谢！
参考文献：
[1]傅钟鹏数学英雄欧拉[M]，天津：
新蕾出版社，2001
[2]张楚廷数学文化[M].北京.高等教育出版社，2000.
[3]李劲.欧拉公式的几种证明及其在高等数学中的应用[J].河西学院报.2008,24（5）:
1-6
[4]钟玉泉.复变函数论（第三版）[M].北京.高等教育出版社，2004.
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