布函数。
其几何意义为随机变量X落在实数x左边的概率。
6
考点：
6
定义：
随机变量的概率密度。
7
考点：
7
三种重要的连续型随机变量：
7
引理：
正态分布X〜“（“&）,则丫=兰二出〜N（O,1）8
（7
例7：
随机变量的函数分布18
例8：
随机变量的函数分布29
第三章多维随机变量及其分布10
定义：
二维随机变量的分布函数或称为随机变量X,Y的联合分布函数。
10
儿何意义10
定义：
二维离散型随机变量。
10
定义：
概率密度或称随机变量X和Y的联合概率密度。
10
例9：
二维随机变量10
边缘分布11
定义：
边缘分布函数11
例10：
边缘分布II
条件分布12
定义：
边缘概率密度12
例11：
条件分布12
定义：
随机变量X和Y是相互独立的。
12
例12:
两个随机变量的函数分布13
第四章数字特征（数学期望、方差和协方差及相关系数）14
定义：
数学期望反映随机变量X所取数值的集中位置。
14
数学期望的计算：
14
重要常用性质:
14
例13：
14
定义：
方差反映了随机变量X取值的分散程度15
方差的计算：
15
常用重要性质：
15
协方差与相关系数15
第五章大数定律及中心极限定理16
⑴伯努利大数定律：
（一般不考察）16
⑵德莫佛拉普拉斯中心极限定理：
16
例14：
德莫佛拉普拉斯中心极限定理16
第六、七、八章数理统计知识17
（包括统计量、正态分布统计量分布、参数估计、无偏估计、置信区间及假定检验）・・・・・17
定义：
统计量17
例15:
正态分布统计量分布17
参数估计17
定义：
17
例16：
矩估计18
例17：
矩估计18
例18：
极大似然估计18
定义：
（无偏估计）19
例19：
无偏估计20
定义：
（置信区间）20
例20：
假定检验21
（参数假设与区间估计的关系）22
第一章定义：
一般的，称试验E的样本空间Q的子集为E的随机事件。
事件间的关系与运算
（1）子事件、和事件、差事件、互不相容、对立事件
⑵交换律、结合律、分配律、对偶律
定义：
在相同的条件下，进行了n次试验，如果事件A在这n次试验屮出现了nl次，则
nl卩21
称比值出为事件A发生的概率，记为■厂（A）=——。
nn
概率的性质：
（1）P（0）=O
⑵Al,A2,・・・.An互不相容,则AluA2u...Ah）=P（Al）+P（A2）+...4-P（An）
（3）P（AuB）=HA）+P（B）—P（AB）
⑷P（可=1-兀4）
古典概率
例1：
袋中有4白2黑两种球，无放回一次摸出两个球，问：
⑴取到两只球为白球的的
概率:
（2）収到两只球为同颜色的概率；⑶取到两只球至少有一只是白球的概率。
解：
设A=｛収到两只白球｝；B=＜収到两只黑球）;C=（取到两只同颜色的球1:
7
P（C）=P（A）+P（B）=-
P（D）=1-P（B）
D=｛两只球至少有一个白球｝；
条件概率
定义：
一般的，对A,B两个事件，P（A）＞0,在事件A发生的条件下发生事件B的概率为
两种计算条件概率的思路：
⑴在缩减后的样本空间小计算
⑵在原来的样本空间中，直接有定义计算
⑴条件概率的乘法公式：
P（AB）=P（B|A）P（A）
⑵全概率公式：
（知原因求结果）P（A）二£P（A|
Z=1
⑶贝叶斯公式：
（知结果求原因）
P（R.P（4ld）P（d）—P（4|3jP（Bj
戶1
例2：
有一个批次的产品分别由甲乙两个车间进行生产，甲车间次品率为0.15,乙车间次品率为0.12,该批次产品甲车间占40%,乙车间占60%,问：
⑴随机抽出一个产品为次品的概率；⑵抽出的一个产品为次品，该次品分别为甲乙车间生产的概率。
解：
设A=｛随机抽出一个产品为次品｝；Bl=｛甲车I'可生产的产品）；
B2=（乙车间生产的产品）；
则P（B1）=0.4;P（B2）=0.6;P（A|Bj=0」5;P（A|32）=0.12
所以；⑴
P（A）=P（A|BJP（BJ+XA|沪（场）=
（2）
随机事件的独立性
（1）两个事件的独立性:
P（A）>0,P（B|A）=P（B）,A、B相互独立;
P（A）=0,事件A与任意事件B成立
充要条件为P（AB）二P（B）P（A）
⑵多个事件的独立性：
任意有限多个事件都相互独立，其至少有一个发生的概率为:
fl（i—p⑷）
\/=!
丿/=1
第二章一维随机变量及其分布
定义：
设X=x（w）是定义在样本空I'可Q上的实值单值函数，则称X二x（w）为一维随机变量。
三种常见的离散型随机变量：
（1）（01）分布：
P{X=/:
}=PkQ]~k（k=0,1,....）P+Q=l;
数学期望和方差：
E（x）=p\D^x）=-p）
⑵二项式分布（X〜b（n,p））：
P^X=k}=pkQ}k（q=l-p）乜丿
数学期望和方差：
E（x）=np,D（x）=np（l-p）
⑶泊松分布（X〜兀（刃）:
p{x=
k\
数学期望和方差：
E（x）=2;D（x）=A
定义：
设X是一个随机变量，x是任意实数，函数F（x）=P{X其儿何意义为随机变量X落在实数x左边的概率。
考点：
⑴概率的有限可加性
（2）F{x2）-F（兀1）=P\x{-0
例3：
随机变虽X的分布律
X
-1
0
1
Pk
0.25
0.5
0.25
求：
⑴X的分布函数；
（2）p{o解：
⑴①当xv-1时，F（x）=0;②当・lWx<0时，F（x）=-;
113
③当OWx01-43-4
-
\^r/
F（
424'
XY—1
一ISyO
0SY1
x>\
3i3
（2）P{0定义：
对于随机变量X的分布函数F（X）,如果存在非负函数f（x）,使对于任意实值实
X
数有r（x）=j；则X称为连续随机变f（x）称为随机变量的概率密度。
-00
x2
考点:
例4：
X分布函数为F（x）JA（1-Dx-°，求常数a和P{1yxW3}[0XY0
000CO
解：
⑴令JF{x）dx=jjA（1-Cx）=1；
-oo-000
解得，A=1o
（2）P{1Y兀V3}=F（3）-F（l）=]_广3_（i_g-i）=『一「3
三种重要的连续型随机变量:
⑵指数分布X〜E（X）
概率密度/（X）=
2「川兀Ao
0x<0
；分布函数
数学期望和方差：
E^x）=a+b
l-r^xao
o其他
；数学期望和方差：
E（x）=];D（x）=
A,
⑶正态分布X〜N（“q2）
当U=0;0二1时，为标准正态分布/（%）=——£2V2tt
引理：
正态分布X〜则丫=荃二理〜N（0,l）
（7
例5：
X〜M&4?
）求<16}；P{X<0};P{12^X<20}
解：
P{X<16}=』△二^<仝=0
（2）=0.9770由标准正态分布表查的）I44）
例6：
若随机变量X〜nQ,/\且P（2Y兀54）=0.3,求P&<0}
z了2、
P{xx-2<0-2
b（T
=0
0.2
而0（0）=0.5;所以0—=0.8匕丿
随机变量的函数分布：
一般地，我们先求Y的分布函数，再求Y的概率密度，在求Y的分布函数时，设法将其转化成X的分布函数。
例7：
随机变量的函数分布1
设随机变量X〜N0q2\试证明X的线性函数Y二aX+b也服从正态分布。
证：
分别记X,Y的分布函数为FxC4"（y）
设a>0时，下面先來求Fr（y）；Fy（y）=P{Yi
而X的概率密度为=心（—OOYXYOO）
冷2兀（7
（y-⑷卄〃））2
I2如2（_00YyY
（$-（0“+”））2
当a<0时，同理可得九（兀）=——
V2^-I6/ICT
（―00YyY00）
2（iq）2
故Y二aX+b~N（au+b,（a。
）2）服从正态分布。
当取心=丄,b=-出时，Y=±±〜/v（o,i）°
（7（7（J
例8：
随机变量的函数分布2
设随机变量X具有概率密度fxGX—OOYXYOO）求Y=X2的概率密度。
解：
分别记X,Y的分布函数为Fx（x）;Fy（j）；先来求FrG）；
由于y=X2>0故当yWO时，Fy（y）=O:
当y>0时,FY{y）=P{y将Fy（y）关于y求导，得到K=X2的概率密度为：
y<0
第三章多维随机变量及其分布定义：
设X,Y是定义在样本空间Q上的两个随机变量，则（X,Y）称为二维随机变量，对于任意实数涵数y）=p｛（x几何意义：
若将二维随机变量（X,Y）看成是平面上随机点（x,y）的坐标，则分布函数F（X,/）=P｛（X<^）n（K定义：
如果二维随机变量（X,Y）可能取得的值（x,y）只有有限对或有限可列对，则称（X,Y）是二维离散型随机变量。
定义：
设二维随机变量（X,Y）的分布函数是F（X,y）,如果存在非负的函数/（x,y）,使得对于任意的x,y有F（X,Y）=J]7（兀,）归加歹则称（X,Y）是连续型随机变量，函数/（忑对称为二维随机变量（X,Y）的概率密度或称随机变量X和Y的联合概率密度。
例9：
二维随机变量
则F（x,y）=
xA0;yA0
其他
（i-r2x^-ry）
o其他
试求：
⑴分布函数F（x,y）；⑵P｛xy｝
边缘分布
定义：
对于二维随机变量（X,Y）,随机变量X和Y各自的分布函数称为二维随机变量（X,Y）关于X和Y的边缘分布函数，分别记为代（"耳（对。
X00
设二维随机变量（X,Y）的概率密度/（兀,y）；于是Fx（x）=F（x,oo）=jj/（x,y）dydx
-00-00
co
则X是一个连续型随机变量，其概率密度为fx（x）=j/（x,y）dyo
-00
y8
同理;FY（y）=F（y,oo）=jj/（x,y）dxdy
-00-00
00
则X是一个连续型随机变量，其概率密度fY（y）=]7（尢』冷。
-OO
例10：
边缘分布
设二维随机变量（X,Y）在区域G=^y）\00000
缘概率密度fx（X）=j/（x,y\ly；fy（y）=J/（x,y\lx
—00—00
解：
经画出G区域，不难得到二维随机变量（X,Y）的概率密度:
0其他
00
AW=]f（^y）dy=<^y=
0-80
00
fy（y）=J/（X，）归兀=”
一8
条件分布
定义：
设（X,Y）的概率密度为f（x,y）；A（x）,A（y）分别为关于X和Y的边缘概率
密度’若A（y）>0时,我们把FxlY（x\y）=p{x<
称为在Y=y条件下X的条件分布函数记为FxlY（x\y）；
其在Y=y条件下X的条件概率密度为fX]Y（x|y）=+喘
同理，在X二x条件下Y的条件分布函数为%（y\x）=P{Y其在X=x条件下Y的条件概率密度为佩x（yI兀）="；”fx（兀）
例11:
条件分布
]
设随机变量X和Y具有概率密度/（x,y）=~+求/级（兀|〉，）=旦宁¥
0其他九（刃
00
解：
九（y）=
_8
2』ly?
71
0
lyl其他
fx\Y（xI丁）=号IS'='2』1-b
兀$Ji-b
其他
定义：
设F（x,y）；Fx（x）,你（y）分别为二维随机变量（X,Y）的分布函数及边缘分布函数，若对所有x,y,有P{X称随机变量X和Y是相互独立的。
10<%<1
例12:
两个随机变量的函数分布设随机变量X,Y相互独立，其概率密度分别为/X（x）
ryvao
fy（y）=
o2他，求随机变量z=x+y的概率密度。
解：
（法一）：
利用卷积公式
Q~X~1时，卷积公式的被积函数才不等于零。
由/z（z）=—兀加及办（兀），人（丁）的定义知
\r（z~x}dx
°0YZY1
Z
所以，/z（z）=
"七叫兀Z>1
其他
i-rzoyzyi
积分得fz（z）=U^-i）rzz>i
0其他
（法二）：
常规解法
（
f-yn0o"矗
则随机变量Z的分布函数为F（z）=p[z1当刁＜0时，F（z）=0
2当OWz<1时，F（z）=JjCydydx-C~+z—1
3当z21时,F（z）=JJC-dydx-1+（1-0）0
0ZY0
所以,F（z）=«
rz+z-iowzyi
1+（1-片Z>1
第四章数字特征（数学期望、方差和协方差及相关系数）
定义：
数学期望反映随机变量X所収数值的集中位置。
数学期望的计算:
1•一维随机变量：
⑴离散型：
;=1
00
⑵连续型：
£（%）=jxf（x）dx
-00
00
⑶函数型：
E（g（x））=jg{x）f{x\lx
-
80000
⑵连续型：
E（X）=jxfx（x）dx=JJ#（x,y^txdy
-00
--co
0088
E（Y）=Jyfy（y）dy=JJyf{x,y）dxdy
—oo—co—co
重要常用性质：
⑴E（C）=C（C为常数）
⑵E（CX）=CE（X）
（3）E（x+r）=E（x）+E（y）
⑷E（xy）=E（x）E（y）
例13：
设X〜M“，b2），求E（X）
解：
Y=〜w（o,i）,E（Y）=0
X=o-Y+jli
所以；E（x）=E\oY+//]=oE（y）+//=//
定义：
方差反映了随机变量X取值的分散程度，若X的収值比较集屮，则D（x）小；若X取值分散，D（X）大。
D（X）=［x-E（X）］2
即方差为函数g&）=［x-E（X）『的数学期望。
方差的计算：
8
⑴D（X）二工g—E（X））k
/=1
00
（2）D（X）=f（x;.-E（X））2f（x）dx
-oo
⑶Z）（X）=E（X2）-［e（x）『
常用重要性质：
⑴D（c）=0（C为常数）
⑵d（cx）=c2d（x）
（3）D（X±y）=D（x）+D（y）±2E［（x-E（X）Xv-£（/））］
若X和Y相互独立,则D（X±Y）=D（X）-fD（Y）
协方差与相关系数⑴随机变量X和Y相互独立时,
协方差:
co\（X,Y）=E［（x-£（X）Xy-E（r））］=£（xr）-E（X）E（Y）=0
⑵随机变量X和Y不相互独立时，按下式计算:
相关系数：
pxy
cov（x,y）
JD（X）D0）
协方差:
cov（x,y）=e［（x-E（X）Xy-E（y））］=E（XY）—E（X）E（Y）
常用重要性质：
（l）co«X,X）=D（X）
⑵co\（dX"丫）=c仍co\（x,y）
⑶cov（C,X）=0（C为常数）
第五章大数定律及中心极限定理
⑴伯努利大数定律：
（一般不考察）
⑵徳英佛拉普拉斯中心极限定理:
例14：
德莫佛拉普拉斯中心极限定理
在一家保险公司有一万人参保，每人每年支付12元保险费，在一年内这些人死亡的概率都为0.006,死亡后家属可向保险公司领取1000元，试求：
⑴保险公司一年的利润不少于六万元的概率；
⑵保险公司亏本的概率。
解：
设参保的一万人中一年内死亡x人，则X〜方（1000Q0.006）
其分布律为P{X=k}=\OOO%.OO6aO.994ioooo~a（k=0,1,....J000（）Ik）
由题设知一年的利润为120000-100（k=100（（120-x）元
nx-60120-60
=P\>
I7.727.72
=l—0（7.77）uO
⑵
P{100（（120-兀）y0}=P{xA120}
1
第六、七、八章数理统计知识
（包括统计量、正态分布统计量分布、参数估计、无偏估计、置信区间及假定检验）
总体：
被研究的对象的全称
个体：
组成总体的个元素
抽样：
从总体屮抽取若干个个体的过程
样本：
抽样结果得到X的一组试验数据
样本容量:
：
样本中所含个体的数量定义：
若样本函数g（X|,X2，・・.,X”）中不含有任何未知量，则称这类样本函数为统计量
样本均值：
nf=l
样本方差：
1“
元）2
川一1気
-阶矩:
心£
二阶矩：
=—
~ni=l
例15:
正态分布统计量分布
/2\y
设总体X服从正态分布X〜，则X-N/A—,即Y=—t~N（O,l）
证明：
因为随机变量X],X2，・・.X”相互独立，并且与总体X服从相同的正态分布
所以有正态分布的性质可知：
他们的线性组合x=-Yxi=Y-xi服从正ni=\<=in
参数估计
定义：
设8为总体X的待估计参数，用样本XI,X2,…，Xn的一个统计量j=&（X「X2,…Xj来估计0,则称0（X],X2，・・・,Xj为0的点估计，对应于样本观测值XI,X2,…，Xn,称久X|,X2，・..,Xn）为。
的点估计量。
例16：
矩估计
设总体x服从[q,&2加y&2）上的均匀分布，即密度函数为
]/（兀,&|6）二慨一&11-2,其中仇0未知，XI,X2,…，Xn是一个样本，
「0其他
求q,&2的矩估计。
解：
因为总体x服从[g’eXGye）上的均匀分布，所以其数学期望和方差分别为：
解得:
$2二
令E（X）=色尹二耳；瓦X彳）=D（X）+[E（X）]2=/+
例17：
矩估计
设XI,X2,…，Xn是來自总体的一个样本，并且总体X的均值和方差分别为“;cr?
都存
在，且/aO,试求总体的数学期望和方差的矩估计〃=E（X）;&2=D（X）。
解:
E（X）”挣,E（XS
E（X2）=D（X）+[E（X）『=>E（x2）=cr2+
解上述方程组得：
/}=x；d2=^-s2n
例18：
极大似然估计
设XI,X2,・・・，Xn是来自总体N（“q2）的样本取值，其中，“；/是未知参数，试求“Q?
的极大似然估计（一00Y“Yoo；b2》0）
L（^^2）=fl
;=1
ex
=>厶（“,/）=
（一00Y兀Y00）
解：
似然函数为:
整理得：
1点（“，十）]=_£ln（2%）_£In/-占£（兀_mF
222（j/=1
有似然方程组：
a
n
2（j22a
（1n[血q2）]）=A£（兀“=0mPCT/=1
（1点（“,/）]）二—昙一占工（石一"）2=01=1
解方程组得到“；/的极大似然估计值:
〃丿立『元3=丄立兀t—
总结：
⑴指数分布的似然函数：
幵（n
厶⑷二口矿心二/ex^—兄工兀
;=1I1=1
整理得：
In［厶伉）］=川口（/1）一2£乞
/=!
⑵泊松分布的似然函数:
”lXi
1=1兀厂
fl乞！
1=1
定义：
（无偏估计）设0=^X］,X2，・・・,X”）为未知参数0的估计量，若对任意0eQ有粛）=0,则称4（X|,X2，・・.,Xj是0的无偏估计量。
定义：
设玄和是参数B的两个无偏估计量，若对任意。
丘6）有D@J5D02）I1至少存在某一个使得上式成为严格不等式，则称自较玄有效。
例19：
无偏估计
设XI,X2,…，Xn是来自总体的样本，作为总体均值的估计有
T、=X=丄£兀込=X訂3=£厲兀,其中®A0（,=1,2,3,...,斤）,且=1
nZ=1/=]z=l
试求：
⑴试证7]込；右都是无偏估计；⑵如总体X的方差£>（兀）存在，试问哪一个更有效。
解：
（1）X1,X2,…，Xn相互独立且共同服从总体分布，故E（£）=E（x）（i=12・・・m）
£（^）=-£Xxz=£（x）;
n
有数学期望的性质有：
E（T2）=E（x1）=E（x）;
（n\n
/=!
e（t.）=eS
所以刁；3；右都是无偏估计。
d（Ti）=1d（4
且比
1=1
n
D（T2）=D（x）;
D（Tj=h（d
i=l
所以，T}=X是最有效的估计量。
定义：
（置信区间）设总体X的分布中含有未知数B,^F（XpX2,...,Xj和&上（X|,X2，・..,X”）是由样本XI,X2,…，Xn确定的两个统计量，对很小的数
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