F2≥F时，有唯一解
A．F1≤F≤F2
B.
≤F≤
C．F1－F2≤F≤F1＋F2
D．F12－F22≤F2≤F12＋F22
【解析】 当两分力方向相反时合力最小，方向相同时合力最大，所以合力的大小满足F1－F2≤F≤F1＋F2.【答案】 C
考点2.关于力的分解的确定性问题
1.已知力F的大小与方向，两个分力的方向，则两个分力的大小有唯一确定解，如图所示
2．已知F的大小与方向，一个分力的大小和方向，则另一个分力大小方向有唯一确定解．如图所示
3．已知合力F、一个分力的方向和另一分力的大小，即已知F、α（F1与F的夹角）和F2的大小，确定两分力，即求F1的大小和F2的方向，这时则有如下的几种可能情况：
【例2】 将一个20N的力进行分解，其中一个分力的方向与这个力成30°角，试讨论：
（1）另一个分力的大小不会小于多少？
（2）若另一个分力大小是
N，则已知方向的分力的大小是多少？
【解析】
（1）根据已知条件可作出图（a），合力F与它的两个分力要构成一个三角形，F的末端到直线OA的最短距离表示那个分力的最小值，即过F末端作OA的垂线，构成一个直角三角形，如图（b）所示，由几何关系知F2＝10N.
（2）当另一个分力F2＝
N时，由于
>10，根据力的三角形法则，可以组成两个不同的三角形，如图（c）所示，根据正弦定理
＝
＝
和∠A＋∠B＋∠C＝180°，可求出F1＝
N，F1′＝
N.
变式探究2如图所示，物体静止于光滑的水平面上，力F作用于物体O点，现要使合力沿着OO′方向，那么，必须同时再加一个力F′.这个力的最小值是（ ）
A．Fcosθ B．Fsinθ
C．Ftanθ D．Fcotθ
【解析】 要使F与F′的合力沿着OO′方向，则可作出不同方向F′的力的矢量三角形示意图．由题图可知，F′的最小值是Fsinθ，即B正确．
【答案】 B
考点3.力的两种分解方法
1.按力的效果分解法
（1）根据力的实际作用效果确定两个实际分力的方向；
（2）再根据两个实际分力方向画出平行四边形；
（3）最后由平行四边形知识求出两分力的大小．
2．正交分解法
（1）定义：
把一个力分解为相互垂直的分力的方法．
（2）运用正交分解法解题的步骤
①正确选择直角坐标系，通常选择共点力的作用点为坐标原点，直角坐标x、y的选择可按下列原则去确定：
尽可能使更多的力落在坐标轴上．
沿物体运动方向或加速度方向设置一个坐标轴．
若各种设置效果一样，则沿水平方向、竖直方向设置两坐标轴．
②正交分解各力，即分别将各力投影到坐标轴上，分别求x轴和y轴上各力投影的合力Fx和Fy，其中Fx＝F1x＋F2x＋F3x＋…；Fy＝F1y＋F2y＋F3y＋…
③求Fx与Fy的合力即为共点力的合力（如右图）
合力大小：
F＝
，
合力的方向与x轴夹角：
θ＝arctan
.
【例3】 如图所示是压榨机示意图，B为固定铰链，A为活动铰链．在A处作用一水平力F，滑块C就以比F大得多的力压D.已知l＝0.5m，h＝0.05m，F＝200N，C与左壁接触面光滑，求D受到的压力多大（滑块和杆的重力不计）．
【解析】 设AB杆和AC杆的夹角为2θ，由几何知识可得
tanθ＝
＝10
根据F的作用效果将F沿AB、AC方向分解为F1、F2，如图甲所示，由平行四边形定则得
F1＝F2＝
力F2的作用效果是对C产生水平向左的推力FN1和竖直向下的压力FN2，将F2沿水平和竖直方向分解，如图乙所示，由图可知FN2＝F2sinθ
以上各式联立得FN2＝0.5Ftanθ＝1000N
所以，C对D压力的大小为1000N.
【答案】 1000N
【反思】 力的分解问题的关键是根据力的实际效果确定分力的方向，并画出平行四边形，根据几何关系求解．其解题思路为：
变式探究3（2009·江苏高考）如下图所示，用一根长1m的轻质细绳将一幅质量为1kg的画框对称悬挂在墙壁上．已知绳能承受的最大张力为10N.为使绳不断裂，画框上两个挂钉的间距最大为（g取10m/s2）（ ）
A.
m B.
m
C.
m D.
m
【思路点拨】 画框所受重力的效果是使两根细绳被拉紧，因此本题可根据力的实际作用效果将重力进行分解．
【解析】 一个大小方向确定的力分解为两个等大的力时，合力在分力的角平分线上，且两分力的夹角越大，分力越大．题中当绳子拉力达到F＝10N的时候，绳子间的张角最大，即两个挂钉间的距离最大；画框受到重力和两根绳子的拉力，三个力为共点力．绳子与竖直方向的夹角为θ，绳子长为L0＝1m，则有mg＝2Fcosθ，两个挂钉的间距为L＝2·
sinθ，解得L＝
m，A项正确．
【答案】 A
【反思】
（1）解答此类题的关键有两点：
①找到临界条件；②分析力的作用效果．
（2）除了本题用到的按实际作用效果分解的方法外，还可应用三角形法求解或正交分解法求解.
考点4.图解法的应用
图解法具有直观、简便的特点，应用图解法时应注意正确判断某个分力方向的变化情况及其空间范围，注意物体“变中有不变”的特点，在变中寻找不变量，物体处于平衡状态的动态分析问题，多数题目中的物体受三个力作用，其中一个力为恒力，一个力的方向不变，在第三个力的方向发生变化时讨论力的大小的变化情况．解决这类问题关键在于正确画出受力图和平行四边形关系．
【例4】 如图所示，m在三根细绳悬吊下处于平衡状态，现用手持绳OB的B端，使OB缓慢向上移动，且始终保持结点O的位置不动，分析OA、OB两绳中的拉力如何变化．
【解析】 由于O点始终不动，故物体始终处于平衡状态，OC对O的拉力不变，且OA中拉力的方向不变．由平衡条件的推论可知绳OA的拉力F1与绳OB的拉力F2的合力F′的大小和方向不变．现假设OB转至如图所示中F2′的位置，用平行四边形定则可以画出这种情况下的平行四边形，可以看到F2′、F2末端的连线恰好为F1的方向，依此即可看出，在OB上转的过程中，OA绳中的拉力F1变小，而OB绳中的拉力F2是先变小后变大．
【答案】 OA绳中的拉力F1变小
OB绳中的拉力F2是先变小后变大
变式探究4如图所示，用轻绳吊一个重为G的小球，欲施一力F，使小球的图示位置平衡（θ>0°），下列说法正确的是（ ）
A．力F最小值为Gcosθ
B．若F与绳拉力大小相等，力F方向与竖直方向必成θ角
C．若F与G大小相等，力F方向与竖直方向必成θ角
D．若绳的拉力与G大小相等，力F方向与竖直方向可成2θ角
【解析】 对小球受到重力G和绳的弹力T、力F的作用，如右图所示．根据物体的平衡条件可知重力G与F的合力一定沿绳的反方向，从图中可以看出：
力F最小值为Gsinθ，A错误；若F与绳拉力大小相等，力F方向与竖直方向必成θ角，B正确；若F与G大小相等，力F方向与竖直方向必成2θ角，C错误，D正确．
【答案】 BD
1．下列说法错误的是
（ ）
A．力的分解是力的合成的逆运算
B．把一个力分解为两个分力，这两个分力共同作用的效果应当与该力作用的效果相同
C．力的合成和力的分解都遵循平行四边形定则
D．部分小于整体，分力一定小于合力
【解析】 力的合成是求几个力的合力，而力的分解是求一个力的分力，且都满足平行四边形定则，故A、C均正确；合力与分力是一种等效替代关系，所以合力的作用效果与分力的共同作用效果一定相同，故B正确；分力可以大于合力，如两力大小相等方向相反时，合力为零，所以D错误．
【答案】 D
2．物体同时受到一平面内三个力作用而做匀速直线运动，下列几组力不可能的是
（ ）
A．5N,7N,8N B．5N,2N,3N
C．1N,5N,10ND．10N,10N,10N
【解析】 欲使三个力的合力为零，必须是某一个力的大小在另两个力合力大小范围之内，即|F1－F2|≤F3≤|F1＋F2|，只有C选项不满足以上式子，故选C.
【答案】 C
3.如右图所示，静止在斜面上的重物的重力可分解为沿斜面方向向下的分力F1和垂直斜面方向的分力F2.关于这两个分力，下列说法中正确的是（ ）
A．F1作用在物体上，F2作用在斜面上
B．F2的性质是弹力
C．F2就是物体对斜面的正压力
D．F1和F2是物体重力的等效替代，
实际存在的就是重力
【解析】 F1、F2仅是重力的两个分力，这两个力可以替代重力的效果，所以D选项正确．物体对斜面的正压力跟F2大小相等、方向相同，但二者作用在不同的物体上，不是同一个力，所以A、B、C错误．
【答案】 D
4.如右图所示，物体质量为m，靠在粗糙的竖直墙上，物体与墙之间的动摩擦因数为μ，若要使物体沿着墙向下匀速运动，则外力F的大小为多少？
【解析】 当物体沿墙向下运动时，分析物体的受力如图所示，把F沿竖直和水平方向正交分解．
水平方向：
Fcosα＝FN
竖直方向：
mg＝Fsinα＋Ff，
又Ff＝μFN，得F＝
.
1.手握轻杆，杆的另一端安装有一个小滑轮C，支持着悬挂重物的绳子，如图所示，现保持滑轮C的位置不变，使杆向下转动一个角度，则杆对滑轮C的作用力将（ ）
A．变大 B．不变
C．变小D．无法确定
【解析】 杆对滑轮C的作用力大小等于两绳的合力，由于两绳的合力不变，故杆对滑轮C的作用力不变．
【答案】 B
2.如右图所示，一个物体由绕过定滑轮的绳拉着，分别用图中所示的三种情况拉住，在这三种情况下，若绳的张力分别为F1、F2、F3，轴心对定滑轮的支持力分别为FN1、FN2、FN3.滑轮的摩擦、质量均不计，则（ ）
A．F1＝F2＝F3，FN1>FN2>FN3
B．F1>F2>F3，FN1＝FN2＝FN3
C．F1＝F2＝F3，FN1＝FN2＝FN3
D．F1【解析】 由于定滑轮只改变力的方向，不改变力的大小，所以F1＝F2＝F3＝G，又轴心对定滑轮的支持力等于绳对定滑轮的合力．而已知两个分力的大小，其合力与两分力的夹角θ满足关系式：
F＝
＝G
，θ越大，F越小，故FN1>FN2>FN3，只有选项A正确．
【答案】 A
3．如图甲所示为杂技表演的安全网示意图，网绳的结构为正方格形，O、a、b、c、d…等为网绳的结点．安全网水平张紧后，若质量为m的运动员从高处落下，并恰好落在O点上．该处下凹至最低点时，网绳dOe、bOg均成120°向上的张角，如图乙所示，此时O点受到的向下的冲击力大小为F，则这时O点周围每根网绳承受的力的大小为（ ）
A．F B.
C．F＋mg D.
【解析】 O点周围共有4根绳子，设每根绳子的力为F′，则4根绳子的合力大小为2F′，所以F＝2F′，所以F′＝
，应选B.
【答案】 B
4.为了研究合力和分力的大小，有两个同学做了如下实验，甲同学把拴校牌的细绳用两手拉直，乙同学用一个手指轻轻一推，如右图所示，对将可能发生的情况，以下说法正确的是（ ）
A．因为甲同学用两只手用力拉直两绳，所以乙同学需很大的力才能推动细绳
B．根据力的合成与分解知识可知，乙同学只要轻轻用力沿着与绳垂直的方向推细绳，细绳就会发生弯曲
C．根据功能关系可知，乙同学要想推动细绳，必须用较大的力对细绳做功，甲同学的手才能彼此靠近使细绳弯曲
D．根据实践经验可知，乙同学不需用太大的力，就能使细绳发生弯曲
【解析】 如图所示，F＝2FTcosθ，故FT＝
，当θ→90°时，即使F不太大，FT→∞.
【答案】 BD
5.如图所示是剪式千斤顶，当摇动把手时，螺纹轴就能迫使千斤顶的两臂靠拢，从而将汽车顶起．当车轮刚被顶起时汽车对千斤顶的压力为1.0×105N，此时千斤顶两臂间的夹角为120°，则下列判断中正确的是（ ）
A．此时两臂受到的压力大小均为1.0×105N
B．此时千斤顶对汽车的支持力为1.0×105N
C．若继续摇动把手，两臂受到的压力将增大
D．若继续摇动把手，两臂受到的压力将减小
【解析】 根据力的平行四边形定则可知千斤顶所受的压力与两臂的分力相等，又由牛顿第三定律，作用力与反作用力大小相等．则A、B正确；若继续摇动把手则两臂所受的分力在合力不变的情况下将减小，C错误，D正确.
【答案】 ABD
6.（2011·青岛调研）如图所示，在水平天花板的A点处固定一根轻杆a，杆与天花板保持垂直．杆的下端有一个轻滑轮O.另一根细线上端固定在该天花板的B点处，细线跨过滑轮O，下端系一个重为G的物体．BO段细线与天花板的夹角为θ＝30°，系统保持静止，不计一切摩擦．下列说法中正确的是（ ）
A．细线BO对天花板的拉力大小是
B．a杆对滑轮的作用力大小是
C．a杆和细线对滑轮的合力大小是G
D．a杆对滑轮的作用力大小是G
【解析】 细线对天花板的拉力等于物体的重力G；以滑轮为对象，两段线的拉力都是G，互成120°，因此合力大小是G，根据共点力平衡，a杆对滑轮的作用力大小也是G（方向与竖直方向成60°角斜向右上方）；a杆和细线对滑轮的合力大小为零．
【答案】 D
7．如图所示，A、B都是重物，A被绕过小滑轮P的细线所悬挂，B放在粗糙的水平桌面上；滑轮P被一根斜短线系于天花板上的O点；O′是三根线的结点，bO′水平拉着B物体，cO′沿竖直方向拉着弹簧；弹簧、细线、小滑轮的重力和细线与滑轮间的摩擦力均可忽略，整个装置处于平衡静止状态．若悬挂小滑轮的斜线OP的张力是20
N，g取10N/kg，则下列说法中错误的是（ ）
A．弹簧的弹力为10N
B．重物A的质量为2kg
C．桌面对B物体的摩擦力为10
N
D．OP与竖直方向的夹角为60°
【解析】 O′a和aA两绳拉力的合力与OP的张力相等．由几何知识可知FO′a＝FaA＝20N，且OP与竖直方向夹角为30°，D不正确．重物A的重力GA＝FaA，所以mA＝2kg，B正确．桌面对B的摩擦力Ff＝FO′b＝FO′a·cos30°＝10
N，C正确．弹簧的弹力F弹＝FO′asin30°＝20×
N＝10N，故A正确．故不正确的应选D.
【答案】 D
8.（2010·高考江苏卷）如图所示，置于水平地面的三脚架上固定着一质量为m的照相机，三脚架的三根轻质支架等长，与竖直方向均成30°角，则每根支架中承受的压力大小为（ ）
A.
mgB.
mgC.
mgD.
mg
【解析】 3Fcos30°＝mg，F＝
mg，选D.
【答案】 D
9.（2011·宜昌市调研）半圆柱体P放在粗糙的水平面上，有一挡板MN与半圆柱不接触，在P和MN之间放有一个光滑均匀的小圆柱体Q，如图是这个装置的截面图，整个装置处于静止状态．若用外力缓慢地移动挡板MN，并保持挡板MN始终与两圆心的连线平行，在MN到达水平位置前，发现P始终保持静止，在此过程中，下列说法中正确的是（ ）
A．MN对Q的弹力逐渐增大
B．地面对P的弹力逐渐增大
C．P、Q间的弹力先减小后增大
D．Q所受的合力逐渐增大
【解析】 小圆柱体受到重力G、MN的弹力F1、半圆柱体对小圆柱体的弹力F2，由于缓慢移动，所以小圆柱体始终处于平衡状态，合力为零，因此上述三个力构成封闭三角形，如图所示，F1、F2始终垂直，F1＝Gsinθ，F2＝Gcosθ.由于重力不变，移动挡板时θ角增大，所以F1增大，F2减小，选项A正确、CD错误．地面对P的弹力F′＝GP＋F2cosθ＝Gp＋Gcos2θ，所以地面对P的弹力减小，选项B错误．
【答案】 A
10.（2010·天津模拟）如图所示，A、B两物体的质量分别为mA、mB，且mA>mB，整个系统处于静止状态．滑轮的质量和一切摩擦均不计，如果绳一端由Q点缓慢地向左移到P点，整个系统重新平衡后，物体A的高度和两滑轮间绳与水平方向的夹角θ变化情况是（ ）
A．物体A的高度升高，θ角变大
B．物体A的高度降低，θ角变小
C．物体A的高度升高，θ角不变
D．物体A的高度不变，θ角变小
【解析】 最终平衡时，绳的拉力F大小仍为mAg，由二力平衡可得2Fsinθ＝mBg，故θ角不变，但因悬点由Q到P，左侧部分绳子变长，故A应升高，所以C正确．
【答案】 C
11.如图所示CE水平，CA竖直，已知绳DE与水平方向成α角；绳BC与竖直方向成β角．若在E点施加竖直向下的大小为F的拉力作用，求CA绳向上拔桩的力的大小．
【解析】 将F分解为沿DE方向的分力F1和沿CE方向的分力F2，如图（a）所示．再将CE的拉力F2分解为沿BC、AC方向的分力F4、F3，如图（b）所示．由几何关系可得：
F2＝Fcotα，F3＝F2cotβ，所以F3＝Fcotαcotβ.这就是CA拔桩的拉力大小．
【反思】 F的作用效果是拉DE、CE，而CE拉力的作用效果是拉CB与向上拉CA即拔桩．这里主要根据力的实际作用效果分解，从而找出各个力之间的关系．
12.（新题快递）为了向同学展示自己神奇的“魔力”，小明将一小块条形磁铁藏在自己的袖子里，然后对着一悬挂的金属小球指手画脚，结果小球在他神奇的功力下飘动起来，同学们都惊呆了！
假设当隐藏的小磁铁位于小球的左上方某一位置C（∠QCS＝30°）时，金属小球偏离竖直方向的夹角θ也是30°，如图所示，已知小球的质量为m，小明（含磁铁）的质量为M，求：
（1）此时悬挂小球的细线的拉力大小为多少？
（2）小明受到地面的支持力和摩擦力大小各为多少？
【解析】
（1）以小球为研究对象，受力分析如图甲所示，则由平衡条件得：
Fsin30°＝FCsin30°，
FCcos30°＋Fcos30°＝mg，
解得F＝Fc＝
mg.
（2）以小球和小明整体为研究对象，受力分析如图乙所示，同理有Ff＝Fsin30°，
FN＋Fcos30°＝（M＋m）g
解上式，并将F值代入得Ff＝
mg，
FN＝Mg＋
mg.
【答案】
（1）
mg
（2）Mg＋
mg （3）
mg
13.如右图所示，PQ为一固定水平放置的光滑细长杆，质量均为m的两小球A、B穿于其上，两小球用长度均为L的轻线连接，且与穿于杆上的轻弹簧相连．E为质量不计的光滑定滑轮，被两条轻线悬挂，C、D球质量分别为m和2m，用轻绳连接并跨过定滑轮．当C、D球运动时，轻弹簧长度也为L，已知劲度系数为k，求弹簧的原始长度．（弹簧在弹性限度内，重力加速度为g）
【解析】 C、D球在竖直方向上做匀变速运动，
a＝
＝
g
以C球为研究对象，轻绳拉力
T1＝mg＋ma＝
mg
对滑轮，受竖直向上的合力TE，有TE＝2T1＝
mg
对轻线，线张力为T，有2Tcos30°＝TE
对A球，弹簧弹力为F弹，有F弹＝Tcos60°
联立①②③式，解得F弹＝
mg，
弹簧被压缩，所以弹簧原长
L0＝L＋x＝L＋
＝L＋
mg.
【答案】 L＋
mg
【反思】 有关力学综合问题的解题思路
该题比较综合，在解答时应注意以下问题：
（1）该题研究对象较多，因此在选规律列式之前应明确对哪个物体进行分析，例如本题中研究C、D两球的匀加速运动，研究滑轮的平衡状态，研究A球的平衡状态等．
（2）对研究对象确定后，也要认真分析物体的运动状态，对C、D组成的系统，题干中只说明运动，并没有指明做匀加速运动，因此经分析后，选择牛顿第二定律列式求出轻绳中的张力，再通过滑轮的平衡状态求出轻线中的张力．
（3）对A球和滑轮的受力分析，首先要准确无误，然后利用合成法或正交分解法，才能求出有关力的大小．
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