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勾股定理练习题
篇一：
勾股定理练习题（含答案）
勾股定理练习题
一、基础达标:
1.下列说法正确的是（）
A.若a、b、c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2；B.若a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2；C.若a、b、c是Rt△ABC的三边，?
A?
90?
，则a2＋b2＝c2；D.若a、b、c是Rt△ABC的三边，?
C?
90?
，则a2＋b2＝c2．
b、c，2.Rt△ABC的三条边长分别是a、则下列各式成立的是（）
A．a?
b?
cB.a?
b?
cC.a?
b?
cD.a2?
b2?
c2
3．如果Rt△的两直角边长分别为k2－1，2k（k>1），那么它的斜边长是（）
A、2kB、k+1C、k2－1D、k2+14.已知a，b，c为△ABC三边，且满足（a2－b2）（a2+b2－c2）＝0，则它的形状为（）
A.直角三角形B.等腰三角形
C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形5．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（）
A．121B．120C．90D．不能确定6．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（）A．42B．32C．42或32D．37或337.※直角三角形的面积为S，斜边上的中线长为d，则这个三角形周长为（）
（A
2d（B
d（C
）2d（D
）d
8、在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是（3,4），则OP的长为（）
A：
3B：
4C：
5D：
9．若△ABC中，AB=25cm，AC=26cm高AD=24,则BC的长为（）
A．17B.3C.17或3D.以上都不对
10．已知a、b、c是三角形的三边长，
如果满足（a?
6）2c?
10?
0
则三角形的形状是（）
A：
底与边不相等的等腰三角形B：
等边三角形C：
钝角三角形D：
直角三角形11．斜边的边长为17cm，一条直角边长为8cm的直角三角形的面积是．
12.等腰三角形的腰长为13，底边长为10，则顶角的平分线为＿＿.13.一个直角三角形的三边长的平方和为200，则斜边长为14．一个三角形三边之比是10:
8:
6，则按角分类它是三角形．15.一个三角形的三边之比为5∶12∶13，它的周长为60，则它的面积是
＿＿＿.
16.在Rt△ABC中，斜边AB=4，则AB2＋BC2＋AC2=_____．
17．若三角形的三个内角的比是1:
2:
3，最短边长为1cm，最长边长为
2cm，则这个三角形三个角度数分别是，另外一边的平方
是．
18．如图，已知?
ABC中，?
C?
90?
，BA?
15，
AC?
12，以直角边BC为直径作半圆，则
B
这个半圆的面积是．
19．一长方形的一边长为3cm，面积为
12cm，那么它的一条对角线长
2
C
A
是．
二、综合发展:
1．如图，一个高4m、宽3m的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长．
2、有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿∠CAB的角平分线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？
3.一个三角形三条边的长分别为15cm，20cm，25cm，这个三角形最长边上的高是多少？
4．如图，要修建一个育苗棚，棚高h=3m，棚宽a=4m，棚的长为12m，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？
B
E
A
5．如图，有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢，它最短要飞多远？
这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？
15．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：
小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h.如图，，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？
小汽车
小汽车
观测点
答案:
一、基础达标
1.解析:
利用勾股定理正确书写三角形三边关系的关键是看清谁是直角．
答案:
D.
2.解析：
本题考察三角形的三边关系和勾股定理.
答案：
B.
3．解析：
设另一条直角边为x，则斜边为（x+1）利用勾股定理可得方程，可以求出x．然
后再求它的周长.答案：
C．
4．解析：
解决本题关键是要画出图形来，作图时应注意高AD是在三角形的内部还是在三角
形的外部，有两种情况，分别求解.答案：
C.
222
5．解析:
勾股定理得到：
17?
8?
15，另一条直角边是15，
1
?
15?
8?
60cm2
2
所求直角三角形面积为2．答案:
60cm．
6．解析：
本题目主要是强调直角三角形中直角对的边是最长边,反过来也是成立．
答案:
a2?
b2?
c2，c，直角，斜，直角．
7．解析:
本题由边长之比是10:
8:
6可知满足勾股定理，即是直角三角形．答案：
直角．8．解析：
由三角形的内角和定理知三个角的度数,断定是直角三角形．答案：
30?
、60?
、
90?
，3．
222222
9．解析：
由勾股定理知道：
BC?
AB?
AC?
15?
12?
9，所以以直角边BC?
9为直径的半圆面积为10.125π．答案：
10.125π．
10．解析:
长方形面积长×宽，即12长×3，长?
4，所以一条对角线长为5．
答案：
5cm．二、综合发展
11．解析：
木条长的平方=门高长的平方+门宽长的平方．
答案：
5m．
222
12解析：
因为15?
20?
25，所以这三角形是直角三角形，设最长边（斜边）上的高为
xcm，由直角三角形面积关系，可得1?
15?
20?
1?
25?
x，∴x?
12．答案：
12cm
2
2
13．解析：
透阳光最大面积是塑料薄膜的面积，需要求出它的另一边的长是多少，可以借助
勾股定理求出.
答案：
在直角三角形中，由勾股定理可得：
直角三角形的斜边长为5m,
2
所以矩形塑料薄膜的面积是：
5×20=100（m）．
14．解析：
本题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理求斜边的值是13m，也就是两树树梢之间的距离是13m，两再利用时间关系式求解.答案：
6.5s．15．解析：
本题和14题相似，可以求出BC的值，再利用速度等于路程除以时间后比较.BC=40米，时间是2s，可得速度是20m/s=72km/h＞70km/h．答案：
这辆小汽车超速了．
篇二：
勾股定理经典例题（含答案）
类型一：
勾股定理的直接用法
1、在Rt△ABC中，∠C=90°
（1）已知a=6，c=10，求b，
（2）已知a=40，b=9，求c；（3）已知c=25，b=15，求a.
思路点拨:
写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。
解析：
（1）在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=
（2）在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=
（3）在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=
举一反三
【变式】:
如图∠B=∠ACD=90°,AD=13,CD=12,BC=3,则AB的长是多少?
【答案】∵∠ACD=90°AD=13,CD=12∴AC2=AD2－CD2=132－122=25∴AC=5
又∵∠ABC=90°且BC=3∴由勾股定理可得AB2=AC2－BC2=52－32=16∴AB=4
∴AB的长是4.
类型二：
勾股定理的构造应用2、如图，已知：
在
中，
，
，
.求：
BC的长.
思路点拨：
由条件
，
长.解析：
作∴
于D，则因
（
，
，想到构造含
角的直角三角形，为此作
于
D，则有
，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的
的两个锐角互余）
，
∴（在中，如果一个锐角等于那么它所对的直角边等于斜边的一半）.根据勾股定理，在
根据勾股定理，在
中，
.
中，
∴
举一反三【变式1】如图，已知：
.
.
，，于P.求证：
.
解析：
连结BM，根据勾股定理，在而在
∴又∵
∴在
，（已知），
.
中，根据勾股定理有
.
中，则根据勾股定理有
.
中，
∴.
【变式2】已知：
如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。
求：
四边形ABCD的面积。
分析：
如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。
解析：
延长AD、BC交于E。
∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。
∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE=∵DE2=CE2-CD2=42-22=12，∴DE=∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE
=
AB2BE-==
。
。
（一）3、如
CD2DE=
类型三：
勾股定理的实际应用
用勾股定理求两点之间的距离问题
图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60
°方向走了
到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。
（1
）
求A、C两点之间的距离。
（2）确定目的地C在营地A的什么方向。
解析：
（1）过B点作BE//AD∴∠DAB=∠ABE=60°∵30°+∠CBA+∠ABE=180°∴∠CBA=90°即△ABC为直角三角形由已知可得：
BC=500m，AB=由勾股定理可得：
所以
（2）在Rt△ABC中，∵BC=500m，AC=1000m∴∠CAB=30°∵∠DAB=60°∴∠DAC=30°
即点C在点A的北偏东30°的方向举一反三
【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?
【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH．如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥ＡＢ，与地面交于H．解：
OC＝1米（大门宽度一半），OD＝0.8米（卡车宽度一半）在Rt△OCD中，由勾股定理得：
CD＝
＝
＝０.６米，
CＨ＝０.６＋２.３＝２.９（米）＞２.５（米）．因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门．
（二）用勾股定理求最短问题
4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．
论．
解析：
设正方形的边长为1，则图
（1）、图
（2）中的总线路长分别为AB+BC+CD＝3，AB+BC+CD＝3图（3）中，在Rt△ABC中
同理
思路点拨：
解答本题的思路是：
最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结
∴图（3）中的路线长为
图（4）中，延长EF交BC于H，则FH⊥BC，BH＝CH
由∠FBH＝及勾股定理得：
EA＝ED＝FB＝FC＝
∴EF＝1－2FH＝1－
∴此图中总线路的长为4EA+EF＝
3＞2.828>2.732
∴图（4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线．举一反三
【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．
解：
如图，在Rt△ＡＢＣ中，ＢＣ＝底面周长的一半＝１０cm，根据勾股定理得（提问：
勾股定理）∴AC＝
＝
＝
≈１０．７７（cm）（勾股定理）．
答：
最短路程约为１０．７７cm．
类型四：
利用勾股定理作长为
5、作长为
、
、
的线段
的线段。
，直角边为
和1的直角三角形斜边
思路点拨：
由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于长就是
，类似地可作
。
作法：
如图所示
（1）作直角边为1（单位长）的等腰直角△ACB，使AB为斜边；
（2）以AB为一条直角边，作另一直角边为1的直角（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形
、
、
、
。
的点。
，。
斜边为
、
；、
、
的长度就是
，这样斜边
举一反三【变式】在数轴上表示解析：
可以把
看作是直角三角形的斜边，
为了有利于画图让其他两边的长为整数，
而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。
作法：
如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以OC为半径，以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为
。
类型五：
逆命题与勾股定理逆定理
6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确
篇三：
-勾股定理-单元测试题（含答案）
勾股定理单元测试题
一、选择题
1、下列各组数中，能构成直角三角形的是（）
A：
4，5，6B：
1，1
：
6，8，11D：
5，12，232、在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝12，b＝16，则c的长为（）A：
26B：
18C：
20D：
21
3、在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是（3,4），则OP的长为（）A：
3B：
4C：
5D：
7
4、在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°,c＝10，则a的长为（）A：
5B：
C：
52D：
5、等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（）
A
、
、、3
6、若等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为（）
A、6B、7C、8D、97、已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A、3cmB、4cm
2
2
2
C、6cmD、12cm
2
8、若△ABC中，AB?
13cm,AC?
15cm，高AD=12,则BC的长为（）A、14B、4C、14或4D、以上都不对二、填空题
1、若一个三角形的三边满足c?
a?
b，则这个三角形是
2、木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm，宽为60cm，对角线为100cm，则这个桌面。
（填“合格”或“不合格”）
3、直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为__________。
2
2
2
-1-
4、如右图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，
所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，则正方形A，B，C，D的面积的和为。
5、如右图将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上F处,已知CE=3,AB=8,则BF=___________。
6、一只蚂蚁从长为4cm、宽为3cm，高是5cm的
长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么
它所行的最短路线的长是____________cm。
第6题
7、将一根长为15㎝的筷子置于底面直径为5㎝，高为12㎝的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为h㎝，则h的取值范围是________________。
三、解答题
1、（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，BC=6，AC=8，求AB、CD的长
E
F
C
A
DB
C
2、（6分）如图，四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，CD＝12cm，DA＝13cm，且∠ABC＝90，求四边形ABCD的面积。
-2-
3．已知△ABC的三边分别为k2－1，2k，k2+1（k＞1），求证：
△ABC是直角三角形.
4．已知正方形ABCD的边长为4，E为AB中点，F为A上的一点，且AF=△EFC的形状.
1
AD，试判断4
5．﹝8分﹞.如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，?
长BC?
为10cm．当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．想一想，此时EC有多长？
?
ADE
-3-
BF
《勾股定理》单元卷答案一、选择题：
１、Ｂ２、Ｃ３、Ｃ４、Ｃ５、Ｂ６、Ｃ７、Ｃ８、Ｃ二、填空题：
１、直角三角形２、合格４、２５５、６６、７、２≤ｈ≤３三、解答题：
１、解：
在Rt△ABC中，BC=6，AC=8
ＡＢ２＝ＡＣ２＋ＢＣ
２
36?
84＝＝１０ＣＤ＝
AC?
BCAB
=6?
8
1210=5＝4.8
2、解：
连接AC
∵在Rt△ABC中，ＡＣ２＝ＡＢ２＋ＢＣ２
ＡＣ=?
16=5cm∴S△ABC=
AB?
BC3?
42
2
=2=6cm
在△ACD中，ＡＣ２
+CD２
=25+144=169，DA２
=132
=169，
∴DA２=ＡＣ２+CD２
∴△ACD是Rt△∴S△ACD=
AC?
DC2
=5?
122
2=30cm
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=6+30=36cm2
3、解：
由题意得：
设城门高为ｘ，
（ｘ＋１）２＝ｘ２＋３
２
ｘ２＋２ｘ＋１＝ｘ２
＋９２ｘ＝８ｘ＝４竹竿长为４＋１＝５米。
答：
竹竿长为５米。
４、解：
由题意得：
（ｘ＋１）２＝ｘ２＋２５
-4-
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