完整word版自然数平方和公式的推导与证明.docx

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完整word版自然数平方和公式的推导与证明

※自然数之和公式的推导

法计算1，2，3，…,n，…的前n项的和：

由  1  +  2  +…+n—1  + n

    n  + n—1 +…+ 2   + 1   

 （n+1）+（n+1）+…+（n+1）+（n+1）

可知

上面这种加法叫“倒序相加法”

※等差数列求和公式的推导

　　一般地，称

为数列

的前n项的和，用

表示，即

　　1、 思考：

受高斯的启示，我们这里可以用什么方法去求和呢？

思考后知道，也可以用“倒序相加法”进行求和。

我们用两种方法表示

：

①

②

由①+②,得  

   由此得到等差数列

的前n项和的公式

对于这个公式，我们知道：

只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等差数列前n项和了。

　　2、 除此之外，等差数列还有其他方法（读基础教好学生要介绍）

当然，对于等差数列求和公式的推导，也可以有其他的推导途径。

例如：

  =

                      =

                      =

                      =

　　这两个公式是可以相互转化的。

把

代入

中，就可以得到

引导学生思考这两个公式的结构特征得到:

第一个公式反映了等差数列的任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质。

第二个公式反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n的“二次函数”，可以与二次函数进行比较。

这两个公式的共同点都是知道

和n，不同点是第一个公式还需知道

而第二个公式是要知道d，解题时还需要根据已知条件决定选用哪个公式.

自然数平方和公式的推导与证明

（一）

12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）/6,在高中数学中是用数学归纳法证明的一个命题,没有给出其直接的推导过程。

其实，该求和公式的直接推导并不复杂，也没有超出初中数学内容。

   一、设：

S=12+22+32+…+n2

另设：

S1=12+22+32+…+n2+（n+1）2+（n+2）2+（n+3）2+…+（n+n）2，此步设题是解题的关键，一般人不会这么去设想.有了此步设题，

第一：

S1=12+22+32+…+n2+（n+1）2+（n+2）2+（n+3）2+…+（n+n）2中的12+22+32+…+n2=S，（n+1）2+（n+2）2+（n+3）2+…+（n+n）2可以展开为（n2+2n+12）+（n2+2×2n+22）+（n2+2×3n+32）+…+（n2+2×nn+n2）=n3+2n（1+2+3+…+n）+12+22+32+…+n2,即

S1=2S+n3+2n（1+2+3+…+n）……………………………………………….。

（1）

第二：

S1=12+22+32+…+n2+（n+1）2+（n+2）2+（n+3）2+…+（n+n）2可以写为：

S1=12+32+52…+（2n—1）2+22+42+62…+（2n）2，其中：

22+42+62…+（2n）2=22（12+22+32+…+n2）=4S……………………………………。

.

（2）

12+32+52…+（2n-1）2=（2×1—1）2+（2×2-1）2+（2×3-1）2+…+（2n-1）2

=（22×12-2×2×1+1）+（22×22—2×2×2+1）2+（22×32-2×2×3+1）2+…+（22×n2-2×2×n+1）2

=22×12+22×22+22×32+…+22×n2—2×2×1-2×2×2-2×2×3—…-2×2×n+n

=22×（12+22+32+…+n2）-2×2（1+2+3+…+n）+n

=4S-4（1+2+3+…+n）+n……………………………………………………………。

.（3）

由

（2）+（3）得：

S1=8S-4（1+2+3+…+n）+n…………………………………………。

。

（4）

由

（1）与（4）得：

2S+n3+2n（1+2+3+…+n）=8S-4（1+2+3+…+n）+n

即：

6S=n3+2n（1+2+3+…+n）+4（1+2+3+…+n）-n

     =n[n2+n（1+n）+2（1+n）-1］

     =n（2n2+3n+1）

     =n（n+1）（2n+1）

  S=n（n+1）（2n+1）/6

亦即：

S=12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）/6……………………………………（5）

以上可得各自然数平方和公式为n（n+1）（2n+1）/6，其中n为最后一位自然数.

由（5）代入

（2）得自然数偶数平方和公式为2n（n+1）（2n+1）/3，其中2n为最后一位自然数。

由（5）代入（3）得自然数奇数平方和公式为n（2n-1）（2n+1）/3，其中2n-1为最后一位自然数。

二、由自然数平方和公式推导自然数立方和公式

设S=13+23+33+…+n3……………………………………………………….

（1）

有S=n3+（n—1）3+（n-2）3+…+13……………………………………………。

..

（2）

由

（1）+

（2）得:

2S=n3+13+（n—1）3+23+（n—2）3+33+…+n3+13

               =（n+1）（n2—n+1）

                   +

              （n+1）［（n-1）2—2（n—1）+22）

                   +

              （n+1）[（n—2）2—3（n-2）+32）

                   +

                   。

                   .

                   .

                   +

              （n+1）（12—n（n-n+1）（n—n+1+n2）

即2S=（n+1）[2（12+22+32+…+n2）—n—2（n—1）—3（n-2）-…—n（n—n+1）］………………。

。

.（3）

由12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）/6代入

（2）得：

2S=（n+1）[2n（n+1）（2n+1）/6-n—2n—3n-…nn+2×1+3×2+…+n（n—1）]

 =（n+1）[2n（n+1）（2n+1）/6—n（1+2+3+…n）+（1+1）×1+（2+1）×2+…+（n—1+1）（n-1）]

 =（n+1）[2n（n+1）（2n+1）/6-n2（1+n）/2+12+1+22+2+…+（n-1）2+（n—1）］

 =（n+1）［2n（n+1）（2n+1）/6-n2（1+n）/2+12+22+…+（n—1）2+1+2+…+（n—1）]……。

。

。

（4）

由12+22+…+（n—1）2=n（n+1）（2n+1）/6—n2，1+2+…+（n-1）=n（n—1）/2代入（4）得:

  2S=（n+1）［3n（n+1）（2n+1）/6—n2+n（n—1）/2

    =n2（n+1）2/2

即S=13+23+33+…+n3=n2（n+1）2/4

结论：

自然数的立方和公式为n2（n+1）2/4，其中n为自然数。

三、自然数偶数立方和公式推导

设S=23+43+63+…+（2n）3

有S=23（13+23+33+…+n3）=8n2（n+1）2/4=2n2（n+1）2

结论:

自然数偶数的立方和公式为2n2（n+1）2，其中2n为最后一位自然偶数.

四、自然数奇数立方和公式推导

设S=13+23+33+…+（2n）3

由自然数的立方和公式为n2（n+1）2/4,其中n为自然数代入左边

有n2（2n+1）2=23+43+63+…+（2n）3+13+33+53…+（2n—1）3

                =2n2（n+1）2+13+33+53…+（2n—1）3

移项得：

13+33+53…+（2n—1）3=n2（2n+1）2-2n2（n+1）2

                                    =n2（2n2-1）

结论：

自然数奇数的立方和公式为n2（2n2-1），其中2n-1为最后一位自然奇数，即n的取值。

自然数平方和公式的推导与证明

（二）

这里的自然数指的是不包含0的传统自然数。

1^2+2^2+3^2+4^2+..。

。

.。

。

n^2=？

（n^2表示n×n＝n2为了好打字）

一、推导

1、直接推导：

1+2+3+4+……+n=（1+n）＊n/2

      +         +

 2+3+4+……+n=（2+n）＊（n—1）/2

      +         +

   3+4+……+n=（3+n）＊（n-2）/2

      +         +

      .         。

      .         。

 （i+1）+……+n=（n+i+1）＊（n-i）/2   （i=0,……,n—1）

      ｜｜        ｜｜

      S  =  （2＊n^3+3*n^2+n—2S）/4

两边求一下得所求S

此法较为直观正规

2、用其他的公式推导：

容易证明1x2+2x3+3x4+4x5+.。

.+nx（n+1）=1/3xn（n+1）（n+2）（数学归纳法易证，而左式可写成

1x2+2x3+3x4+4x5+nx（n+1）=（1x1+2x2+.。

。

+ nxn）+（1+2+。

.。

+n）

于是

1x1+2x2+...+ nxn=1/3xn（n+1）（n+2）-1/2xn（n+1）=1/6xn（n+1）（2n+1）

3、二项式推导：

2^3=1^3+3*1^2+3*1+1

3^3=2^3+3＊2^2+3＊2+1

4^3=3^3+3*3^2+3＊3+1

.。

...。

.

（n+1）^3=n^3+3＊n^2+3^n+1

sumupbothsidessubstractcommonterms：

（n+1）^3=3＊b+3＊（n+1）＊n/2+n+1==〉solveforb

b=1^2+2^2+..。

+n^2

此法需要较强的基本功，属奥妙之作

4、立方差公式推导（此法高中生都能看懂吧）

5、用现成恒等式推导

二、证明

1、数学归纳法

1^2+2^2+3^2+……+n^2=n（n+1）（2n+1）/6

当n=1时，显然成立.

设n=k时也成立,即:

1^2+2^2+3^2+……+k^2=k（k+1）（2k+1）/6

那么当n=k+1时,等式的左边等于:

1^2+2^2+3^2+……+k^2+（k+1）^2

=k（k+1）（2k+1）/6+（k+1）^2

=（k+1）[k（2k+1）/6+（k+1）]

=（k+1）［2k^2+k+6k+6］/6

=（k+1）（k+2）（2k+3）/6

而等式的右边等于:

（当n=k+1时）

（k+1）（k+1+1）（2k+2+1）/6

=（k+1）（k+2）（2k+3）/6

即当n=k+1时,等式左边等于等式的右边

所以对于一切n,等式都成立

此法给初中和小学生讲是没法了，现在的教育之痛，用某小学老师的话来说，小学生的题是出给家长作的，呜～，砖家当道啊，有没有满足他们拔苗助长嗜好的奥数方法呢

2、图形法

计算12＋22＋32＋42。

根据平方的含义和乘法的含义，我们可以将这个算式改写：

12=1×1=1、22=2×2=2＋2、32=3×3=3＋3＋3、42=4×4=4＋4＋4＋4，则12＋22＋32＋42=1＋2＋2＋3＋3＋3＋4＋4＋4＋4。

把这10个加数排写在一个三角形内（图1），计算这个算式的和，就是计算这个三角形内所有数的和。

（其实学生如果会算自然数n项和,下面的说明就可省了,不过想个个学生成高斯，结果个个搞死了，呵呵）

我们对图1进行两次“复制”，得到两个和图1完全相同的三角形，把其中一个逆时针旋转60°得到图2，另一个顺时针旋转60°得到图3。

先把图2和图3重合，得到图4。

图4中，重合的两个图形相对应位置的两个数相加，它们的和有什么规律呢？

我们发现，从上往下看,第一行两个数的和是8，第二行两个数的和都是7，第三行两个数的和都是6，第四行两个数的和都是5。

再把图4和图1重合，得到图5。

从图中可以看出，每个圆圈中都有三个数，这三个数的和都是9，9=2×4＋1。

而10=1＋2＋3＋4=（1＋4）×4÷2。

图5中所有数的和应是图1中所有数的和的3倍，所以图1中所有数的和=9×10÷3=（2×4＋1）×（1＋4）×4÷2÷3=4×（1＋4）×（2×4＋1）×1/6.即12＋22＋32＋42=4×（1＋4）×（2×4＋1）×1/6。

观察这个算式,用同样的思考方法，我们可推出这样的结论：

12＋22＋32＋42＋……＋n2=n×（1＋n）×（2×n＋1）×1/6

这个不是证明的过程对小学生来说算是证明吧。