全等难题倍长中线法.docx
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全等难题倍长中线法
第二讲全等三角形与中点问题
板块
考试要求
A级要求
B级要求
C级要求
全等三角形
掌握全等三角形的概念、判定和性质，
会运用全等三角形的性
的性质及判
会识别全等三角形
会用全等三角形的性质和判定解决简
质和判定解决有关问题
定
单问题
三角形中线的定义：
三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理：
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
等腰三角形底边的中线三线合一（底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合）
三角形中位线定义：
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．
中位线判定定理：
经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．中线中位线相关问题（涉及中点的问题）
见到中线（中点），我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理（以后还要学习中线长公式），尤其是在
涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．
重点：
主要掌握中线的处理方法，遇见中线考虑中线倍长法
难点：
全等三角形的综合运用
版块一倍长中线
【例1】（2002年通化市中考题）在△ABC中，AB5,AC9，则BC边上的中线AD的长的取值范围是什么？
1
补充】已知：
ABC中，AM是中线．求证：
AM21（ABAC）．
例2】（2008年巴中市高中阶段教育学校招生考试
）已知：
如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E是CD的
中点，BE的延长线与AD的延长线相交于点F．求证：
BCE≌FDE．
例3】（浙江省2008年初中毕业生学业考试（湖州市）数学试卷）如图，在ABC中，D是BC边的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE．求证：
BDE≌CDF．
例4】如图，ABC中，ABDAC例5】如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，求证：
ACBE．
G
E是AD上一点，延长BE交AC于F，
AFEF，
例6】如图所示，在ABC和ABC中，AD、AD分别是BC、BC上的中线，且ABAB，ACAC，ADAD，求证ABC≌ABC．
E'
例7】如图，在ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交EF于点G，若BGCF，求证：
AD为ABC的角平分线．
例8】已知AD为ABC的中线，
ADB，ADC的平分线分别交
AB于E、交AC于F．求证：
BECFEF．
例9】在RtABC中，A90，点D为BC的中点，点E、F分别为AB、AC上的点，且EDFD．以线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形？
若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？
例10】如图所示，在ABC中，D是BC的中点，DM垂直于DN，如果BM2CN2DM2DN2，求证2122
AD2AB2AC2．
4
例11】如图所示，
BAC
DAE90，M是BE的中点，ABAC，AD
AE，求证AM
CD．
E
例10】（2008年四川省初中数学联赛复赛·初二组）在RtABC中，F是斜边AB的中点，D、E分别在边CA、
CB上，满足
DFE90．若AD3，BE4，则线段DE的长度为．
版块二、中位线的应用
【例12】AD是ABC的中线，F是AD的中点，BF的延长线交AC于E．求证：
AE1AC．3
例13】
如图所示，在ABC中，AB
AC，延长AB到D，使BDAB，E为AB的中点，连接CE、CD，
求证CD2EC．
例14】
已知：
ABCD是凸四边形，且于N，AC和BD交于G点．
AC∠GMN>∠GNM．
D
1
例15】在ABC中，ACB90，AC1BC，以BC为底作等腰直角BCD，E是CD的中点，求证：
2
AEEB且AEBE．
例16】如图，在五边形ABCDE中，ABC
AED90，BAC
例17】
“（祖冲之杯”数学竞赛试题，
EAD，F为CD的中点．求证：
BFEF．
E
中国国家集训队试题）如图所示，P是ABC内的一点，
PAC
PBC，
过P作PMAC于M，PLBC于L，D为AB的中点，求证DMDL．
例18】（全国数学联合竞赛试题）如图所示，在ABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到点E、F，
使DEDF．过E、F分别作直线CA、CB的垂线，相交于点P，设线段PA、PB的中点分别为M、
N．求证：
（1）DEM≌FDN；
（2）PAEPBF．
F
例19】已知，如图四边形ABCD中，ADBC，E、
F分别是AB和CD的中点，AD、EF、BC的延长
线分别交于M、N两点．求证：
AMEBNE．
例20】（2009年大兴安岭地区初中毕业学业考试）已知：
在ABC中，BCAC，动点D绕ABC的顶点A逆时针旋转，且ADBC，连结DC．过AB、DC的中点E、F作直线，直线EF与直线AD、BC分别相交于点M、N．
图1
B
D
图3
⑴如图1，当点D旋转到BC的延长线上时，点N恰好与点F重合，取AC的中点H，连结HE、HF，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论AMFBNE（不需证明）．
⑵当点D旋转到图2或图3中的位置时，AMF与BNE有何数量关系？
请分别写出猜想，并任选一种情况证明．
1例21】如图，AE⊥AB，BC⊥CD，且AE=AB，BC=CD，F为DE的中点，FM⊥AC．证明：
FM=AC．
2
HA
例22】（1991年泉州市初二数学双基赛题）已知：
在△ABC中，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABM，和CAN，P是边BC的中点．求证：
PM＝PN
N
习题1】如图，在等腰
ABC中，AB
AC，D是BC的中点，过A作AE
DE，AF
DF，且AEAF．
求证：
EDBFDC．
习题2】
如图，
已知在
F
ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BEAC
，延长BE交AC于
F，AF与EF相等吗？
为什么？
习题3】如右下图，在ABC中，若B2C，ADBC，E为BC边的中点．求证：
AB2DE．
备选2】如图，ABC中，ABAC，
BAC90，D是BC中点，ED
FD，ED与AB交于E，FD与
月测备选
备选1】如图，已知AB=DC，AD=BC，O是BD中点，过O点的直线分别交DA、BC的延长线于E，F．求证：
∠E=∠F
AC交于F．求证：
BEAF，AECF．
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