初中线段相等比例关系的证明方法.docx

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初中线段相等比例关系的证明方法

平面几何中线段相等的证明几种方法

平面几何中线段相等的证明看似简单，但方法不当也会带来麻烦，特别是在有限的两个小时考试中。

恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。

一、利用全等三角形的性质证明线段相等

这种方法很普遍，如果所证两条线段分别在不同的三角形中，它们所在三角形看似全等，或者，通过简单处理（添加辅助线），它们所在三角形看似全等，可考虑这种方法。

［例1］如图，C是线段AB上一点，△ACD和△BCE是等边三角形。

求证：

AE=BD。

注:

如果有两个形状相同的图形（一般是等腰三角形、等边三角形或正方形），那么可能要用到旋转全等或相似

［例2］如图，已知△ABC中，AB=AC，点E在AB上，点F在AC的延长线上，且BE=CF，EF与BC交于D，求证：

ED=DF。

注：

添加辅助线，构造全等三角形

二、利用等腰三角形的判定（等角对等边）证明线段相等

如果两条所证线段在同一三角形中，证全等一时难以证明，可以考虑用此法。

［例1］如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BE=AC，延长BE交AC于F。

求证：

AF=EF。

注：

辅助线是中线倍长法

［例2］如图，已知△ABC中，AB=AC，DF⊥BC于F，DF与AC交于E，与BA的延长线交于D，求证：

AD=AE。

三、利用平行四边形的性质证明线段相等

如果所证两线段在一直线上或看似平行，用上面的方法不易，可以考虑此法。

［例1］如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，分别以AB、AC为边在△ABC的外侧作正△ABE和正△ACD，DE与AB交于F，

求证：

EF=FD。

（辅助线是过E作EG⊥AB，连接DG）

注：

构造平行四边形

［例2］如图，AD是△ABC的中线，过DC上任意一点F作EG//AB，与AC和AD的延长线分别交于G和E，FH//AC，交AB于点H。

求证：

HG=BE。

注：

构造平行四边形，利用平行线分线段成比例转化

证明：

延长AD到A′，使DA′=AD，又∵BD=CD

∴四边形BACA′是平行四边形

∴BA=A′C

由题设可知HFGA也是平行四边形

∴HF=AG

∵HF//AC，∴

又∵

，HF=AG，BA=A′C

∴BH=EG

∴四边形BEGH是平行四边形

四、利用中位线证明线段相等

如果已知中含有中点或等边等，用上面方法较难，可以考虑此法。

［例1］如图，以△ABC的边AB、AC为斜边向外作直角三角形ABD和ACE，且使∠ABD=∠ACE，M是BC的中点。

证明：

DM=EM。

注：

辅助线取斜边中点

［例2］如图所示,△ABC中,中线BD、CE相交于O,F、G分别为OB、OC的中点.

求证：

四边形DEFG为平行四边形.

五、利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证明线段相等。

如果所证两线段所在的图形能构成直角三角形，并且可能构成斜边及斜边上的中线，用上面方法一时证不出来，可以考虑此法。

［例］1已知：

在△ABC中，M是BC的中点，CE⊥AB，BF⊥AC。

求证：

EM＝FM

［例］2如图，正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，EC和DF相交于G，连接AG，求证：

AG=AD。

六、利用等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边

如果所证线段在一条直线上相邻，且在一个等腰三角形中，不妨用此法

［例］如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=5，AC=3，则DF的长为______．

七、线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等

如果两条线段在一个三角形中证明相等，且第三边有垂直或中点，用此法

［例］已知如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE的周长等于　_________　．

注：

1、补充2016年安徽中考解答题第23题第2小问是中垂线的性质

2、三角形三条中垂线交于一点

八、角平分线上任一点到角的两边距离相等

适用于有角平分线和垂直的图形

［例］如图,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA交OB于C,PD⊥OA垂足

为D,若PC=4,则PD=.

注：

1、补充2013年安徽省中考解答题第23题第3小问

2、三角形三条角平分线交于一点

九、圆的性质和定理

同圆（或等圆）中半径相等，等弧所对的弦或与弦心距相等的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等，圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等，圆外一点引圆的两条切线的切线长相等

［例］1如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，且AB=CD.求证：

AE=CE.

注：

辅助线AC不一定经过O

［例］2如图所示，AB＝AC，AB为⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于E、D，连结ED、BE．试判断DE与BD是否相等，并说明理由；

十、等积法

面积相等，等底或等高可以转化

［例］如图,在平行四边形ABCD中,E是CD上一点,F是AD上一点,且CF=AE,AE交CF于点O.求证：

OB平分∠AOC.

十一、长度相等：

测量法

适用于选择题或填空题，解答题必须求出其具体长度或都是某条线段的倍数

十二、等量转化：

等于同一线段的两条线段相等以上都可以用

证明线段的比例式或等积式的方法

证明线段的比例式或等积式成立，往往要添加辅助线，以构造一对或多对相似三角形。

一、添加平行线

（1）添加三角形内的平行线段

添加的方法是过端点或内分点做平行线，利用“平行于三角形的一边，并且和其他两边或其延长线相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例”的性质证明线段成比例。

在几何命题中，如果出现一组（或两组）相比线段重叠在一条直线上时，可考虑添加三角形内的平行线。

［例］1、如图，已知AD是△ABC的外角平分线，AD与BC的延长线交于D。

求证：

BD:

CD=AB:

AC

［例］2、如图，点D在△ABC的AC边上，且AD=BE。

求证:

.

［例］3、如图，已知BD:

DC=5:

3,E为AD的中点，求BE:

EF的值.

（2）添加三角形外的平行线

添加的方法是过端点作平行线

［例］1、如图，已知在△ABC中，AD平分

，求证：

.

［例］3、已知△ABC中，AD为中线，E、F分别在AB、AC上，且AE=AF,EF交AD于G，求证：

.（过B、C分别作EF的平行线）

二、利用三角形相似的性质

［例］1、如图，已知△ABC中，

，D是AB的中点，过D作AB的垂线交AC于E，交BC的延长线于F，求证：

DC²=DE·DF

［例］2、如图，在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，过D作AB边上的垂线交AB于F，交BE于G，交AC的延长线于H.求证：

DF²=GF·HF

三、利用面积比求比例关系

（1）相似三角形性质面积比等于相似比的平方

［例］如图1，点

将线段

分成两部分，如果

，那么称点

为线段

的黄金分割点。

某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：

直线将一个面积为

的图形分成两部分，这两部分的面积分别为

、

，如果

，那么称直线为该图形的黄金分割线.

（1）如图2，在△

中，

°，

，

的平分线交

于点

，请问点

是否是

边上的黄金分割点，并证明你的结论；

（2）若△

在

（1）的条件下，如图（3），请问直线

是不是△

的黄金分割线，并证明你的结论；

（2）非相似三角形用等底或等高转化

［例］如图△ABC中D为BC上任一点，E为AD或延长线上一点。

（3）

S△ABE

（2）

四、利用长度关系求比例