专题24 由三角函数图象和性质求参数值范围小问题大.docx
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专题24由三角函数图象和性质求参数值范围小问题大
一、问题的提出
对三角函数的图像与性质的考查，是近几年高考的热点，不仅有主观题，还有客观题。
客观题常以选择填空题的形式出现，往往涉及参数问题。
此类问题对学生来讲，有一定难度，就此总结几种常见做法。
．
二、问题的探源
函数
y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
图像
单调性
在
（k∈Z）上单调递增；在
2kπ（k∈Z）上单调递减
在[－π＋2kπ，2kπ]（k∈Z）上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ]（k∈Z）上单调递减
在
（k∈Z）上单调递增
函数
y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
对称性
对称中心：
（kπ，0）（k∈Z）；对称轴：
x＝
＋kπ（k∈Z）
对称中心：
（k∈Z）；对称轴：
x＝kπ（k∈Z）
对称中心：
（k∈Z）
三、问题的佐证
（一）利用奇偶性确定参数的值
例1
（1）已知函数f（x）＝2sin
是偶函数，则θ的值为（ ）
A．0B.
C.
D.
解：
∵函数f（x）为偶函数，∴θ＋
＝kπ＋
（k∈Z）．又∵θ∈
，∴θ＋
＝
，解得θ＝
，经检验符合题意．故选B.
（2）若函数y＝3c
os（2x－
＋φ）为奇函数，则|φ|的最小值为________．
解：
依题意得，－
＋φ＝kπ＋
（k∈Z），
φ＝kπ＋
（k∈Z），因此|φ|的最小值是
.故填
.
【评注】若
是
奇函数，则
（
），若是偶函数，则
（
）；
若
是奇函数，则
（
），若是偶函数，则
（
）．
（二）利用单调性求参数的值．
例2．若函数
在区间
是减函数，则
的取值范围是.
解:
时，
是减函数，又
，∴由
得
在
上恒成立，
．
（三）利用周期性和对称性求参数的值．
例3.若函数
的图象关于直线
对称，且当
时，
，则
（）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
从而
本题选择A选项.
（四）利用三角函数的最值求参数的值．
例4.函数
对任意
存在
使得
成立,则实数
的取值范围是．
解：
依题意可知
，
，故
，所以
，解得
.
例5.已知函数
，若
，
，且
的最小值为
，则
的值为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
∴
故选：
C
四、问题的解决
1．若将函数
的图象向右平移
个单位后得到的图象关于点
对称，则
（）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
2.将函数
的图像向右平移
个单位后得到函数
的图像，若函数
在区间
上单调递增，则正数
的取值范围为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移
个单位后得到函数g（x）的图象，
得g（x）=2cos2（x﹣
）=2cos（2x﹣
），
由
，得
．
当k=0时，函数的增区间为[
]．要使函数g（x）在区间[0，
]，
则
，解得a∈
．故选D．
3.若
为三角形中的最小内角，则函数
的值域是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
4.当
时，函数
的最小值为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】函数
=
sin
+
（1+cos
）﹣
=
（
sin
+
cos
）
=
sin（
+
），
当
时，
+
∈[
，
]，
∴sin（
+
）∈[
，1]；∴函数f（x）=
sin（
﹣
）的最小值为
．故选：
B．
5.已知函数
的一条对称轴为
，且
则
的最小值为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
本题选择C选项.
6.已知函数
，则下列说法正确的是（）
A.
函数
的最小正周期为
B.函数
的对称轴为
（
）
C.
，
D.函数
在
上单调递增
【答案】B
【解析】A：
最小正周期为
，
，错误；
B：
正确；
C：
当
时，
，错误；
D：
当
时，
，
，
所以
，此时
，不单调，错误。
故选B。
7.已知函数
在区间
上是增函数，且在区间
上恰好取得一次最大值，则
的取值范围是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
8.
若
是函数
的零点，
是函数
的对称轴，
在区间
上单调，则
的最大值是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】因为
是函数
的零点，
是函数
的对称轴，
所以
，即
，即
，即
为正偶数.
因为
在区间
上单调，则
，即
.
.
当
时，
，得
，
，所以
，
，
，时，
，其中，
，即
在区间
上不单调；
当
时，
，得
，
，所以
，
，
，时，
，满足
在区间
上不单调.
故
的最大值是14.
故选A.
9.已知函数
．若函数
的图象关于直线
对称，且在区间
上具有单调性，则
的取值集合为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】函数
化简得:
的图象关于直线
对称
则
故答案选
10.函数
的值域为____________.
【答案】
【解析】
由于
当
时，
有最大值
当
时，
有最小值
故函数
的值域为
11.若函数
的图象相邻的两个对称中心为
，
，将
的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的
，得到
的图象，则
__________．
【答案】
12
.已知函数
．
（1）当
时，求函数
的值域；
（2）已知
，函数
，若函数
在区间
上是增函数，求
的最大值．
【解析】
（1）∵
．．．．．．．．．．．．．2分
∵
，∴
，∴
，．．
．．．．．．．．．．．4分
∴函数
的值域为
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
13.已知函数
（
），其最小正周期为
．
（1）求
在区间
上的减区间；
（2）将函数
图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向右平移
个单位，得到函数
的图象，若关于
的方程
在区间
上有且只有一个实数根，求实数
的取值范围．
【解析】
（1）
，
因为
的最小正周期为
，所以
，
即
，
因为
，所以
当
时，即
时，
为减函数，
所以
的减区间为
．
14.已知函数
.
（1）当
时，求函数
的值域；
（2）已
知
，函数
，若函数
在区间
上是增函数，求
的最大值．
【解析】
（1）
．
∵
，∴
，∴
．
∴函数
的值域为
（2）
，
当
，
，
∵
在
上是增函数，且
，
∴
．
即
，化简得
，
∵
，∴
，
，∴
，解得
，因此，
的最大值为
，
15.函数
在它的某一个周期内的单调减区间是
．
（1）求
的解析式；
（2）将
的图象先向右平移
个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变），所得到的图象对应的函数记为
，若对于任意的
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
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