菱形的性质与判定优秀教案.docx

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菱形的性质与判定优秀教案

菱形的性质与判定

【课时安排】

3课时

【第一课时】

【教学目标】

1．经历从现实生活中抽象出图形的过程，了解菱形的概念及其与平行四边形的关系；

2．体会菱形的轴对称性，经历利用折纸等活动探索菱形性质的过程，发展合情推理能力；

3．在证明性质和运用性质解决问题的过程中进一步发展学生的逻辑推理能力。

【教学重难点】

体会菱形的轴对称性，经历利用折纸等活动探索菱形性质的过程，发展合情推理能力。

【教学准备】

1．教师在课前布置学生复习平行四边形的性质，搜集菱形的相关图片。

2．教师准备菱形纸片，上课前发给学生上课时使用。

【教学过程】

（一）设置情境，提出课题。

学生：

观察衣服、衣帽架和窗户等实物图片。

教师：

同学们，在观察图片后，你能从中发现你熟悉的图形吗？

你认为它们有什么样的共同特征呢？

学生1：

图片中有平行四边形。

教师：

请同学们观察，彩图中的平行四边形与平行四边形ABCD相比较，还有不同点吗？

学生2：

彩图中的平行四边形不仅对边相等，而且任意两条邻边也相等。

教师：

同学们观察得很仔细，像这样，“一组邻边相等的平行四边形叫做菱形”。

（二）猜想、探究与证明。

1．想一想

（1）教师：

菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。

你能列举一些这样的性质吗？

学生：

菱形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。

（2）教师：

同学们，你认为菱形还具有哪些特殊的性质？

请你与同伴交流。

学生活动：

分小组讨论菱形的性质，组长组织组员讨论，让尽可能多的组员发言，并汇总结果。

教师活动：

教师巡视，并参与到学生的讨论中，启发同学们类比平行四边形，从图形的边、角和对角线三个方面探讨菱形的性质。

对学生的结论，教师要及时评价，积极引导，激励学生。

2．做一做

教师：

请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题：

（1）菱形是轴对称图形吗？

如果是，它有几条对称轴？

对称轴之间有什么位置关系？

（2）菱形中有哪些相等的线段？

学生活动：

分小组折纸探索教师的问题答案。

组长组织，并汇总结果。

教师活动：

教师巡视并参与学生活动，引导学生分析怎样折纸才能得到正确的结论。

学生研讨完毕，教师要展示汇总学生的折纸方法以及相应的结论，以便于后面的教学。

3．师生结论：

（1）菱形是轴对称图形，有两条对称轴，是菱形对角线所在的直线，两条对角线互相垂直。

（2）菱形的四条边相等。

4．证明菱形性质。

教师：

通过折纸活动，同学们已经对菱形的性质有了初步的理解，下面我们要对菱形的性质进行严格的逻辑证明。

教师活动：

展示题目

已知：

如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O。

求证：

（1）AB=BC=CD=AD；

（2）AC⊥BD

师生共析：

a．菱形不仅对边相等，而且邻边相等，这样就可以证明菱形的四条边都相等了。

b．因为菱形是平行四边形，所以点O是对角线AC与BD中点；又因为在菱形中可以得到等腰三角形，这样就可以利用“三线合一”来证明结论了。

学生活动：

写出证明过程，进行组内交流对比，优化证明方法，掌握相关定理。

证明：

（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=CD，AD=BC（菱形的对边相等）

又∵AB=AD

∴AB=BC=CD=AD

（2）∵AB=AD

∴△ABD是等腰三角形

又∵四边形ABCD是菱形

∴OB=OD（菱形的对角线互相平分）

在等腰三角形ABD中，

∵OB=OD

∴AO⊥BD

即AC⊥BD

教师活动：

展示学生的证明过程，进行恰当的点评和鼓励，优化学生的证明方法，提高学生的逻辑证明能力，最后强调“菱形的四条边都相等”“菱形的对角线互相垂直”，让学生形成牢固记忆，留下深刻印象。

（三）性质应用与巩固。

教师：

通过刚才的严格论证，我们已经认识了菱形的特殊性质，下面我们利用这些性质来解决一些问题。

教师活动：

展示题目

1．例1：

如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD=2，求菱形的边长AB和对角线AC的长。

师生共析：

（1）因为菱形的邻边相等，一个内角是60°，这样就可以得到等边△ABD，BD=2，菱形的边长也是2。

（2）菱形的对角线互相垂直，可以得到直角△AOB；菱形的对角线互相平分，可以得到OB=3，根据勾股定理就可以求出OA的长度；再一次根据菱形的对角线互相平分，即AC=2OA，求出AC。

解：

∵四边形ABCD是菱形

∴AB=AD（菱形的四条边都相等）

AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）

OB=OD=

BD=

×2=1（菱形的对角线互相平分）

在等腰三角形ABC中，

∵∠BAD=60°

∴△ABD是等边三角形

∴AB=BD=2

在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2+OB2=AB2

∴

∴

（四）课堂小结。

本节课我们探讨了菱形的定义、性质，我们来共同总结一下：

1．菱形的定义：

一组邻边相等的平行四边形是菱形。

2．菱形的性质：

（1）菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线；

（2）菱形的四条边都相等；

（3）菱形的对角线互相垂直平分。

3．菱形具有平行四边形的所有性质，应用菱形的性质可以进行计算和推理。

【作业布置】

课本习题6.1

（1）知识技能1、2、3；

（2）数学理解4。

【第二课时】

【教学目标】

理解菱形的判别条件及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题。

【教学重点】

1．菱形判定定理的证明。

2．菱形判定定理的应用。

【教学难点】

学生独立完成证明的过程，增强学生对待科学的严谨治学态度。

【教学准备】

制作菱形：

1．在一张纸上用尺规作图做出边长为10cm的菱形；

2．想办法用一张长方形纸剪折出一个菱形。

【教学过程】

（一）温故知新。

通过练习复习上节课探究过的菱形的性质。

（二）展示交流，引导探究。

利用实物投影或者课件，请学生说明自己制作的菱形的过程，教师从中抓住“对角线垂直的平行四边形是菱形”、“四条边相等的四边形是菱形（菱形的尺规作图）”和“利用长方形纸剪折菱形”等的实例资源，引导学生认识到理论证明的必要性，并引导学生思考菱形的判定与菱形的性质之间的关系。

用实物投影、课件、板书等方式罗列发现的学生资源：

1．对角线垂直的平行四边形是棱形。

2．四条边相等的四边形是菱形。

（三）教师引导，独立证明。

组织学生以小组合作的方式独立完成“对角线垂直的平行四边形是菱形”和“四条边相等的四边形是菱形”两个判定定理的证明，并进行全班交流。

1．对角线垂直的平行四边形是菱形。

已知：

如图，在□ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AC⊥BD。

求证：

□ABCD是菱形。

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形

∴OA=OC

又∵AC⊥BD

∴BD是线段AC的垂直平分线

∴BA=BC

∴四边形ABCD是菱形（菱形定义）

2．四条边相等的四边形是菱形。

已知：

如图，四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA。

求证：

四边形ABCD是菱形

证明：

∵AB=CD，AD=BC

∴四边形ABCD是平行四边形

又∵AB=BC

∴四边形ABCD是菱形（菱形定义）

（四）课堂小结。

学生互相交流菱形的性质与判定定理，何时该选用性质定理，何时选择判定定理，菱形与平行四边形的关系，遇到菱形实际题目时如何分析思路，以及遇到困难时如何克服等。

【作业布置】

课本习题6.2：

1．知识技能2；

2．数学理解3。

【第三课时】

【教学目标】

1．知识与技能目标：

能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法。

2．过程与方法目标：

经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思想方法。

3．情感与态度目标：

在学习过程中感受数学与生活的联系，增强学生的数学应用意识；在学习过程中通过小组合作交流，培养学生的合作交流能力与数学表达能力。

【教学重难点】

能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法。

【教学过程】

（一）知识回顾

同学们通过前两节课的学习我们已经知道了菱形的性质及判定，你能完成下面几个题目吗？

1．如图所示：

在菱形ABCD中，AB=6，请回答下列问题：

（1）其余三条边AD、DC、BC的长度分别是多少？

（2）对角线AC与BD有什么位置关系？

（3）若∠ADC=120°，求AC的长。

2．如图所示：

在□ABCD中添加一个条件使其成为菱形：

添加方式1：

。

添加方式2：

。

（二）知识应用

1．典型例题：

例3：

如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长为10cm。

求：

（1）对角线AC的长度；

（2）菱形ABCD的面积。

解：

（1）∵四边形ABCD是菱形

∴AC⊥BD，即∠AED=90°

DE=

BD×10=5（cm）

∴在Rt△ADE中，由勾股定理可得：

∴AC=2AE=2×12=24（cm）

（2）S菱形ABCD=S△ABD+S△CBD

=2×S△ABD

=2×

×BD×AE

=BD×AE=10×12

=120（cm2）

2．变式训练：

如上图，四边形ABCD是菱形，其中对角线BD长为12cm，AC长为16cm。

求：

（1）菱形的边长；

（2）求菱形一条边上的高。

3．方法启迪：

同学们在我们刚才完成的例题及变式训练中你有什么方法感悟或者经验？

4．知者加速与补读帮困：

知者加速：

已知菱形的周长为40cm，一条对角线长为16cm，则这个菱形的面积是_____cm2。

（三）拓展提高

1．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠部分ABCD是菱形吗？

为什么？

2．如图，你能用一张锐角三角形纸片ABC折出一个菱形，使∠A成为菱形一个内角吗？

（四）课堂小结

通过本节课的学习你有哪些收获，你还存在什么疑问？

请从以下三个方面进行总结：

知识收获、方法收获、关注问题。

总结完成后，请小组内进行交流。

最后教师应对本节课方法上、解题思路上进行升华点拨。

（五）因人作业

必做题：

课本习题6.3-知识技能第3题、第4题；

选做题：

如图，在四边形ABCD中，AD//BC，E为BC的中点，BC＝2AD，EA＝ED＝2，AC与ED相交于点F。

当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？

请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积。