全国高中数学联赛试题及答案.docx
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全国高中数学联赛试题及答案
2010年全国高中数学联赛
一
试
一、填空题（每小题
8分，共64分，）
1.
函数f（x）
x
5
243x的值域是.
2.
已知函数y
（acos2
x
3）sinx的最小值为
3
，则实数a的取值范围是.
3.
双曲线x2
y2
1的右半支与直线
x
100围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标
均为整数的点）的个数是
.
4.
已知{an}
是公差不为0的等差数列，{bn}
是等比数列，其中
a1
3,b11,a2
b2,3a5
b3，且存在常数
使得对每一个正整数
n都有an
log
bn
，
则
.
5.
函数
f
（
）
a
2x
3
a
x
2（
a
0,
a
1）
在区间x
[
1,1]上的最大值为
8，则它在这个区
x
间上的最小值是.
6.
两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于
6
者为胜，否则轮
由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是
.
7.
正三棱柱ABC
A1B1C1的9
条棱长都相等，P是CC1的中点，二面角B
A1P
B1
则sin
.
8.
方程
x
y
z
2010
满足
x
y
z
的正整数解（
y
）的个数是.
x
z
二、解答题（本题满分
56分）
9.
（16分）已知函数
f
（
）
ax
3
bx
2
（
a
0），当
0x
1
时，
f
（x）
，试求a
x
cxd
1
的最大值.
10.（20
分）已知抛物线y2
6x上的两个动点A（x1,y1）和B（x2,y2），其中x1x2
且
x
x
4
.
线段
AB
的垂直平分线与
x轴交于点
C
，求
ABC
面积的最大值.
1
2
11.（20分）证明：
方程2x3
5x20恰有一个实数根
r，且存在唯一的严格递增正整数数
列{an}，使得
2
ra1
ra2
ra3
.
5
解答
1.
[3,
3]
提示：
易知
f（x）的定义域是
5,8，且f（x）在5,8上是增函数，从而可知
f（x）的值域为[3,
3].
2.
3
a
12
提示：
令sinx
t，则原函数化为
g（t）
（at2
a
3）t，即
2
g（t）
at3
（a
3）t.
由
at3
（a
3）t
3，at（t2
1）
3（t
1）
0，（t
1）（
at（t
1）
3）
0
及t
10
知
at（t
1）
3
0
即
a（t2
t）
3.
（1）
当t
0,
1时
（1）总成立；
对0
t
1,0
t2
t2；对1
t
0,
1
t2
t
0
.从而可知
3
a
12
.
4
2
3.9800
提示：
由对称性知，只要先考虑x轴上方的情况，设y
k（k
1,2,
99）与双曲线
右半支于Ak,交直线x
100于Bk，则线段AkBk内部的整点的个数为99
k，从而在x轴上方区
域内部整点的个数为
99
（99
k）
99
49
4851.
k
1
又x轴上有98个整点，所以所求整点的个数为
2
4851
98
9800.
4.
33
3
提示：
设{an}的公差为d,{bn}的公比为q，则
3d
q,
（1）
3（3
4d）
q2，
（2）
（1）代入
（2）得9
12d
d2
6d
9，求得d
6,q
9.
从而有3
6（n1）
log9n1
对一切正整数
n都成立，即6n
3
（n
1）log
9
对
一切正整数n都成立.
从而
log96,3log9，
求得
3
3,
3，
3
33.
5.
1
提示：
令ax
y,则原函数化为g（y）
y2
3y
2
g（y）在（
3
+）上是递增的.
4
2
当0a
1时，y
[a,a1],
g（y）max
a2
3a1
2
8
a1
2
a
1
，
2
所以
g（y）min
（1）2
3
1
2
1
；
2
2
4
当
a1时，y
[a1,a]，
g（y）max
a2
3a
2
8
a
2，
所以
g（y）min
22
3
21
2
1
.
1
4
综上f（x）在x[
1,1]上的最小值为
.
12
4
6的概率为21
7
6.
提示：
同时投掷两颗骰子点数和大于
，从而先投掷人的获胜概率
17
36
12
为
7
（5）2
7
（5）4
7
7
1
12
.
12
12
12
12
12
12
1
25
17
144
7.
10
提示：
解法一：
如图，以AB所在直线为x轴，线段AB中点O为原点，OC所在
4
直线为y轴，建立空间直角坐标系
.设正三棱柱的棱长为
2，则
B（1,0,0）,B1（1,0,2）,A1（
1,0,2）,P（0,3,1），从而，
BA1
（2,0,2）,BP（
1,3,1）,B1A1
（
2,0,0）,B1P
（
1,
3,
1）.
设分别与平面BA1P、平面B1A1P垂直的向量
z
A1
是m
（x1,y1,z1）、n
（x2,y2,z2），则
C1
mBA1
2x1
2z1
0,
B1
mBP
x1
3y1
z1
0,
P
A
nB1A1
2x2
0,
O
nB1P
x2
3y2
z2
0,
C
y
B
x
由此可设m（1,0,1）,n（0,1,3），所以mnmncos，即
3
22cos
cos
6
.
4
所以sin
10
.
4
A1
解法二：
如图，PCPC1,PA1
PB.
设A1B
与
AB1
交于点
O,
则
OA1OB,OA
OB1,A1B
AB1.
B1
O
A
因为PA
PB1,所以PO
AB1,从而AB1
平
PA1B.
过O在平面PA1B上作OE
A1P,垂足为E.
B
连结B1E,则
B1EO为二面角BA1P
B1的平面角.
设AA1
PBPA1
5,A1OB1O
2,PO
3.
在直角PA1O中，A1O
PO
A1POE,即
2
3
5OE,
OE
又B1O
2,B1E
B1O2
OE2
2
645.
5
5
sin
sin
B1EO
B1O
2
10
.
B1E
45
4
5
8.336675
提示：
首先易知x
y
z
2010的正整数解的个数为
C20092
把xy
z2010满足x
y
z的正整数解分为三类：
（1）x,y,z均相等的正整数解的个数显然为
1；
（2）x,y,z中有且仅有
2个相等的正整数解的个数，易知为
1003；
（3）设x,y,z两两均不相等的正整数解为
k.
易知
C1
E
P
面
C
2,则易求得
6
.
5
20091004.
1
3
1003
6k
2009
1004，
所以
6k
2009
1004
3
1003
1
2006
1005
2009
3
2
1
2006
1005
2004，
即
k1003335334335671.
从而满足xyz的正整数解的个数为
11003335671336675.
f（0）
c,
9.解法一：
f（x）3ax2
2bxc,由f
（1）
3a
b
c,得
2
4
f
（1）
3a
2b
c
3a
2f
（0）
2f
（1）
4f
（1）.
2
所以
3a
2f
（0）
2f
（1）
4f
（1）
2
2f
（0）
2f
（1）
4
f
（1）
8
，
2
所以a
8
.
又易知当f（x）
8x3
4x2
x
m（m为常数）满足题设条件，所以
a最大值
为8
3
3
.
3
解法二：
f
（x）
3ax2
2bx
c.
设g（x）
f
（x）
1，则当
0
x
1时，0
g（x）2.
设z2x
1，则x
z1,1
z
1.
2
g（z
1）
3az2
3a
2bz
3a
h（z）
b
c
1.
2
4
2
4
容易知道当
1
z
1时，0
h（z）
2,0
h（
z）
2
.
从而当1
z1时，
0
h（z）
h（
z）
2
，即
2
3a
3a
0
z2
b
c
1
2，
从而3a
10,3az2
4
4
8.
bc
2，由0
z2
1知a
4
8
4
3
8.
又易知当
f
（）
x
3
4
x
2
x
m（m为常数）满足题设条件，所以
a最大值为
x
3
3
10.解法一：
设线段
AB的中点为M（x0,y0），则
x0
x1
x2
2,y0
y1
y2，
2
2
kAB
y2
y1
y2
y1
6
3
x2
x1
y22
y12
y2
y1
.
y0
6
6
线段AB的垂直平分线的方程是
yy0
y0（x2）.
（1）
3
易知x5,y
0是
（1）的一个解，所以线段
AB的垂直平分线与
x轴的交点C为定点，且点
C坐标为（5,0）.
由
（1）知直线AB的方程为y
y0
3（x
2），即
y0
x
y0（yy0）2.
（2）
3
（2）代入y2
6x得y2
2y0（y
y0）
12，即
y2
2y0y2y02
120.
（3）
依题意，y1,y2是方程（3）的两个实根，且
y1
y2，所以
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