最优化问题的数学模型.docx

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最优化问题的数学模型

第一章最优化问题的数学模型

数学模型是对实际问题的数学描述和概括，是进行最优化设计的基础。

根据设计问题的具体要求和条件建立完备的数学模型是最优化设计成败的关键。

这是因为最优化问题的计算求解完全是针对数学模型进行的。

也就是说，最优化计算所得最优解实际上只是数学模型的解，至于是否是实际问题的解，则完全取决于数学模型与实际问题符合的程度。

工程设计问题通常是相当复杂的，欲建立便于求解的数学模型，必须对实际问题加以适当的抽象和简化。

不同的简化方法得到不同的数学模型和计算结果，而且一个完善的数学模型，往往需要在计算求解过程中进行反复地修改和补充才能最后得到。

由此可见，建立数学模型是一项重要而复杂的工作：

一方面希望建立—个尽可能完善的数学模型，以求精确地表达实际问题，得到满意的设计结果；另一方面又要力求建立的数学模型尽可能简单，以方便计算求解。

要想正确地协调这两方面的要求，就必须对实际问题及其相关设计理论和设计知识有深人的理解，并且善于将一个复杂的设计问题分解为多个子问题，抓住主要矛盾逐个加以解决。

本章通过几个简单的最优化设计简例，说明数学模型的一般形式、结构及其有关的基本概念。

1．1设计简例

下面是3个最优化设计简例，可以看作几个复杂工程设计问题的子问题，虽然比较简单，但却具有一定的代表性。

例1—1用一块边长3m的正方形薄板，在四角各裁去一个大小相同的方块，做成一

第3页个无盖的箱子，试确定如何裁剪可以使做成的箱子具有最大的容积。

解：

设裁去的4个小方块的边长为x，则做成的箱子的容积为

f（x）=x（3—2x）A2

于是，上述问题可描述为

求变量x

使函数f（x）=x（3—2x）A2极大化

这样就把该设计问题转化成为一个求函数f（x）最大值的数学问

题。

其中，I是待定的求解参数，称为设计变量；函数f（x）代表设计目标，称为目标函数。

由于目标函数是设计变量的三次函数，并且不存在任何限制条件，故称此类问题为非线性无约束最优化问题。

根据一元函数的极值条件，令f‘（x）=0,解得x=0.5,f（x）=2.0,记作x*=0.5,f（x）=2.0,称为原设计问题的最优解。

例1—2某工厂生产甲、乙两种产品，生产每种产品所需的材料、工时、用电量和可以获得的利润，以及每天能够提供的材料、工时、用电量见表1—1,试确定该厂两种产品每天的生产计划，以使得每天获得的利润最大。

*M生产条件

产品

1材料/条

工时/h

用H诡宦厲训-h

利?

H/元

甲

4

SQ

乙

10

5

120

供应輩

1360

300

200

解：

这是一个简单的生产计划问题，可归结为在满足各项生产

条件的基础上，合理安排两种产品每天的生产量，以使利润最大化的最优化设计问题。

设每天生产甲产品x1件，乙产品x2件，每天获得的利润用函

数f（x1，x2）表示，即

7（xl）=60工】+120^2

每大实际消耗的材料、工时和电力分别用两数口（冲皿〉皿5""和的54）我

示+即

gi（QtXt）=9xi十\xt

（却.科）=3工】4*10ja的（阳=4工】+5xj

干毘•该冬产ii•划冋题可归结为以下数学问题求变钛Xi

便阿数/X町心J=乃4120*极大化

并满足条件

gi（x>+4工工怎360

冷（yi）"=^Xj4-10.r?

M300

第二章最优化设计的数学基础2.1向量与矩阵

线性代敬功小个有厲的数」」*…心•所细成的敢组称为N嫌向量.打推向量写成-列时称为列向凰•记作*；写成一行时称为行向如

MX即伞右斥的敦衣（扌Lj.2■…*咐；J—I*2■…5）掛成的択行n別的敕袒杯为积行用列矩阵町衷航为

itill心■■■小"

心1g"■04

向扯和向tt.itiM和辿阵之冋町以进汀并种运薛•除简中的加减”;和数乗运昇外.还町进行一般的乘法运算「设

第23页

丁l*+工*#+工*旳（数）

2.2方向导数与梯度

第三章一维搜索（线性搜索）

第1章知，下降迭代算法中在搜索方向S,上寻求最优步长ak

时通常采用一维搜索，亦称线性搜索。

一维搜索是构成非线性最优化算法的基本算法，因为多元函数

的迭代求解都可归结为在一系列逐步产生的下降方向上的一维搜索。

对于晒数"X）来说•从点X出发+在方向&上的一维搜索可用数学式表达如下：

min/（X*H-aS*）=/（Xft

k（3-1）

Xkii=F+阳屮J

此式衣示对包含惟一变虽住的一元南数/求极小，得到最优步怏因子g和方向帶上的一维极小点X*+\

可见，一维搜索是一种一元函数极小化的数值迭代球法*可ia简记为

min/（ct）

或者更一般的形式

min/（x）

一维搜索的数值迭代算法可分两步进行。

首先确定一个包含极小点的初始区间，然后采用逐步缩小区间或反复插值逼近的方法求得满足一定精度要求的最优步长和极小点。

3.1确定初始区间

设f（x）在考察区间内为一单谷函数，即区间内只存在一个极小点。

这样在极小点的左侧，函数单调下降；在极小点的右侧，函数单调上升。

若已知该区间内的相邻3个点x1

第39页

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檄小点怙计

1若卿极小点位于点业的右恻.

2若/（^X/txxX/fxB）,则极小点位于点忌的左删*

3若八工"）〉八工小＜八工门，则扱小点位于r和心之间，［匕•工二就是•个包會极

小点的区间。

可见，在某一方向上按一定方式逐次产生一系列探测出点，并比较这些探测点上函数值的大小，就可以找出函数值呈“大一小一大”变化的3个相邻点。

其中两边的两个点所确定的闭区间内必定包含着极小点，这样的闭区间称为初始区间，记作［a，b］。

这种寻找初

始区间的方法可归结为以下计算步骤:

1给定初始点忌•初始步乩令工】=工（?

，记=/<口儿

2产生新的探测点片二血十乩记斥=八去儿

3比较隨数值,和A的大小，跚定向曲或向后探测的第略.

若卅At■则加大步长，令—转④向前探测*若调转方向•令人=-X并将心和x^ft科人的数值分别对调.然后转④向后探测.如图3-2所乐*

S>2进退探謝

4产生新的探测点小■益+氣令笃士八耳X

5比较爾数值介和血的大小.

若存S则初始区间已经得到'令歼咬、f严卉■当a>o时•令5上]=Nm],

第四章无约束最优化方法

求解无约束最优化问题

minf（X）（4—1）

的数值迭代解法，称为无约束最优化方法。

无约束最优化方法是构成约束最优化方法的基础算法。

如前所述，求解无约束最优化问题的下降迭代解法具有统一的迭代格式，其基本的问题是选择搜索方向和在这些方向上进行一维搜索。

由于构成搜索方向的方式可以不同，从而形成了各种不同的无约束最优化算法。

根据搜索方向的不同构成方式，可将无约束最优化方法分为导数法（亦称解析法）和模式法（亦称直接法）两大类。

利用目标函数的一阶导数和二阶导数信息构造搜索方向的方法

称为导数法，如下面将要介绍的梯度法、牛顿法、变尺度法和共轭梯度法。

由于导数是函数变化串的具体描述，因此导数法的收敛性和收敛速度都比较好。

目前较为实用的最优化算法程序大都采用这类方法。

模式法是通过几个已知点上函数值的比较构造搜索方向的一类算法，如鲍威尔法。

由于构成搜索方向的信息仅仅是几个有限点上的函数值，因此难以得到较为理想的搜索方向。

这种方法一般迭代次数较多，收敛速度较慢，故通常使用得较少。

下面介绍几种经典的无约束最优化方法。

目前常用的最优化算法大都是以它们为基础发展起来的。

4．1梯度法（最速下降法）

梯度法是一种古老的无约束最优化方法，它的迭代方向是由迭代点的负梯度构成的。

由于负梯度方向是函数值下降得最快的方向，故此法也称为最速下降法。

第52页

S*=-

卅T=W+n*&（4-2）

成務

工屮V/

武中g称为最优步长因子；宙以下一维捜索确定.即

/（X*+1）=/（X*一业V/（X*»

=minfCX'-aV/（r）>

—minf（a）

根IK扱值的必要条件和貝合函数的求导公式，对上式求#，并令其零于垮得

/（o>—Cvycx^v/（r>）yv/（x*）=o

对于比较简单的冋题，由上或可立接求得最优步长因了s•进而求出一维极小点W还可把上式写作

[V/（X*+1）rV/CX9=0（4-3）

式（4—3）表明，相邻两迭代点的梯度是彼此正交的。

也就是说，在梯度法的迭代过程中，相邻的搜索方向相互垂直。

这意味着用梯度法迭代时，向极小点逼近的路径是一条曲折的阶梯形路线，而且越接近极

小点，阶梯越小，前进速度越慢，如图4—1所示。

梯度法的这一迭代特点是由梯度的性质决定的，因为梯度是函

数在一点邻域内局部变化率的数学描述。

沿一点的负梯度方向前进

时，在该点邻域内函数下降得最快，但是离开该邻域后，函数就不一定继续下降得快，甚至不再下降。

这就是说，以负梯度作为搜索方向，从局部看每一步都可使函数值获得较快的下降，但从全局看却走了很多弯路，故梯度法的计算速度较慢。

可以证明，梯度法只具有线性收敛速度。

从图4—1可以看出，在梯度法的迭代过程中，离极小点较远时，一次迭代得到的函数

第53页第五章线性规划方法

目标函数和约束函数都是线性函数的最优化问题称为线性规划问题，对应的算法称为线性规划算法。

由第1章例l—2的图解过程可知，线性规划问题的可行域是一种封的凸多边形或凸多面体，它的最优解一般位于可行域的某一顶点上，而可行域的顶点是有限的。

因此，线性规划问题相对于非线性最优化问题比较简单，其算法也最为成熟。

生产计划、经济管理、系统工程等领域的问题一般属于线性规划问题，因此线性规划算法在些领域得到广泛应用。

同时，线性规划算法也是构成更复杂的非线性约束最优化算法，如可行方向算法和序列二次规划算法的一种基础算法。

本章介绍线性规划算法的基本概念和常用的单纯形算法。

5．1线性规划问题的一般形式线性规划问题的数学模型同样由设计变量、目标函数和约束条件组成，除目标函数和约束函数都是设计变量的线性函数外，约束条

件一般包括一组等式约束和一组设计变量的非负性约束两部分。

其一

般形式如下:

+…+q工*

—anX|+«izxz十杯•十盘怙工*=6»

*。

劄工l+anxa十…+a2nr

=amiXi+a^jc2+…=b、

±i»xa«jth豪0

也可写成如下求和的形式:

第80页

min

/（X）二

J-l

（5-2）

<5^3）

、:

知jj=bi（t=1*2，…、血）>-i

Xj0（J=1,21***tn>