新人教版第十二章全等三角形全章教案.docx

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新人教版第十二章全等三角形全章教案

第十二章

§12．1全等三角形

教学目标

（一）知识技能:

1、了解全等形及全等三角形的概念。

2、理解掌握全等三角形的性质。

3、能够准确辩认全等三角形的对应元素。

（二）过程与方法：

1、在图形变换以用操作的过程中发展空间观念，培养几何直觉。

2、在观察发现生活中的全等形和实际操作中获得全等

三角形的体验。

（三）情感态度与价值观：

在探究和运用全等三角形性质的过程中感受到数学活动的乐趣。

教学重点:

全等三角形的性质．

教学难点：

找全等三角形的对应边、对应角．

预习导航:

什么是全等三角形？

如何找全等三角形的对应边和对应角？

全等三角形有哪些性质？

教学过程

（一）提出问题，创设情境

出示投影片

：

1.问题：

你能

发现这两个图形有什么美妙

的关系吗？

这两个图形是完全重合的．

2.那同学们能举出现实生活中能够完全重合的图形的例子吗003F

生：

同一张底片洗出的同大小照片是能够完全重合的。

形状与大小都完全相同的两个图形就是全等形．

3．学生自己动手（同桌两名同学配合）

取一张纸，将自己事先准备好的三角板按在纸上，画下图形，照图形裁下来，纸样与三角板形状、大小完全一样．

4．获取概念

让学生用自己的语言叙述：

全等形、全等三角形、对应顶点、对应角、

对应边，以及有关的数学符号．

记作：

△ABC≌△A’B’C’符号“≌”读作“全等于”

（注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上）

（二）．新知探究

利用投影片演示

1.活动：

将△ABC沿直线BC平移得△DEF；将△ABC沿BC翻折180得到△DBC；将△ABC旋转180°得△AED．

2.议一议：

各图中的两个三角形全等吗？

启示：

一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略．

3.观察与思考：

寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？

对应角呢？

（引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系）

得到全等三角形的性质：

全等三角形的对应边相等．

全等三角形的对应角相等．

（三）例题讲解

[例1]如图，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，说出这两个三角形中相等的边和角．

1.分析：

△OCA≌△OBD，说明这两个三角形可以重合，思考通过怎样变换可以使两三角形重合？

将△OCA翻折可以使△OCA与△OBD重合．因为C和B、A和D是对应顶点，所以C和B重合，A和D重合．

∠C=∠B；∠A=∠D；∠AOC=∠DOB．AC=DB；OA=OD；OC=OB．

2.总结：

两个全等的三角形经过一定的转换可以重合．一般是平移、翻转、旋转的方法．

[例2]如图，已知△ABE≌△ACD，∠ADE=∠AED，∠B=∠C，指出其他的对应边和对应角．

1.分析：

对应边和对应角只能从两个三角形中找，所以需将△ABE和△ACD从复杂的图形中分离出来．

2小结：

找对应边和对应角的常用方法有：

（1）有公共边的，公共边是对应边.

（2）有公共角的，公共角是对应角.

（3）有对顶角的，对顶角是对应角一对最长的边是对应边，

一对最短的边是对应边.

（4）一对最大的角是对应角，一对最小的角是对应角

（5）全等三角形对应角所对的边是对应边；

两个对应角所夹的边也是对应边．

（6）全等三角形对应边所对的角是对应角；

两条对应边所夹的角是对应角

（四）课堂练习

1、填空

点O是平行四边形ABCD的对角线的交点,△AOB绕O旋转180°,可以与△______重合，这说明△AOB≌△______．这两个三角形的对应边是AO与_____，OB与_____，BA与______；对应角是∠AOB与________，∠OBA与________，∠BAO与________．

2、判断题

1）全等三角形的对应边相等，对应角相等。

（　）

2）全等三角形的周长相等，面积也相等。

（　）

3）面积相等的三角形是全等三角形。

（　）

4）周长相等的三角形是全等三角形。

（　）

（五）．课时小结

通过本节课学习，我们了解了全等的概念，发现了全等三角形的性质，

并且利用性质可以找到两个全等三角形的对应元素．这也是这节课

大家要重点掌握的．

找对应元素的常用方法有以下几种：

（一）从运动角度看

1．翻转法：

找到中心线，沿中心线翻折后能相互重合，从而发现对应元素．

2．旋转法：

三角形绕某一点旋转一定角度能与另一三角形重合，从而发现对应元素．

3．平移法：

沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素．

（二）根据位置元素来推理

1．全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边是对应边．

2．全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角．

3.有公共边的，公共边是对应边.

4.有公共角的，公共角是对应角.

5.有对顶角的，对顶角是对应角一对最长的边是对应边，

一对最短的边是对应边.

一对最大的角是对应角，一对最小的角是对应角

（六）作业：

习题12.1第2，第4题

（七）教学反思：

§12．2三角形全等的判定

§12．2．1三角形全等的判定

（一）

教学目标

（一）知识与技能

1、三角形全等的“边边边”的条件．

2、了解三角形的稳定性．

3、作一个角等于已知角。

（二）过程与方法：

经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．

（三）情感态度价值观：

体会探索全等的条件，通过合作交流，

形成良好的思维

教学重点:

三角形全等的条件．

教学难点:

寻求三角形全等的条件．

预习导航：

1、已知三角形三边如何作三角形？

2、如何判定三角形全等？

3、如何作一个角等于已知角？

教学过程

（一）．创设情境，引入新课

出示投影片，已知△ABC≌△A′B′C′，找出其中相等的边与角．

展示课作前准备的三角形纸片，提出问题：

你能画一个三角形与它全等吗？

怎样画？

（可以先量出三角形纸片的各边长和各个角的度数，再作出一个三角形使它的边、角分别和已知的三角形纸片的对应边、对应角相等．这样作出的三角形一定与已知的三角形纸片全等）．

这是利用了全等三角形的定义来作图．那么是否一定需要六个条件呢？

条件能否尽可能少呢？

现在我们就来探究这个问题．

（二）．导入新课

出示投影片

活动1:

探究

1．只给一个条件（一组边相等或一组角相等），画出的两个三角形一定全等吗？

2．给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等吗？

分别按下列条件做一做．

①三角形一内角为30°，一条边为3cm．

②三角形两内角分别为30°和50°．

③三角形两条边分别为4cm、6cm．

学生分组讨论、探索、归纳，最后以组为单位出示结果作补充交流．

结果展示：

1．只给定一条边时：

只给定一个角时：

2．给出的两个条件可能是：

一边一内角、两内角、两边．

可以发现按这些条件画出的三角形都不能保证一定全等．

给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情况吗？

归纳：

有四种可能．即：

三内角、三条边、两边一内角、两内角一边．

在刚才的探索过程中，我们已经发现三内角不能保证三角形全等．下面我们就来逐一探索其余的三种情况．

活动2：

已知三边作三角形

已知一个三角形的三条边长分别为6cm、8cm、10cm．你能画出这个三角形吗？

把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？

1．画图方法：

先画一线段AB，使得AB=6cm，再分别以A、B为圆心，8cm、10cm为半径画弧，两弧交点记作C，连结线段AC、BC，就可以得到三角形ABC，使得它们的边长分别为AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm．

2．以小组为单位，把剪下的三角形重叠在一起，发现都能够重合．这说明这些三角形都是全等的．

3．特殊的三角形有这样的规律，要是任意画一个三角形ABC，根据前面作法，同样可以作出一个△A′B′C′，使AB=A′B′、AC=A′C′、BC=B′C′．将△A′B′C′剪下，发现两三角形重合．这反映了一个规律：

作法：

（略）

三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”．

活动3：

定理的应用用上面的规律可以判断两个三角形全等．判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．所以“SSS”是证明三角形全等的一个依据．请看例题．

[例]如图，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连结点A与BC中点D的支架．

求证：

△ABD≌△ACD．

[师生共析]要证△ABD≌△ACD，可以看这两个三角形的三条边是否对应相等．

生活实践的有关知识：

用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，而用四根木条钉成的框架，它的形状是可以改变的．三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．所以日常生活中常利用三角形做支架．就是利用三角形的稳定性．例如屋顶的人字梁、大桥钢架、索道支架等．

有前面的结论还可以得到作一个角等于已知角的方法。

已知：

∠AOB。

求做：

∠A′B′C′，使∠A′B′C′=∠AOB

作法：

略

（三）．随堂练习

1.如图，已知AC=FE、BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，AD=FB．要用“边边边”证明△ABC≌△FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？

怎样才能得到这个条件？

2．课本P9练习．

（四）．课时小结

本节课我们探索得到了三角形全等的条件，发现了证明三角形全等的一个规律SSS．并利用它可以证明简单的三角形全等问题．

（五）．作业

1．习题12．2复习巩固1。

习题12．2综合运用9．

教学反思：

§12．2．2三角形全等的判定

（二）

教学目标

知识技能;1．三角形全等的“边角边”的条件．

2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．

过程与方法：

3．掌握三角形全等的“SＡS”条件，了解三角形的稳定性．

4．能运用“SＡS”证明简单的三角形全等问题．

情感态度与价值观：

在探究三角形全等的过程中学生通过交流合作获取快乐。

教学重点

三角形全等的条件．

教学难点

寻求三角形全等的条件．

预习导航：

三角形全等的判定方法是什么？

教学过程

一、创设情境，复习提问

1．怎样的两个三角形是全等三角形？

2．全等三角形的性质？

3．三角形全等的判定Ⅰ的内容是什么？

二、新课讲解

1．三角形全等的判定

（二）

（1）全等三角形具有“对应边相等、对应角相等”的性质．那么，怎样才能判定两个三角形全等呢？

也就是说，具备什么条件的两个三角形能全等？

是否需要已知“三条边相等和三个角对应相等”？

现在我们用图形变换的方法研究下面的问题：

如图2，AC、BD相交于O，AO、BO、CO、DO的长度如图所标，△ABO和△CDO是否能完全重合呢？

如果把△OAB绕着O点顺时针方向旋转，因为OA＝OC，所以可以使OA与OC重合；又因为∠AOB＝∠COD，OB＝OD，所以点B与点D重合．这样△ABO与△CDO就完全重合．

（此外，还可以图1

（1）中的△ACE绕着点A逆时针方向旋转∠CAB的度数，也将与△ABD重合．图1

（2）中的△ABC绕着点A旋转，使AB与AE重合，再把△ADE沿着AE（AB）翻折180°．两个三角形也可重合）

由此，我们得到启发：

判定两个三角形全等，不需要三条边对应相等和三个角对应相等．而且，从上面的例子可以引起我们猜想：

如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等．

2．上述猜想是否正确呢？

不妨按上述条件画图并作如下的实验：

（1）读句画图：

①画∠DAE＝45°，②在AD、AE上分别取B、C，使AB＝3.1cm，AC＝2.8cm．③连结BC，得△ABC．④按上述画法再画一个△A＇B＇C＇．

（2）把△A＇B＇C＇剪下来放到△ABC上，观察△A＇B＇C＇与△ABC是否能够完全重合？

3．边角边公理．

有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简称“边角边”或“SAS”）

4.猜一猜：

是不是两条边和一个角对应相等，这样的两个三角形一定全等吗？

你能举例说明吗？

如图△ABC与△ABD中，AB=AB，AC=BD，∠B=∠B

他们全等吗？

三、例题与练习

例1已知：

AD∥BC，AD＝CB（图3）．

求证：

△ADC≌△CBA．

问题：

如果把图3中的△ADC沿着CA方向平移到△ADF的位置（如图5），那么要证明△ADF≌△CEB，除了AD∥BC、AD＝CB的条件外，还需要一个什么条件（AF＝CE或AE＝CF）？

怎样证明呢？

1．已知：

如图，AB＝AC，F、E分别是AB、AC的中点．

求证：

△ABE≌△ACF．

例2已知：

AB＝AC、AD＝AE、∠1＝∠2（图4）．求证：

△ABD≌△ACE．

2．已知：

点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．

求证：

△ABE≌△CDF．

四、小结：

1．根据边角边公理判定两个三角形全等，要找出两边及夹角对应相等的三个条件．

2．找使结论成立所需条件，要充分利用已知条件（包括给出图形中的隐含条件，如公共边、公共角等），并要善于运用学过的定义、公理、定理．

五、作业：

习题12.2第2和第10题

教学反思

§12．2．3三角形全等的判定（三）

教学目标：

知识技能1、掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件

2．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题

过程与方法：

通过作图、对比、发现，小结得出三角形的判定方法。

情感态度价值观：

在探究中感受推理的魅力，在成功中获得喜悦，在分析中提升思维能力。

教学重点

已知两角一边的三角形全等探究．

教学难点

灵活运用三角形全等条件证明．

预习导航：

1探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等。

2、会利用新的判定方法判定两个三角形全等。

教学过程

（一）．提出问题，创设情境

1．复习：

（1）三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？

三个角、三个边、两边一角、两角一边．

（2）到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？

各是什么？

三种：

①定义；②SSS；③SAS．

2．在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢？

（二）．新课讲解

问题1：

三角形中已知两角一边有几种可能？

1．两角和它们的夹边．

2．两角和其中一角的对边．

问题2：

三角形的两个内角分别是60°和80°，它们的夹边为4cm，你能画一个三角形同时满足这些条件吗？

将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等，你能得出什么规律？

将所得三角形重叠在一起，发现完全重合，这说明这些三角形全等．

提炼规律：

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．

问题3：

我们刚才做的三角形是一个特殊三角形，画任意一个三角形ABC，能不能作一个△A′B′C′，使∠A=∠A′、∠B=∠B′、AB=A′B′呢？

作法①作线段A′B′，使A′B′=AB

②分别以A′、B′为顶点，A′B′为一边在同一侧作∠DA′B′、∠EB′A，使∠D′AB=∠CAB，∠EB′A′=∠CBA．

③射线A′D与B′E交于一点，记为C′

即可得到△A′B′C′．

将△A′B′C′与△ABC重叠，发现两三角形全等．

两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．

思考：

在一个三角形中两角确定，第三个角一定确定．我们是不是可以不作图，用“ASA”推出“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢？

问题4：

如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？

能利用角边角条件证明你的结论吗？

证明：

∵∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F=180°

∠A=∠D，∠B=∠E

∴∠A+∠B=∠D+∠E

∴∠C=∠F

在△ABC和△DEF中

∴△ABC≌△DEF（ASA）．

两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）．

5.探究：

对于三个角对应相等的两个三角形全等吗？

如图，△ABC和△ADE中，如果DE∥AB，则∠A=∠A，∠B=∠ADE，

∠C=∠AED，但△ABC和△ADE不重合，所以不全等。

三个角对应相等的两个三角形不一定全等

[例]如下图，D在AB上，E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．

求证：

AD=AE．

[分析]AD和AE分别在△ADC和△AEB中，所以要证AD=AE，只需证明△ADC≌△AEB即可．

（三）．随堂练习

1.课本P41练习1、2．

2.补充练习

图中的两个三角形全等吗？

请说明理由．

答案：

图

（1）中由“ASA”可证得△ACD≌△ACB．图

（2）由“AAS”可证得△ACE≌△BDC．

（四）．课时小结

至此，我们有五种判定三角形全等的方法：

1．全等三角形的定义

2．判定定理：

边边边（SSS）边角边（SAS）角边角（ASA）角角边（AAS）

推证两三角形全等时，要善于观察，寻求对应相等的条件，从而获得解题途径．

（五）．作业

1．课本习题12．2─4，5题．

教学反思：

§12．2．4三角形全等的判定---直角三角形全等的判定（四）

教学目标

知识与技能1.、掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题

过程与方法2、经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；

情感态度价值观:

3、在学习过程中，通过交流合作，使学生体会成功的喜悦。

教学重点

运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

教学难点

熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

预习导航：

直角三角形的判定方法有哪些？

直角三角形的判定方法中哪种方法是直角三角形所独有的？

它独特之处是什么？

教学过程

（一）．提出问题，复习旧知

1、判定两个三角形全等的方法：

、、、

2、如图，Rt△ABC中，直角边是、，

斜边是

3、如图，AB⊥BE于C，DE⊥BE于E，

（1）若∠A=∠D，AB=DE，

则△ABC与△DEF（填“全等”或“不全等”）

根据（用简写法）

（2）若∠A=∠D，BC=EF，

则△ABC与△DEF（填“全等”或“不全等”）

根据（用简写法）

（3）若AB=DE，BC=EF，

则△ABC与△DEF（填“全等”或“不全等”）

根据（用简写法）

（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF

则△ABC与△DEF（填“全等”或“不全等”）

根据（用简写法）

（二）．情境导入：

舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.

（1）你能帮他想个办法吗？

方法一：

测量斜边和一个对应的锐角.（AAS）

方法二：

测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角.（ASA）或（AAS）

⑵如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？

工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”.你相信他的结论吗？

下面我们来验证一下吧。

（三）.新知探究：

探索练习：

（动手操作）：

已知线段a，c（a

利用尺规作一个Rt△ABC，使∠C=∠

，

AB=c，CB=a

1、按步骤作图：

ac

1作∠MCN=∠

=90°，

2在射线CM上截取线段CB=a，

③以B为圆心，C为半径画弧，交射线CN于点A，

④连结AB

2、与同桌重叠比较，是否重合？

3、从中你发现了什么？

斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形全等．（ＨＬ）

4.直角三角形的判定方法有哪些？

三角形判定全等的方法:

SAS、ASA、AAS、SSS，

还有直角三角形特殊的判定方法——“HL”

（四）例题讲解：

如图，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，

AB=DC，BE=CF，你认为AB平行于CD吗？

说说你的理由

答：

理由

（五）巩固练习：

1．如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，

则△ADB与△ADC（填“全等”或“不全等”）

根据（用简写法）

2．如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，

（1）若AC//DB，且AC=DB，则△ACE≌△BDF，

根据

（2）若AC//DB，且AE=BF，则△ACE≌△BDF，

根据

（3）若AE=BF，且CE=DF，则△ACE≌△BDF，

根据

（4）若AC=BD，AE=BF，CE=DF。

则△ACE≌△BDF，

根据

（5）若AC=BD，CE=DF（或AE=BF），则△ACE≌△BDF，

根据

3、判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（）

（A）两条直角边对应相等（B）斜边和一锐角对应相等

（C）斜边和一条直角边对应相等（D）两个锐角对应相等

4、如图，广场上有两根旗杆，已知太阳光线AB与DE是平行的，经过测量这两根旗杆在太阳光照射下的影子是一样长的，那么这两根旗杆高度相等吗？

说说你的理由。

（六）提高练习：

判断题：

（1）一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等。

（）

（2）一个锐角和锐角相邻的一直角边对应相等的两个直角三角形全等（）

（3）一个锐角与一斜边对应相等的两个直角三角形全等（）

（4）两直角边对应相等的两个直角三角形全等（）

（5）两边对应相等的两个直角三角形全等（）

（6）两锐角对应相等的两个直角三角形全等（）

（7）一个锐角与一边对应相等的两个直角三角形全等（）

（8）一直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等（）

（七）课时小结

至此，我们有六种判定三角形全等的方法：

1．全等三角形的定义

2．边边边（SSS）

3．边角边（SAS）

4．角边角（ASA）

5．角角边（AAS）

６．ＨＬ（仅用在直角三角形中）

（八）作业

1．课本习题12．2─6，7，8题．

教学反思

全等三角形的判定综合练习课

一、基本概念回顾：

1、判定一般两个三角形全等的方法：

SSS、SAS、ASA、AAS

2、判定直角三角形全等的方法：

HL　　　　　　　　　　　　

二、知识应用：

1、已知：

如图，点D、E在BC上，且BD=CE，AD=AE，

求证：

AB=AC．

2、已知：

如图，A、C、F、D在同一直线上，AF＝DC，AB＝DE，BC＝EF，

求证：

△ABC≌△DEF．

3、已知：

BE⊥CD，BE＝DE，BC＝DA，

求证：

①△BEC≌△DAE；

②DF⊥BC．

4、如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那