小学数学典型应用题类型解题思路.docx

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小学数学典型应用题类型解题思路

小学数学应用题复习

小学数学应用题是教学的重点，又是教学的难点。

每次毕业考试所占比例较大,因此在总复习中它至关重要。

应用题的系统复习有助于学生理解概念，掌握数量关系，培养和提高分析问题、解决问题的能力。

现对应用题的复习教学谈谈我自己的看法：

小学的应用题主要分为以下两种：

1、简单应用题:

（1）简单应用题的含义：

只含有一种基本数量关系，或用一步运算解答的应用题. 

2、复合应用题 ：

（1）复合应用题 ：

有两个或两个以上的基本数量关系组成的，用两步或两步以上运算解答的应用题.

（2）主要类型：

（1）含有三个已知条件的两步计算的应用题。

（2）含有两个已知条件的两步计算的应用题。

（3）解答连乘连除应用题。

（4）解答三步计算的应用题。

（5）解答小数计算的应用题：

3.复合应用题中典型应用题：

题型名称

含义

数量关系

解题思路和方法

例题

归一问题

在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。

这类应用题叫做归一问题。

总量÷份数＝1份数量，1份数量×所占份数＝所求几份的数量

另一总量÷（总量÷份数）＝所求份数。

先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。

例：

买5支铅笔要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱？

解

（1）买1支铅笔多少钱？

0.6÷5＝0.12（元）

（2）买16支铅笔要多少钱？

0.12×16＝1.92（元）

列成综合算式0.6÷5×16＝0.12×16＝1.92（元）

答：

需要1.92元。

归总问题

解题时，先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。

所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。

1份数量×份数＝总量

总量÷1份数量＝份数

总量÷另一份数＝另一每份数量

先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。

例：

服装厂原来做一套衣服用布3.2米，改进裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。

原来做791套衣服的布，

现在可以做多少套？

解

（1）这批布总共有多少米？

3.2×791＝2531.2（米）

（2）现在可以做多少套？

2531.2÷2.8＝904（套）

列成综合算式3.2×791÷2.8＝904（套）

答：

现在可以做904套。

和差问题

已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。

大数＝（和＋差）÷2

小数＝（和－差）÷2

简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式

例：

甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人？

解甲班人数＝（98＋6）÷2＝52（人）

乙班人数＝（98－6）÷2＝46（人）

答：

甲班有52人，乙班有46人。

和倍问题

已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多

少，这类应用题叫做和倍问题。

总和÷（几倍＋1）＝较小的数

总和－较小的数＝较大的数

较小的数×几倍＝较大的数

简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

例：

果园里有杏树和桃树共248棵，桃树的棵数是杏树的3倍，求杏树、桃树各多少棵？

解

（1）杏树有多少棵？

248÷（3＋1）＝62（棵）

（2）桃树有多少棵？

62×3＝186（棵）

答：

杏树有62棵，桃树有186棵。

差倍问题

已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多

少，这类应用题叫做差倍问题。

两个数的差÷（几倍－1）＝较小的数

较小的数×几倍＝较大的数

简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

例：

果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃树比杏树多124棵。

求杏树、桃树各多少棵？

解

（1）杏树有多少棵？

124÷（3－1）＝62（棵）

（2）桃树有多少棵？

62×3＝186（棵）

答：

果园里杏树是62棵，桃树是186棵。

倍比问题

有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍比

的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。

出要求的数。

总量÷一个数量＝倍数

另一个数量×倍数

＝另一总量

先求出倍数，再用倍比关系求

例：

100千克油菜籽可以榨油40千克，现在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？

解

（1）3700千克是100千克的多少倍？

3700÷100＝37（倍）

（2）可以榨油多少千克？

40×37＝1480（千克）

列成综合算式40×（3700÷100）＝1480（千克）

答：

可以榨油1480千克。

相遇问题

两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。

这类应用题叫做相遇问题。

相遇时间＝总路程÷（甲速＋乙速）

总路程＝（甲速＋乙速）×相遇时间

简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。

例：

南京到上海的水路长392千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行28

千米，从上海开出的船每小时行21千米，经过几小时两船相遇？

解：

392÷（28＋21）＝8（小时）

答：

经过8小时两船相遇。

追及问题

两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不

是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。

这类应用题就叫做追及问题。

追及时间＝追及路程÷（快速－慢速）

追及路程＝（快速－慢速）×追及时间

简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

例：

好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马？

解

（1）劣马先走12天能走多少千米？

75×12＝900（千米）

（2）好马几天追上劣马？

900÷（120－75）＝20（天）

列成综合算式75×12÷（120－75）＝900÷45＝20（天）

答：

好马20天能追上劣马。

植树问题

按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，要求第三个

量，这类应用题叫做植树问题。

线形植树棵数＝距离÷棵距＋1

环形植树棵数＝距离÷棵距

方形植树棵数＝距离÷棵距－4

三角形植树棵数＝距离÷棵距－3

面积植树棵数＝面积÷（棵距×行距）

先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。

例：

一条河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，头尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？

解136÷2＋1＝68＋1＝69（棵）

答：

一共要栽69棵垂柳。

年龄问题

这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之

间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。

年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一

致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。

可以利用“差倍问题”的解题思路和方法

例1爸爸今年35岁，亮亮今年5岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍？

明年呢？

解35÷5＝7（倍）

（35+1）÷（5+1）＝6（倍）

答：

今年爸爸的年龄是亮亮的7倍，

明年爸爸的年龄是亮亮的6倍。

列车问题

这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。

火车过桥：

过桥时间＝（车长＋桥长）÷车速

火车追及：

追及时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）

÷（甲车速－乙车速）

火车相遇：

相遇时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）

÷（甲车速＋乙车速）

大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

例：

一座大桥长2400米，一列火车以每分钟900米的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需要3

分钟。

这列火车长多少米？

解火车3分钟所行的路程，就是桥长与火车车身长度的和。

（1）火车3分钟行多少米？

900×3＝2700（米）

（2）这列火车长多少米？

2700－2400＝300（米）

列成综合算式900×3－2400＝300（米）

答：

这列火车长300米。

时钟问题

就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为

60度等。

时钟问题可与追及问题相类比。

分针的速度是时针的12倍，

二者的速度差为11/12。

通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。

变通为“追及问题”后可以直接利用公式。

例：

从时针指向4点开始，再经过多少分钟时针正好与分针重合？

解钟面的一周分为60格，分针每分钟走一格，每小时走60格；时针每小时走5格，每分钟走5/60＝1/12

格。

每分钟分针比时针多走（1－1/12）＝11/12格。

4点整，时针在前，分针在后，两针相距20格。

所以分针追上时针的时间为20÷（1－1/12）≈22（分）

答：

再经过22分钟时针正好与分针重合。

工程问题

工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。

这类问题在已知条件中，

常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。

关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。

工作量＝工作效率×工作时间

工作时间＝工作量÷工作效率

工作时间＝总工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）

变通后可以利用上述数量关系的公式。

例1一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，现在两队合作，需要几天完成？

由于没有给出这项工程的具体数量，因此，把此项工程看作单位1。

甲队独做需10天完成，那么每天完成这项工程的1/10；乙队单独做需15天完成，每天完成这项工程的1/15；两队合做，每天可以完成这项工程的（1/10＋1/15）。

即：

1÷（1/10＋1/15）＝1÷1/6＝6（天）答：

两队合做需要6天完成。

正反比例问题

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比

的比值一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。

正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。

反比例应用题是反比例的意义和解比例等

知识的综合运用。

判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。

许多典型应用题都可以转化为正反比

例问题去解决，而且比较简捷。

解决这类问题的重要方法是：

把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质去

解应用题。

正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。

例：

修一条公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的变成未修的1/2，求这条公路总长是多少

米？

解由条件知，公路总长不变。

原已修长度∶总长度＝1∶（1＋3）＝1∶4＝3∶12

现已修长度∶总长度＝1∶（1＋2）＝1∶3＝4∶12

比较以上两式可知，把总长度当作12份，则300米相当于（4－3）份，从而知公路总长为300÷（4－3）

×12＝3600（米）

答：

这条公路总长3600米。

按比例分配问题

所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比分成若干份。

这类题的已知条件一般有两种形式：

一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。

之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。

从条件看，已知总量和几个部分量的比；从问题看，求几个部分量各是多少。

总份数＝

比的前后项之和

先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，

再求各部分占总量的几分之几（以总份数作分母，比的前后项分别作分子），再按照求一个数的几分

之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。

例：

学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45

人，三个班各植树多少棵？

解总份数为47＋48＋45＝140

一班植树560×47/140＝188（棵）

二班植树560×48/140＝192（棵）

三班植树560×45/140＝180（棵）

答：

一、二、三班分别植树188棵、192棵、180棵。

百分数问题

百分数表示一个数是另一个数的百分之几的数。

百分数是一种特殊的分数。

分数常常可以通分、约分，而百分数则无需；分数既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分数只能表示分子、分母必须是自然数，而百分数的分子可以是小数；百分数有一个专门的记号“%”。

在实际中和常用到“百分点”这个概念，一个百分点就是1%，两个百分点就是2%。

掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系：

百分数＝比较量÷标准量

标准量＝比较量÷百分数

一般有三种基本类型：

（1）求一个数是另一个数的百分之几；

（2）已知一个数，求它的百分之几是多少；

（3）已知一个数的百分之几是多少，求这个数。

“率”；分数的

增长率＝增长数÷原来基数×100%

出勤率＝实际出勤人数÷应出勤人数×100%

出勤率＝实际出勤天数÷应出勤天数×100%

缺席率＝缺席人数÷实有总人数×100%

发芽率＝发芽种子数÷试验种子总数×100%

成活率＝成活棵数÷种植总棵数×100%

出粉率＝面粉重量÷小麦重量×100%

出油率＝油的重量÷油料重量×100%

废品率＝废品数量÷全部产品数量×100%

命中率＝命中次数÷总次数×100%

烘干率＝烘干后重量÷烘前重量×100%

及格率＝及格人数÷参加考试人数×100%

鸡兔同笼问题

这是古典的算术问题。

已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。

已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。

兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）假设全都是兔，则有鸡数＝（4×鸡兔总数－实际脚数）÷（4－2）第二鸡兔同笼问题：

假设全都是鸡，则有兔数＝（2×鸡兔总数－鸡与兔脚之差）÷（4＋2）假设全都是兔，则有鸡数＝（4×鸡兔总数＋鸡与兔脚之差）÷（4＋2）

第一鸡兔同笼问题：

假设全都是鸡，则有

解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。

如果先

假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。

这类问题也叫置换问题。

通过先假

设，再置换，使问题得到解决

例：

长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。

数数头有三十五，脚数共有九十四。

请你仔细算一算，多少兔

子多少鸡？

解假设35只全为兔，则

鸡数＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（只）

兔数＝35－23＝12（只）

也可以先假设35只全为鸡，则

兔数＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）

鸡数＝35－12＝23（只）

答：

有鸡23只，有兔12只。

方阵问题

将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类

问题就叫做方阵问题。

：

（1）方阵每边人数与四周人数的关系：

四周人数＝（每边人数－1）×4

每边人数＝四周人数÷4＋1

（2）方阵总人数的求法：

实心方阵：

总人数＝每边人数×每边人数

空心方阵：

总人数＝（外边人数）－（内边人数）

内边人数＝外边人数－层数×2

（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则总人数＝（每边人数－层数）×层数×4

方阵问题有实心与空心两种。

实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变

化较多，其解答方法应根据具体情况确定。

例：

在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行22人，参加体少人？

解22×22＝484（人）

答：

参加体操表演的同学一共有484人。

操表演的同学一共有多

商品利润问题

这是一种在生产经营中经常遇到的问题，包括成本、利润、利润率和亏损、亏损率等方面的

问题。

利润＝售价－进货价

利润率＝（售价－进货价）÷进货价×100%

售价＝进货价×（1＋利润率亏损＝进货价－售价

亏损率＝（进货价－售价）÷进货价×100%

简单的题目可以直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

例：

某商品的平均价格在一月份上调了10%，到二月份又下调了10%，这种商品从原价到二月份的价格

变动情况如何？

解设这种商品的原价为1，则一月份售价为（1＋10%），二月份的售价为（1＋10%）×（1－10%），所以二月份售价比原价下降了

1－（1＋10%）×（1－10%）＝1%

答：

二月份比原价下降了1%。

存款利率问题

把钱存入银行是有一定利息的，利息的多少，与本金、利率、存期这三个因素有关。

利率一

般有年利率和月利率两种。

年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分数；月利率是指存期一月

所生利息占本金的百分数。

年（月）利率＝利息÷本金÷存款年（月）数×100%

利息＝本金×存款年（月）数×年（月）利率

本利和＝本金＋利息

＝本金×［1＋年（月）利率×存款年（月）数］

简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。

例：

李大强存入银行1200元，月利率0.8%，到期后连本带利共取出1488元，求存款期多长。

解因为存款期内的总利息是（1488－1200）元，

所以总利率为（1488－1200）÷1200又因为已知月利率，

所以存款月数为（1488－1200）÷1200÷0.8%＝30（月）

答：

李大强的存款期是30月即两年半。

溶液浓度问题

在生产和生活中，我们经常会遇到溶液浓度问题。

这类问题研究的主要是溶剂（水或其它液体）、溶质、溶液、浓度这几个量的关系。

例如，水是一种溶剂，被溶解的东西叫溶质，溶解后的混

合物叫溶液。

溶质的量在溶液的量中所占的百分

溶液＝溶剂＋溶质

浓度＝溶质÷溶液×100%

简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。

数叫浓度，也叫百分比浓度。

例：

爷爷有16%的糖水50克，

（1）要把它稀释成10%的糖水，需加水多少克？

（2）若要把它变成30%的

糖水，需加糖多少克？

解

（1）需要加水多少克？

50×16%÷10%－50＝30（克）

（2）需要加糖多少克？

50×（1－16%）÷（1－30%）－50

＝10（克）

答：

（1）需要加水30克，

（2）需要加糖10克。

抽屉原理问题

把3只苹果放进两个抽屉中，会出现哪些结果呢？

要么把2只苹果放进一个抽屉，剩下的一个

放进另一个抽屉；要么把3只苹果都放进同一个抽屉中。

这两种情况可用一句话表示：

一定有一个抽屉

中放了2只或2只以上的苹果。

这就是数学中的抽屉原则问题。

基本的抽屉原则是：

如果把n＋1个物体（也叫元素）放到n个抽屉中，那么至少有一个抽

屉中放着2个或更多的物体（元素）。

抽屉原则可以推广为：

如果有m个抽屉，有k×m＋r（0＜r≤m）个元素那么至少有一个抽屉中要放（k＋1）个或更多的元素。

通俗地说，如果元素的个数是抽屉个数的k倍多一些，那么至少有一个抽屉要放（k＋1）个或更多的元

素。

（1）改造抽屉，指出元素；

（2）把元素放入（或取出）抽屉；

（3）说明理由，得出结论。

例1育才小学有367个1999年出生的学生，那么其中至少有几个学生的生日是同

一天的？

解由于1999年是润年，全年共有366天，可以看作366个“抽屉”，把367个1999年出生的学生看作367个“元

素”。

367个“元素”放进366个“抽屉”中，至少有一个“抽屉”中放有2个或更多的“元素”。

这说明至少有2个学生的生日是同一天的。

公约公倍问题

需要用公约数、公倍数来解答的应用题叫做公约数、公倍数问题。

绝大多数要用最大公约数、最小公倍数来解答。

先确定题目中要用最大公约数或者最小公倍数，再求出答案。

最大公约数和最小

公倍数的求法，最常用的是“短除法”。

例1一张硬纸板长60厘米，宽56厘米，现在需要把它剪成若干个大小相同的最大的正方形，不许有剩

余。

问正方形的边长是多少？

解硬纸板的长和宽的最大公约数就是所求的边长。

60和56的最大公约数是4。

答：

正方形的边长是4厘米。

最值问题

科学的发展观认为，国民经济的发展既要讲求效率，又要节约能

源，要少花钱多办事，办好事，以最小的代价取得最大的效益。

这类应用题叫做最值问题。

一般是求最大值或最小值。

。

按照题目的要求，求出最大值或最小值

例1在火炉上烤饼，饼的两面都要烤，每烤一面需要3分钟，炉上只能同时放两块饼，现在需要烤三块

饼，最少需要多少分钟？

解先将两块饼同时放上烤，3分钟后都熟了一面，这时将第一块饼取出，放入第三块饼，翻过第二块

饼。

再过3分钟取出熟了的第二块饼，翻过第三块饼，又放入第一块饼烤另一面，再烤3分钟即可。

这

样做，用的时间最少，为9分钟。

答：

最少需要9分钟。

列方程问题

把应用题中的未知数用字母Χ代替，根据等量关系列出含有未知数的等式——方程，通过解

这个方程而得到应用题的答案，这个过程，就叫做列方程解应用题。

同学们在列方程解应用题时，一般只写出四项内容，即设未知数、列方程、解方程、答语。

设未知数

时要在Χ后面写上单位名称，在方程中已知数和未知数都不带单位名称，求出的Χ值也不带单位名

称，在答语中要写出单位名称。

检验的过程不必写出，但必须检验。

方程的等号两边数量相等。

可以概括为“审、设、列、解、验、答”六字法。

（1）审：

认真审题，弄清应用题中的已知量和未知量各是什么，问题中的等量关系是什么。

（2）设：

把应用题中的未知数设为Χ。

（3）列；根据所设的未知数和题目中的已知条件，按照等量关系列出方程。

（4）解；求出所列方程的解。

（5）验：

检验方程。

例1甲乙两班共90人，甲班比乙班人数的2倍少30人，求两班各有多少人？

解第一种方法：

设乙班有Χ人，则甲班有（90－Χ）人。

找等量关系：

甲班人数＝乙班人数×2－30人。

列方程：

90－Χ＝2Χ－30

解方程得Χ＝40从而知90－Χ＝50

第二种方法：

设乙班有Χ人，则甲班有（2Χ－30）人。

列方程（2Χ－30）＋Χ＝90

解方程得Χ＝40从而得知2Χ－30＝50

答：

甲班有50人，乙班有40人。

例2鸡兔35只，共有94只脚，问有多少兔？

多少鸡？

解：

设兔为Χ只，则鸡为（35－Χ）只，兔的脚数为4Χ个，鸡的脚数为2（35－Χ）个。

根据等量关系“兔脚数＋鸡脚数＝94”可列出方程4Χ＋2（35－Χ）＝94解方程得Χ＝12