提高例题相交线与平行线培优2.docx
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提高例题相交线与平行线培优2
七年级数学：
相交线与平行线
一、知识要点：
1•平面上两条不重合的直线，位置关系只有两种：
相交和平行。
2•两条不同的直线，若它们只有一个公共点，就说它们相交。
即，两条直线相交有且只有一
个交点。
3•垂直是相交的特殊情况。
有关两直线垂直，有两个重要的结论：
（1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
（2）直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短。
4•两条直线被第三条直线所截，构成八个角，在那些没有公共顶点的角中，⑴如果两个角
分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种关系的一对角叫做
;⑵如果两个角都在两直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种关系的一对角叫做:
⑶如果两个角都在两直线之间，但它们在第三条直线的同
一旁，具有这种关系的一对角叫做•
5.平行公理：
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线.
推论：
如果两条直线都与第三条直线平行，那么.
6•平行线的判定：
⑴两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
简单说成：
•⑵两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那
么这两条直线平行.简单说成：
•⑶两条直线被第三条直线所
截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行•简单说成：
•7.在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线
&平行线的性质：
⑴两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：
.⑵两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：
.⑶两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：
。
•
方法指导：
平行线中要理解平行公理，能熟练地找出“三线八角”图形中的同位角、内错角、同旁内角，并会运用与“三线八角”有关的平行线的判定定理和性质定理，利用平行公理及
其推论证明或求解。
、例题精讲例1.如图⑴，直线a与b平行，/1=（3x+70）°,/2=（5x+22）
求/3的度数。
解：
•••a//b,
/3=Z4（两直线平行，内错角相等）
•//1+/3=72+/4=180°（平角的定义）
•••71=72（等式性质）
则3x+70=5x+22解得x=24
即71=142
•••/3=180°-/1=38°
评注：
建立角度之间的关系，即建立方程（组）
图⑴
，是几何计算常用的方法。
例2.已知：
如图
（2）,AB//EF//CD,EG平分/BEF，/B+/B-/D=24°，求/GEF的度数。
解：
•••AB//EF//CD
•••/B=/BEF，/DEF=/D（两直线平行，内错角相等）•••/B+/BED+/D=192。
（已知）
即/B+/BEF+/DEF+/D=192°
•2（/B+/D）=192°（等量代换）
G
F
则/B+/D=96°（等式性质）
•••/B-/D=24。
（已知）
图⑵
•••/B=60°（等式性质）
即/BEF=60°（等量代换）
•/EG平分/BEF（已知）
•••/GEF=-/BEF=30°（角平分线定义）
2
例3.如图（3）,已知AB//CD，且/B=40°，/D=70解：
过E作EF//AB
•/AB//CD（已知）
•EF//CD（平行公理）
•/BEF=/B=40°/DEF=/D=70°（两直线平行,
内错角相等）
/DEB=/DEF-/BEF
/DEB=/D-/B=30°
，求/DEB的度数。
评注：
证明或解有关直线平行的问题时，如果不构成“三线八角”，则应添出辅助线。
图（3）
例4.已知锐角三角形ABC的三边长为a,b,c,而ha,hb,he分别为对应边上的高线长,
求证：
ha+hb+heVa+b+c
分析：
对应边上的高看作垂线段，而邻边看作斜线段
证明：
由垂线段最短知，haVc,hbVa,hcVb
以上三式相加得ha+hb+hcva+b+c
研究垂直关系应掌握好垂线的性质。
1.以过一点有且只有一条直线垂直于已知直线。
2.垂线段最短。
例5.如图（4）,直线AB与CD相交于O,EFAB于F,GHCD于H,
求证EF与GH必相交。
分析：
欲证EF与GH相交，直接证很困难，可考虑用反证法。
证明：
假设EF与GH不相交。
•••EF、GH是两条不同的直线
A
H
F
EG
D
C
O
B
EF//GH
EFAB
GHAB
又因GHCD故AB//CD（垂直于同一直线的两直线平行）图（4）
这与已知AB和CD相交矛盾。
所以EF与GH不平行，即EF与GH必相交
评注：
本题应用结论：
（1）垂直于同一条直线的两直线平行。
（2）两条平行线中的一条直线垂直于第三条直线，那么另一条直线也平行于第三条直线；
例6.平面上n条直线两两相交且无3条或3条以上直线共点，有多少个不同交点？
解：
2条直线产生1个交点，
第3条直线与前面2条均相交，增加2个交点，这时平面上3条直线共有1+2=3个交
占；
八、、\
第4条直线与前面3条均相交，增加3个交点，这时平面上4条直线共有1+2+3=6个交点；
、1
贝Un条直线共有交点个数：
1+2+3+…+（n-1）=n（n-1）
2
评注：
此题是平面上n条直线交点个数最多的情形，需要仔细观察，由简及繁，深入思考，从中发现规律。
例7.6个不同的点，其中只有3点在同一条直线上，2点确定一条直线，问能确定多少条
直线？
解：
6条不同的直线最多确定：
5+4+3+2+仁15条直线，除去共线的3点中重合多算的2条
直线，即能确定的直线为15-2=13条。
另法：
3点所在的直线外的3点间最多能确定3条直线，这3点与直线上的3点最多有3X3=9条直线，加上3点所在的直线共有：
3+9+仁13条
一1
评注：
一般地，平面上n个点最多可确定直线的条数为：
1+2+3+…+（n-1）=n（n-1）
2
例8.10条直线两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域?
3条直线中的第3条直线与另两条直线相交，最多有两个交点，此直线被这两点分成3段，
每一段将它所在的区域一分为二，则区域增加3个，即最多分成2+2+3=7个不同区域；
同理：
4条直线最多分成2+2+3+4=11个不同区域；
•••10条直线最多分成2+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56个不同区域
11
推广：
n条直线两两相交，最多将平面分成2+2+3+4+…+n=1+n（n+1）=（n2+n+2）块不同
22
的区域
思考：
平面内n个圆两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域?
评注：
通过平移，可以把原来分散的直线集中交于同一点，从而解决问题。
例10.（a）请你在平面上画出6条直线（没有三条共点），使得它们中的每条直线都恰与另
3条直线相交，并简单说明画法。
（b）能否在平面上画出7条直线（任意3条都不共点），使得它们中的每条直线都恰
与另3条直线相交，如果能请画出一例，如果不能请简述理由。
解：
（a）在平面上任取一点A。
过A作两直线m1与n1。
在n1上取两点B,C,在m1上取两点D,G。
过B作m2//m1,过C作m3//m1,过D作n2/n1,过G作n3//n1,这时m2、m3、n2、n3交得E、F、H、丨四点，如图所示。
由于彼此平行的直线不相交，所以，图中每条直线都恰与另3条直线相交。
（b）在平面上不能画出没有3线共点的7条直线，使得其中每条直线都恰与另外3条直线相交。
理由如下：
假设平面上可以画出7条直线，其中每一条都恰与其它
个交点，又没有3条直线共点，所以每条直线上恰有与另
根据直线去计数这些交点，共有3X7=21个交点，但每个交点分属两条直线，被重复
计数一次，所以这7条直线交点总数为=10.5个，因为交点个数应为整数，矛盾。
2
所以，满足题设条件的7条直线是画不出来的。
三、巩固练习
1.平面上有5个点，其中仅有3点在同一直线上，过每2点作一条直线，一共可以作直线
（）条
A.6B.7C.8D.9
2•平面上三条直线相互间的交点个数是（）
A.3B.1或3C.1或2或3D.不一定是1,2,3
3.平面上6条直线两两相交，其中仅有3条直线过一点，则截得不重叠线段共有（）
A.36条B.33条C.24条D.21条
4.已知平面中有n个点代B,C三个点在一条直线上，A,D,F,E四个点也在一条直线上,
除些之外，再没有三点共线或四点共线，以这n个点作一条直线，那么一共可以画出38条
不同的直线，这时n等于（）
（A）9（B）10（C）11（D）12
5.若平行直线AB、CD与相交直线EF、GH相交成如图示的图形，则共得同旁内角（）
A.4对B.8对C.12对D.16对
6.如图，已知FD//BE,则/1+Z2-/3=（）
A.90°B.135°C.150°D.180°
14.已知：
如图，AB//CD，求证：
/B+/D+/F=/E+/G
答案
n+9>0n10,•••选B。
5.直线EF、GH分别“截”平行直线AB、CD，各得2对同旁内角，共4对；直线AB、CD分别“截”相交直线EF、GH，各得6对同旁内角，共12对。
因此图中共有同旁内角4+6=16对
6.
6.TFDIIBE
•••/2=/AGF
•-ZE=ZF
&解：
每两点可确定一条直线，这5点最多可组成10条直线，又每两条直线只有一个交
点，所以共有交点个数为9+8+7+6+5+4+3+2+1=45（个）
又因平面上这5个点与其余4个点均有4条连线，这四条直线共有3+2+1=6个
交点与平面上这一点重合应去掉，共应去掉
应为45-30=15个
9.可分7个部分10.解•/ABIICDIIEF
.•./APQ=/DQG=/FRG=110°
同理/PSQ=/APS
•••/PSQ=ZAPQ-/SPQ=/DQG-/SPQ
=110°-90°=20°
11.0个、1个或无数个
5X6=30个交点，所以有交点的个数
1）若线段AB的垂直平分线就是L,则公共点的个数应是无数个；
2）若ABL,但L不是AB的垂直平分线，则此时AB的垂直平分线与L是平行的关系,所以它们没有公共点，即公共点个数为0个；3）若AB与L不垂直，那么AB的垂直平分线与直线L一定相交，所以此时公共点的个数为1个
12.4条直线两两相交最多有1+2+3=6个交点
13.证明：
过E作EFIIBA
•••/2=ZA（两直线平行，内错角相等）DEIICB,
EFIIBA
•••/1=/B（两个角的两边分别平行，这两个角相等）
•••/1+/2=/B+/A（等式性质）
即/AED=/A+/B
14•证明：
分别过点E、F、G作AB的平行线EH、PF、GQ,
贝UABIIEHIIPFIIGQ（平行公理）
•/ABIIEH
•••/ABE=ZBEH（两直线平行，内错角相等）
同理：
/HEF=ZEFP
/PFG=ZFGQ
/QGD=ZGDC
/ABE+/EFP+/PFG+/GDC=ZBEH+/HEF+
/FGQ+/QGD（等式性质）
即/B+/D+/EFG=/BEF+/GFD
15
.证明：
TDE平分/CDACE平分/BCDEDC=/ADE/ECD=/BCE（角平分线定义）
•••/CDA+/BCD=/EDC+/ADE+/ECD+/BCE
=2（/EDC+/ECD）=180°
DA//CB
又•••CBAB
DAAB
16.两个圆最多有两个交点，每条直线与两个圆最多有4个交点，三条
直线最多有3个不同的交点，即最多交点个数为：
2+4X3+3=17
17.
（1）2个圆相交有交点2X1=1个，
第3个圆与前两个圆相交最多增加2X2=4个交点，这时共有交点2+2X2=6个
第4个圆与前3个圆相交最多增加2X3=6个交点，这时共有交点2+2X2+2X3=12个第5个圆与前4个圆相交最多增加2X4=8个交点
•-5个圆两两相交最多交点个数为：
2+2X2+2X3+2X4=20
（2）2个圆相交将平面分成2个区域
3个圆相看作第3个圆与前2个圆相交，最多有2X2=4个不同的交点，这4个点将第3个圆分成4段弧，每一段弧将它所在的区域一分为二，故增加2X2=4块区域，这时平面共有区域：
2+2X2=6块
4个圆相看作第4个圆与前3个圆相交，最多有2X3=6个不同的交点，这6个点将第4个圆分成6段弧，每一段弧将它所在的区域一分为二，故增加2X3=6块区域，这时平面共有区域：
2+2X2+2X3=12块
5个圆相看作第5个圆与前4个圆相交，最多有2X4=8个不同的交点，这8个点将第5个圆分成8段弧，每一段弧将它所在的区域一分为二，故增加2X4=8块区域，这时平面最多共有区域：
2+2X2+2X3+2X4=20块
18.V直线上每一点与直线外3点最多确定3X5=15条直线；直线外3点间最多能确定3条直线，
•最多能确定15+3+1=19条直线
19•将这8条直线平移到共点后，构成8对互不重叠的对顶角，这8个角的和为180°
假设这8个角没有一个小于23°，则这8个角的和至少为：
23°X8=184。
，这是不可能的.因此这8个角中至少有一个小于23°,
•在所有的交角中至少有一个角小于23°
20.平面上有10条直线，若两两相交，最多可出现45个交点，题目要求只出现31个交点，就要减少14个交点，则必须出现平行线，若某一方向上有5条直线互相平行，则可减少10个交点；若有6条直线互相平行，则可减少15个交点；故在这个方向上最多可取5条平行线，这时还有4个交点需要减去，转一个方向取3条平行线，即可减少3个交点，这时还剩
下2条直线和一个需要减去的点，只须让这2条直线在第三个方向上互相平行即可。
如图这三组平行线即为所求。
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