最新高考理科数学全国卷1试题与答案word版.docx

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最新高考理科数学全国卷1试题与答案word版

2017年高考理科数学（全国卷1）试题及答案

一、选择题：

本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A={x|x<1}，B={x|}，则（）

A．B．

C．D．

2．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆

中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内

随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）

A．B．C．D．

3．设有下面四个命题

：

若复数满足，则；：

若复数满足，则；

：

若复数满足，则；：

若复数，则.

其中的真命题为（）

A．B．C．D．

4．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（）

A．1B．2C．4D．8

5．函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是

A．B．C．D．

6．展开式中的系数为（）

A．15B．20C．30D．35

7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和

等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三

角形该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和

为（）

A．10B．12

C．14D．16

8．右面程序框图是为了求出满足3n－2n>1000的最小偶数n，那么

在和两个空白框中，可以分别填入（）

A．A>1000和n=n+1

B．A>1000和n=n+2

C．A1000和n=n+1

D．A1000和n=n+2

9．已知曲线C1：

y=cosx，C2：

y=sin（2x+），

则下面结论正确的是（）

A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，

再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2

B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2

C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2

D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2

10．已知F为抛物线C：

y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为

A．16B．14C．12D．10

11．设x、y、z为正数，且，则（）

A．2x<3y<5zB．5z<2x<3yC．3y<5z<2xD．3y<2x<5z

12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：

已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：

N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（）

A．440B．330C．220D．110

二、填空题：

本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则|a+2b|=___.

14．设x，y满足约束条件，则的最小值为____.

15．已知双曲线C：

（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°，则C的离心率为________.

16．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形

ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB

分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以

BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重

合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积

（单位：

cm3）的最大值为_______.

三、解答题：

共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：

共60分。

17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为.

（1）求sinBsinC;

（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长.

18.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且.

（1）证明：

平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC，，

求二面角A-PB-C的余弦值.

19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：

cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．

（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；

（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.95

10.12

9.96

9.96

10.01

9.92

9.98

10.04

10.26

9.91

10.13

10.02

9.22

10.04

10.05

9.95

经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸，．

用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？

剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01）．

附：

若随机变量服从正态分布，则，

，．

20.（12分）已知椭圆C：

（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），

P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.

（1）求C的方程；

（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，

证明：

l过定点.

21.（12分）已知函数f（x）＝ae2x+（a﹣2）ex﹣x.

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围.

（二）选考题：

共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4―4：

坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为.

（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；

（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求a.

23．[选修4—5：

不等式选讲]（10分）

已知函数f（x）＝－x2+ax+4，g（x）=│x+1│+│x–1│.

（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；

（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范围.

答案及解析

一、选择题：

ABBCDCBDDADA

二、填空题：

13.14.15.16.

17、【解析】

（1）S△ABC＝absinC＝，得bsinC＝

由正弦定理，得sinB·sinC＝，解得sinB·sinC＝.

（2）由题知cos（B＋C）＝cosB·cosC－sinB·sinC＝－＝－，即cosA＝，A＝.

由正弦定理，,

则有

由余弦定理，得，解得

∴△ABC的周长为

18、【解析】

（1）由∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD.∵AB//CD，∴AB⊥PD，

又AP∩PD＝P，∴AB⊥平面PAD，∴平面PAB⊥平面PAD.

（2）记AD的中点为O，连接PO，则有PO⊥AD，

∵AB⊥平面PAD，∴OP⊥AB，

又AD∩AB＝A，∴OP⊥平面ABCD.

以O为原点，分别以、、方向为x轴、y轴、

z轴建立如右图所示的空间直角坐标系.不妨假设OA＝1，

于是有A（1，0，0），B（1，，0），C（－1，，0），

D（－1，0，0），P（0，0，1）.

∴，，

设是平面PAB的一个法向量

∴，得，令x＝1，得

同理可求得是平面PBC的一个法向量.

∴

由于二面角A-PB-C是钝二面角，则二面角A-PB-C的余弦值为.

19、【解析】

（1）由题意知，X~B（16，0.0026），

∴P（X≥1）＝1－P（X＝0）＝1－0.997416＝1－0.9592＝0.0408，

X的数学期望E（X）＝16×0.0026＝0.0416.

（2）（i）由

（1）知，出现了尺寸在（μ－3σ，μ＋3σ）之外的零件的概率为0.0408，如果如此小的概率在一次试验中发生了，有理由相信出现异常情况.

（ii），，剔除9.22，

剔除后，，，

.

20、【解析】

（1）由椭圆的对称性可知，P2，P3，P4在椭圆C上.

把P2（0，1）代入C，得，即b2＝1，把P4（1，）代入C，得，即a2＝4.

∴椭圆C的方程为.

（2）设直线l的方程为y＝kx＋n（n≠1），A（x1，y1），B（x2，y2）.

联立，得

由韦达定理，得，

，即

，即

由于n≠1，n－1≠0，得，解得

∴直线l的方程为，即，∴l过定点（2，－1）.

21、【解析】

（1）由题知，f（x）的定义域为R，

，其中恒成立.

若a≤0，则恒成立，，则f（x）在R上单调减；

若a＞0，令，解得；令，解得.

即当时，；当时，.

∴f（x）在上单调减，在上单调增.

（2）若a≤0，f（x）在R上单调减，至多只有一个零点，不符，舍去；

若a＞0，当x→＋∞时，f（x）→＋∞；x→－∞时，f（x）→＋∞.

要使f（x）有两个零点，只要即可

只要即可，即

令，则在（0，＋∞）上单调减

又，∴当，即0＜a＜1时，，.

即f（x）有两个零点时，a的取值范围为（0，1）.

22、【解析】

（1）消去参数θ，得曲线C的普通方程为.

当a＝－1时，消去参数t，得直线l的普通方程为.

联立，解得，

∴C与l的交点坐标为（3，0）和.

（2）设曲线C上任意一点P，

消去参数t，得直线l的普通方程为.

∴点P到直线l的距离

由题知，，即

当a＋4＞0时，则有，解得；

当a＋4≤0时，则有，解得；综上，a的值为8或－16.

（三）大学生购买消费DIY手工艺品的特点分析

（2）缺乏经营经验

23、【解析】

三、主要竞争者分析

（1）当a＝1时，，又，

当x＜－1时，，解得，舍去

然而影响我们大学生消费的最主要的因素是我们的生活费还是有限，故也限制了我们一定的购买能力。

因此在价格方面要做适当考虑：

我们所推出的手工艺制品的价位绝大部分都是在50元以下。

一定会适合我们的学生朋友。

当－1≤x≤1时，，解得，即

当x≥1时，，解得，即，

综上，不等式的解集为.

（2）当－1≤x≤1时，.要使不等式的解集包含[–1，1]，

在调查中我们注意到大多数同学都比较注重工艺品的价格，点面氛围及服务。

只要在[–1，1]上恒成立，只要在[–1，